立体几何中向量法 --平行垂直问题

1、3.2 3.2 立体几何中的向量法立体几何中的向量法 (1) (1)第三章 空间向量与立体几何空间向量与平行、垂直的关系 本节课主要学习由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面等的平行、垂直关系 通过复习空间向量的共线、共面定理进行新课导入。学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论，强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法 例1与例2是关于平面的法向量问题；例3是证明两个平面平行问题；例4是证明两条直线平行问题；例5是证明直线与平面的平行问题，运用了一题多解，培养学生的思维的广阔性。因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线

2、的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系研究研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工具在我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用立体几何中的应用. .引入引入1 1、立体几何问题立体几何问题( (研究的基本对象是点、直线、平面研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形以及由它们组成的空间图形) )引入2、思考1.如何确定一个点在空间的位置？2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？3.给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？4.给一个定点和一个定方向（向量），能

3、确定一个平面在空间的位置吗？lAPa 直线的方向向量直线的方向向量直线直线的向量式方程的向量式方程 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量APta 方向向量与法向量2、平面的法向量 Aa lP平面 的向量式方程的向量式方程0a AP 换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量oxyzABCO1A1B1C1例1. 如图所示, 正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC 的一个法向量坐标为_(1)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)典例展示典例展示变式变式1 如图，在四棱锥如图，在四

4、棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中点，的中点， 求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDPE解：解：如图所示建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2PE依依题题意意得得D DB B( (1 1, , 1 1，0 0) )1 1(0,)2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )XYZ设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是 因为方向向

5、量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系. 用向量方法解决立体问题用向量方法解决立体问题mlab（一）平行关系：（一）平行关系：证明平行与垂直证明平行与垂直au aA C axAByAD u v u (1) lm 0aba b （二）、垂直关系（二）、垂直关系lmab(2) l /auau lauABC3（ ） 0uvu v u v 已知已知 直线直线l与与m相交相交, ,lm,lm.求证 l,m, a, .bv 取的方向向量取, 的法向u明量证,lm ,av bv ,b 又a不共线 所以v是 的一个

6、法向量于是 v 同时是、 的一个法向量 .例例3.用向量方法证明用向量方法证明 定理定理 一个平面内的两条相交直线与一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行另一个平面平行,则这两个平面平行则这两个平面平行 v u balm 例例4 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的中点，的中点， 求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDPEXYZG解解1 立体立体几何法几何法证明：证明：连结连结AC,ACAC,AC交交BDBD于点于点G,G,连结连结EGEG在在 中，中，E，G分别为分别为PC，AC的中点的中点PAC / /P

7、AEGPA 又又平平面面E ED DB B，E EG G平平面面E ED DB B/ /PAEDB平平面面ABCDPEXYZG解解2 2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D D为坐为坐标原点，设标原点，设DC=1DC=1证明：证明：连结连结AC,ACAC,AC交交BDBD于点于点G,G,连结连结EGEG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2APE依依题题意意得得G1 1 1 1( (, , ，0 0) )2 2 2 211(1,0, 1),(,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA平面所以，/AB

8、CDPEXYZ解解3：如图所示建立空间直角坐标系，点如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐为坐标原点，设标原点，设DC=1证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,),2 2APE依依题题意意得得B B( (1 1, , 1 1，0 0) )(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA平面所以，/1 1(0,)2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )设平面EDB的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn 练习：练习：如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

9、中，点点E、F分别在分别在A1D，AC上，且上，且EFA1D，EFAC。求证：求证：EF/BD1.FABCDA1B1C1D1EA1xD1B1ADBCC1yzEF 是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 例例5 5 正方体正方体中，中，E、F分别分别平面平面ADE. 证明：证明： 设正方体棱长为设正方体棱长为1， 为单位正为单位正交交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，1,DADCDD 以以， 1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 则则， 所以所以1D FADE 平平面面 DADE 则则，

10、 例例3、在正方体、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E是是BB1的中点，的中点，O是底面正方形是底面正方形ABCD的中心。的中心。求证：求证：OE面面ACD1ABCDA1B1C1D1EO,E,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例例6 6 正方体正方体平面平面C1 1BD. 证明：证明：E求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)ED 设平面EBD的一个法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由11(,1)2

11、2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面平面C1 1BD. 平面平面EBDoxyzABCO1A1B1C11.1.如图所示如图所示, , 正方体的棱长为正方体的棱长为1 1直线直线OAOA的一个方向向量坐标为的一个方向向量坐标为_._.平面平面OABC OABC 的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为_._.(1)(1)平面平面ABAB1 1C C 的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为_._.(-1,-1,1)(-1,-1,1)(0,0,1)(0,0,1)(1,0,0)(1,0,0)B B3 3若若直直线线l l的的方方向向向向量量为为a a( (1 1, ,0 0，2 2) )，平平

12、面面的的法法向向量量为为u u 4 4, ,0 0, ,8 8 ，则则 ( ( ) )A A. . l l B B. . l l C C. . l l D D. . l l与与斜斜交交B B 1 1如何认识直线的方向向量？如何认识直线的方向向量？空间中任意一条直线空间中任意一条直线l l的位置可以由的位置可以由l l上一个定点上一个定点A A以及一个以及一个方向确定在直线方向确定在直线l l上取点上取点A A和和 ， 可以作为可以作为l l的方向向量，的方向向量，借助点借助点A A和和 即可确定直线即可确定直线l l的位置，并能具体表示出直线的位置，并能具体表示出直线l l上的任意一点上的任意一点aaa2 2如何理解平面的法向量？如何理解平面的法向量？(1)(1)平面平面 的一个法向量垂直于与平面的一个法向量垂直于