第五章弹性薄板小挠度弯曲问题变分原理(16K)

1、第五章 弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度不大于板中面最小尺寸的时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G.R.Kirchhoff除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与

2、中面平行的各面上的正应力与应力,和相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。5.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面与中面重合，轴垂直于中面，,和轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿,

3、和轴方向的位移分别用,和表示。由Kirchhoff假设，可以得到， （5-1）并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为， （5-2）其余3个应变分量,和根据假设都等于零，即， （5-3）由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷与剪力,以及弯矩,和扭矩（,统称为内力矩）与,之间的关系式。这里要注意，,是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，,是单位中面宽度内的内力，它们的因次是千克力/米。弯矩、扭矩和剪力的正方向如图5-1所示。图5-1 弯矩、扭矩和剪力的正方向平衡方程为 （5-4）在薄板弯曲理论中，剪力,不产生应变，因而也不作功，因此可以从（5-4）式中

4、消去,，得到 （5-5）以后凡提到薄板弯曲平衡方程，都是指（5-5）式而言。而内力,不再作为独立的量看待。上面两组方程仅仅是力的平衡方程，它们未涉及到板的材料性质。与内力矩相对应的广义应变是挠度面的曲率，在小挠度弯曲理论中，它们与挠度的关系为， （5-6）内力矩与曲率的关系可以通过应变能密度表示出来，若将表示为的函数，则有， （5-7）这种关系式对于线性或非线性材料都成立。对于线性的弹性体，是的正定的二次齐次函数。在各向同性的情况下，的算式为 （5-8）将（5-8）式代入（5-7）式，然后再将（5-6）式代入，得到内力矩与挠度的关系式为 （5-9）以上各式中称为板的弯曲刚度，其中为板的厚度，为

5、材料的泊松系数。如果我们定义为广义应变，为广义应力，即 （5-10）则有 （5-11）式中的为弯曲刚度矩阵。（5-8）式可以写为 （5-12）余应变能密度看作是内力矩,的函数，其值定义为 （5-13）并且有， （5-14）同样，对于线性的弹性体，是,的正定的二次齐次函数。如果以广义应力表示余应变能密度，则有 （5-15）式中。（5-12）式与（5-15）式都是以后经常要用到的表达式。注意，对于线弹性薄板，应变能密度与余应变能密度在数值上是相等的，即。将（5-9）式代入（5-5）式，得到以挠度表示的各向同性薄板的平衡方程为 （5-16）或 （5-16/）在处理具体问题时，经常遇到坐标旋转而引起的

6、变换。如果坐标由转变为，如图5-2所示，则两个坐标系中坐标的关系为 （5-17）对于挠度，有，从而 （5-18）图5-2 坐标转换及二阶偏导为 （5-19）弯矩、扭矩的变换公式为 （5-20）剪力的变换公式为 （5-21）在板的弯曲问题中，有三种典型的边界条件，简述如下。设为板在平面上的定义域，板的边界为，令为沿边界外向法线的方向，为边界的切线，（,）的转向与（,）的转向是一致的，如图5-3所示。第一种边界为固支边界，在这种边界上，其挠度与法向斜率均为给定的，即有 （在上） （5-22）第二种边界为简支边界，在这种边界上，其挠度与法向弯矩为给定的，即有图5-3 板的边界 （在上） （5-23）

7、第三种边界为自由边界，在自由边界上，作用在边界上的力为给定的。从内力和力矩看，在边界上共有三个，即，但其中并不完全独立，因为从作功角度来看，和并不完全独立。事实上，若边界上的挠度有一变分，则在上所作之功是 （5-24）利用分部积分，上式又可以写成 （5-25）由（5-25）式可见，切向扭矩可以分解为沿着周边边界的分布载荷及作用于两端的集中力，而两端是支座（不是固支边便是简支边）。从实际板的受力来分析，可以看到集中力为作用在角点上，一般是影响到支座上的力，而对板的变形无影响。因此，分布载荷与剪力构成沿自由边界上的分布力，这部分边界力的虚功为与相对应的广义力为，自由边的边界条件应取为 （在上） (

