第五讲：套利及资产定价

1、第五讲：套利和资产定价熊和平武汉大学经济与管理学院引言 前面在A-D框架下探讨了资本市场的一般均衡问题 下面我们进一步讨论一般情形下的证券价格的基本性质和基本定价原理。一、一般市场结构 复合证券：不同与A-D证券，一般市场上交易的证券，通常在每个可能状态下都有一定的支付，这类证券可以看成由A-D证券复合而成的，称为复合证券。 此时证券市场的结构由支付矩阵给定：1,12,11,2,12,22,1,2,.NNSSS NxxxxxxXxxx冗余证券 冗余证券：给定市场上的交易证券集合，它们的支付可能是相关的。如果某个证券j的支付向量能够表示为其他证券支付向量的线性组合，则称该证券为冗余证券。 若支付

2、矩阵X不是列满秩的，则必有冗余证券冗余证券（续） 数学语言，引入记号： 若j冗余，则： 命题命题1：若证券j是冗余的，则剔除j后的市场结构 与原市场结构X等价。 111 ,.,.,jjjNXxxxx111 ,.,.,jjjN,.jjjjst xX jX 命题命题2：所有的冗余证券都可以去掉。即 若 则总可以剔除N-S个证券得到一个市场结构 与 X 等价，且注意：剔除冗余证券的前提是市场无摩擦！()rank XSNX()rank XS 证券市场的不同描述方式 由上述分析可知，若含冗余证券，可以剔除之，从而可以假设 X含N个线性无关的证券，从而()min , rank XN SNS不同描述方式（续

3、） 若上述结果成立，则可以构造N个组合 ，其支付向量也线性无关，相应的支付矩阵为12,.,N 1212121,1,1,2,1,1,12,1,1,. ,.,.NNNNSxxxxxxXXXHxxx 不同描述方式（续） Idea: 若N个证券相互独立（即，支付向量线性无关），则存在N个组合，它们相互独立并可以替代原来的N个证券。 此时，原始证券的任意组合，如 都可以由 的组合 复制： 原始证券的组合支付 组合的组合支付12,.,N 1H11()XXHHXH生成 考虑 的特殊情形，此时X为S阶可逆方阵。 此时， 命题命题3：当且仅当具有独立支付的证券数等于状态数时，证券市场是完全的。此时称为经济中的不

4、确定性可由市场中的证券生成()rank XNS,.1stX 11X二、套利 资产定价关系或资产定价模型： 回忆：对于任何组合 若 ，则称其为责任 若 ，则称其为责任有限:S XR12 ,.,TN TS XX0X0X套利（续） 定义定义：将满足下列条件的组合 称作套利套利或套利机会套利机会： （1） （2） （3）至少有一个不等式严格成立。 套利可分为三类： 第一类套利： 且 第二类套利： 且 第三类套利： 且0TS0X0TS0TS0TS0X0X0X套利（续） 初始投资为0的组合也叫做套利组合套利组合。 上述套利组合第3类套利由第1类套利和第2类套利结合而成。 例子例子：市场上交易的3只证券，A

5、,B和C，它们的支付和价格如下： A: B: C:1111 0122 2200 套利（续） 说明：套利只依赖于交易证券的支付和价格，我们假设所有参与者都知道这些支付和价格，故： 第一：套利不依赖于任何私有信息（套利依赖于证券在每一状态下的支付，但不依赖于每一状态发生的可能性，而私有信息一般是相对于后者） 第二：若存在套利机会，则所有人都可以利用这些套利机会（在无摩擦的假设下）三、无套利原理 给定支付矩阵，证券价格不能是任意的，否则就有可能存在套利机会。显然，允许存在套利可能的价格不可能是市场均衡的结果。在不满足性假设下我们有： 定理定理2：在市场均衡中不存在套利机会。 无套利原理无套利原理：证

6、券市场中不存在套利机会 不存在套利机会依赖于两个假设不存在套利机会依赖于两个假设： （至少部分）市场参与者具有不满足性； 市场无摩擦。四、资产定价基本定理 下面探讨无套利原理在资产定价中的应用。 定价算子或估价算子： 几个重要的定理：定理定理3（一价律）（一价律）：两个具有相同支付的证券（或组合）的价格必定相同。即：:,( )VXRxXV xS ,( )( )x yXxyV xV y资产定价基本定理（续） 定理定理4：支付为正的证券或证券组合的价格为正。即： 定理定理5：给定两只证券1和2，如果证券1的支付总是大于证券2，则证券1的价格必高于证券2的价格。即： 故，V（）是一个递增算子。0(

7、)0 xV x121212,()()x xXxxV xV x资产定价基本定理（续） 定理定理6：在无摩擦市场中，定价算子是递增的线性算子。即： 由定理6可知，存在正向量 资产定价算子具有如下形式：, ,( )()( )( )x y zXa bRzaxbyV zV axbyaV xbV y( )TV xx资产定价基本定理（续） 定理定理7（资产定价基本定理）：证券市场中不存在套利机会的充要条件是： 存在 0,.()TTst SX资产定价基本定理（续） 例子：考虑下述证券市场，若只有证券A，其价格和支付 A: 1（1，1，1） 则引进B证券 B：1（0，2，2）引进证券C ： 2（2，0，0） 1

8、230:1A 230:221B 10:1C ABC 五、风险中性定价和鞅五、风险中性定价和鞅 考虑无风险证券： B 则存在一个严格正的状态价格向量可对所有证券定价：111.11TB风险中性定价和鞅（续）风险中性定价和鞅（续） 另一方面，引进无风险收利率 ，则： 从而有： 贴现，贴现率Fr1(1)1FFBBrrB11FBr风险中性定价和鞅（续）风险中性定价和鞅（续） 在此框架下， ，其价格其中， 从而有1,2,.,TiiiS ixxxx,TiiiiSxxBq xq, 01,1qq 1QiiFExSr,Qq风险中性定价和鞅（续）风险中性定价和鞅（续） 定价公式含义深刻！概率测度Q称为风险中性测度，相关概率称为风险中性概率，定价公式称为风险中性定价公式！ 概率