8、5-26)为已知的作用在上的线分布载荷。5.2 虚功原理和功的互等定理力学上，可能位移是指满足位移连续条件的位移。在薄板弯曲问题中只有一个广义位移，因此，可能作为可能位移的条件是：是,的连续可导函数，并且在边界上满足连续条件： （5-27）同样，由可能位移也可得到相应的可能曲率。可能内力是指与某种外力保持平衡关系的内力。在薄板弯曲问题中，内力有, ，这三个内力组成一组可能内力的条件是：在板的内部满足平衡方程（5-5）式，在板的边界上满足条件 （5-28）根据能量守恒定理，外力在可能位移上所作的功等于可能内力在可能应变上所作的功，通常把这一关系叫做虚功原理。在薄板弯曲问题中，若把支座反力也看作外

9、力，则虚功原理的数学形式是 （5-29）上式中，为可能挠度，是可能内力，它们之间可以完全独立而彼此无任何联系。下面给出（5-29）式的数学证明。为了书写简单，引入下面符号：现在将取为的方向，取为的方向，则可以利用（5-18）、（5-20）、（5-21）式等将等用 等表示出来，下面证明中将用到这些公式。从（5-29）式中，等号右边两个线积分可作如下化简（并引用（5-22）、（5-23）式的边界条件），并得到 （5-30）再将（5-4）式的关系代入（5-29）式右边第一个积分项里的中，展开后为 （5-31）将（5-30）式和（5-31）式代入（5-29）式的右端，可以证明其左端等于右端。对于虚功原

10、理方程（5-29）式，还可以表示为以下恒等式 （5-32）式中的代表（5-4）式前两个方程的缩写。这里所谓恒等式，是指公式（5-32）中的是四个可以任意选取的函数。该式要求具有一定连续可导性质，例如要求的一阶导数应该是连续而且是可导的。利用上面说明的虚功方程（5-29）式，我们很容易导出功的互等定理。在（5-29）式中，应再次指明内力与挠度是彼此独立的，它们之间是无任何联系的。现在有两组载荷对同一块板作用，形成两组解，分别为第一组载荷作用下，产生的内力与挠度为第二组载荷作用下，产生的内力与挠度为分别形成的虚功方程为第一组外载及内力取第二组的位移（）为虚位移，有 （5-33）第二组外载及内力取第

11、一组的位移（）为虚位移，有 （5-34）（5-33）式等号右边可以引用（5-11）式，得到下式 （5-35）考虑到，则（5-35）式可写成 （5-36）（5-36）式即是薄板的功的互等定理，还可以写成 （5-37）由于采用了线性的应力应变关系，所以无论是外力功的互等定理（5-37）式，还是内力功的互等定理（5-36）式，都是能量守恒原理和线性性质的后果。5.3 最小位能原理考虑板在横向分布载荷作用下处于平衡，并假定在板的边界上三种支持都存在的情况。整个板的位能包括两部分，一部分为板的应变能，它的算式为 （5-38）为板的应变能密度，其算式如（5-12）式。外力包括分布载荷及边界力，板的外力位能

12、可写为 （5-39）因而整个板的位能为 （5-40）在最小位能原理中，挠度为唯一经受变分的自变函数，称这种变分为“一个自变函数的变分问题”。令是精确解，与相应的弯矩、剪力为等，它们满足方程（5-4）式、（5-11）式和边界条件（5-22）、（5-23）及（5-26）式。令为一个可能挠度，则最小位能原理指出：与精确解相应的总位能小于任何其它可能挠度相应的总位能。现在令 （5-41）满足下面的边界条件 （在边界上） （在边界上） （5-42）与相应的总位能为 （5-43）式中是把（5-41）式代入（5-38）式，以代替所得到的结果，即 （5-44）其中 （5-45）而 （5-46）根据（2-29）

13、式的虚功方程，可以证明这样便有 （5-47）从（5-44）式，不论为任何不全为零的组合，恒有0。因此有 （5-48）这便是最小位能原理。若将最小位能原理写成变分的形式，则有 （5-49）利用分部积分，参考（5-30）的推导，由（5-40）式可以得到 （5-50）5.4 最小余能原理考虑与上节相同的一薄板弯曲问题。令为精确解。再命为一组可能内力，它们满足下列方程 （5-51） 和在边界、上的边界条件在上： 在上： ， （5-52）系统的余能包括两部分。一部分为余应变能，它的算式为 （5-53）式中为余应变能密度。对于线性的应力与应变关系，它可以表示为（5-15）式。另一部分为已知的边界位移的余功

14、，它的算式为 （5-54）整个板的总余能为 （5-55）总余能为自变函数的范函。设与精确解相应的余能为，与可能内力相应的余能为。现在取 且满足下列方程和边界条件 （5-56）在上： 在上： （5-57）以上两式表示内力增量在边界上对应为零的外载荷。并有 （5-58）于是有 （5-59）式中为内力增量相应的余应变能，而中间一项代表下列算式： （5-60）根据（5-29）式的虚功方程，可以证明这样（5-59）式可以化为 （5-61）如果不全为零，那么由（5-11）式可知于是可得到 （5-62）这便是最小余能原理。将最小余能原理表达成变分形式，为 （5-63）最小余能原理是一种条件变分原理，因为可能

15、内力必须满足平衡条件，即内力，及不是独立的。Southwell指出，利用应力函数方法可以把以上条件变分问题化为无条件变分问题。齐次方程的解可以用两个应力函数与表示之，如 （5-64）再命是平衡方程的一组特解。于是可将内力表达为 （5-65）将以上算式代入（5-63）式，可将余能表示成自变量,的泛函。自变量,除满足力的边界条件（5-52）式外，不受其它条件的限制，这就把原来的条件变分原理转化为无条件变分原理。5.5 二类自变量广义变分原理上面所介绍的二种变分原理都是最小值原理。在最小值原理中，自变量必须事前满足一定的条件，所以称它们为条件变分原理。最小值原理虽然具有突出的优点，但用起来不够方便。

16、而无条件广义变分原理，因为自变量可以独立自主变动，事前不受任何限制，用起来则方便多了。但也同时带来共同的缺点，就是所涉及的泛函都只取驻立值，而不是极值。把一个有条件的泛函极值问题，转变为另一个泛函的无条件的驻值问题，在数学上用拉格朗日乘子法就可以了。广义的变分原理也不过是拉格朗日乘子法在组成泛函过程的具体应用而已，或对拉格朗日乘子赋以力学上的说明。继续考虑前面两节中讨论过问题，对同一块板的弯曲定义两个泛函如下： （5-66） （5-67）利用（5-32）式，注意到边界的条件，可以证明 （5-68）显然，当满足物理关系，及位移边界连续 （在边界上） （在边界上）的条件下，就等于总位能。这里的下标

17、“2”表示这类泛函包括有二类变量的广义位能，一类为内力矩,，另一类为挠度。所谓二类变量广义变分原理，是指薄板弯曲问题的精确解，使二类变量广义位能和二类变量广义余能取驻值。即把,四个函数看作是彼此独立无关的函数，并且使它们的变分不受任何限制，那么变分式 或 （5-69）相当于薄板弯曲问题中的全部方程和边界条件，即平衡方程（5-4）式，内力矩与挠度关系（5-11），以及边界条件（5-22）、（5-23）、（5-26）式。现在证明上述结论。从公式（5-66）得到 （5-70）（5-32）式中将改为，有 （5-71）将上式代入（5-70）式，经过整理后，可得 （5-72）因为,（其中,均为任意独立自变

18、函数的组合，故也为任意的）为任意的，故有第一、二、三项形成物理关系（5-14）式，第四项为平衡方程（5-4）式，最后的四个边界积分中的被积函数式分别表示了边界条件（5-22）、（5-23）及（5-26）各式。由此可知，因为由可以导出以上各方程，故精确解能使。二类变量广义变分原理既是最小原理的推广，也是最小余能原理的推广。从公式上来看是的推广表现的格外明显，在最小余能原理中，自变量内力要求满足平衡方程（5-4）是和有关力的边界条件。将这些方程和条件通过恰当的拉格朗日乘子,并入泛函之中，得到 （5-73）根据乘子,所满足的方程可以求出其相应的关系。对（5-73）式取变分，可得 （5-74）对上式中

19、右侧第一项，注意到（5-14）式和（5-10）式，可以展开如下引用（5-32）式，其中以,代替原式中的, ,等，得到下式 （5-75）将（5-75）式代入（5-74）式中，经过整理可得下式 （5-76）因为,为任意的，故由可得到以下各项（1）和（在内）；（2）（在边界上），（在，边界上）；（3）满足所有边界条件（5-22）、（5-23）、（5-26）式。将上面求出的,代回到（5-73）式，便得到无条件广义余能泛函。现在再举板弯曲例子，说明拉格朗日乘子法的应用。处理此类问题，关键在于灵活使用拉格朗日乘子法。在有限元分析中，诸如“杂交元素”等，其实质都是利用拉格朗日乘子法处理具体的变分问题。下面将

20、讨论如何利用拉格朗日乘子法解决指定边界位移的薄板弯曲问题的广义变分原理泛函。有一周边简支的薄板，设简支边与板不在同一平面上，而略有差异，其差别为。这里就是边界上的指定位移，它属于泛函变分的约束条件。板的应变能为 （5-77）因为该板边界上位移是给定的，由此将引起板的挠度，即是由边界指定位移引起的，板上无外载荷作用，故知板的总位能就等于其应变能，即 （5-78）为板的周边所围的面积，在周边上（也包括角点上）应满足条件 （5-79）因为周边简支（对扭转刚度不大的支持近似地可作这一假定），边的转角不受限制。最小位能原理指出：在满足（5-79）式的一切中使（5-78）式的势能最小的为本题的解。这一原理

21、是在满足（5-79）式为前提下，提出的泛函变分问题，实质上是属于条件变分极值问题。将此条件变分极值问题，转化为无条件变分问题。为此，我们可以利用拉格朗日乘子法，组成新的泛函 （5-80）其中,为待定的拉格朗日乘子，为周边坐标的函数，为角点的值。将变分， （5-81）对（5-81）式的变分可以作如下运算，如可写为 （5-82）首先，利用分部积分，（5-82）式第一项中展开可以化为以上四式代入（5-82）式中之第一项，可得（暂不考虑积分） （5-83）利用第一章中的（1-48）、（1-52）式，并将及的关系代入，（5-82）式前一项可写为 （5-84）现在，再来分解（5-82）式中的第二项 利用第

22、一章中的（1-48）、（1-51）、（1-52）式，上式可以化为上式第一项中的及分别利用（1-51）式展开，并分别运算，可得下式利用（1-51）、（1-52）式，上式可化为 （5-85）将（5-84）、（5-85）式代入（5-82）式中，然后再代入（5-81）式，经过整理后，可得 （5-86）由于都是独立的变量，即可得到（1） （在内）（2） （在内）（3） （在内）（4） （在内）（5） （在角点上）（6） （在角点上） （5-87）上式中的各式分别表示（1）为板的平衡方程，即是欧拉方程，（2）为边界已知的约束条件，（3）为边界上弯矩为零的自然边界条件，（4）、（6）分别表示了拉格朗日算子的

23、表达式，这里的及分别代表了边界上的等效剪力和角点反力，（5）为角度上已知的边界条件。将（5-87）式中（4）的及（6）的代入（5-80）式，即得 （5-88）在利用这个广义变分原理的泛函进行变分时，边界约束条件（5-87）式中的（2），角点约束条件（5-87）式中的（5）以及（5-87）式中的（4）和（6）都是这个变分的自然边界条件。在近似计算中，这类自然边界条件是可以自动近似满足的。如果错误地使用拉格朗日乘子法，把原变分泛函中自然能满足的自然边界条件，作为约束边界条件处理时，广义变分的结果可以得到所设的拉格朗日乘子等于零。如果得到这样的结果，则就直接告诉人们，原来认为是附加条件的约束条件，在实质上是原泛函的自然边界条件，所设的拉格朗日乘子是多余的。同时，也说明拉格朗日乘子法具有自动防止错误的能力。总之，如果所给条件并非原泛函的自然边界条件，则我们就能用待定的拉格朗日乘子把这