第八讲 特征值与特征向量 方阵相似变换 [自动保存]

1、线性代数线性代数刘文莉刘文莉5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量1 , ,.nnpppAApAA定义设 是 阶实方阵 如果存在某数 和某个 维非零列向量 满足则称 是 的一个特征值是 属于这个特征值 的一个特征向量 0()00nnpApEA pEA.A即满足方程的 都是矩阵 的特征值E- A =0E- A =0 App1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa求矩阵求矩阵特征值的方法：特征值的方法：求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：;det. 1AEA的特征多项式计算 ;,0det. 221的全部特征值就是的全部根求特征方程AAEn .

2、的特征向量就是对应于的非零解求齐次方程组对于特征值iiixAE,0,. 3解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的的特特征征多多项项式式为为A 31311 1 3 31 13)3)( ( 2 2268(4)(2). 4, 221 的特征值为的特征值为所以所以A,21xx解得.111p取为所以对应的特征向量可 .11,221pxx取为所以对应的特征向量可解得211224,43101 10,14301 10 xxxx 当时由即xx 112当= 2时,对应的特征向量应满足2-310=,12-30例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵

3、 A解解. 1, 2321 的特征值为的特征值为所以所以A2110430(2)(1)102EA1233104100100 xxx23=1,()0EA x当时由方程得123210420=0101xxx由解方程时当. 0)2(,21xAE132231221xxxxp 得,可取特征向量11200001xxp 得,可取特征向量624232.426A【例】求矩阵的特征值和线性无关的特征向量P1331、矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值、矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；2、属于同一特征值的特征向量的非零线性组、属于同一特

4、征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量合仍是属于这个特征值的特征向量5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量【例例】 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则 x .)1(是任意常数是任意常数的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA 可得可得由由x

5、Ax xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可逆时可逆时当当A., 1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA练一练练一练1、 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1，1，-2 ，求以下行列式的值： 323343,2,EAAEAEA 2、 求下列方阵的特征值和线性无关的特征向量。 （1） 466353331A （2）1111111111111111A 关于特征值和特征向量的若干结论关于特征值和特征向量的若干结论.实方阵的特征值实方阵的特征值 未必是实数，特征向量也未必未必是实数，特征向量也未必是实向量。是实向量。. 三角矩阵的特征值就是它的全体对

6、角元。三角矩阵的特征值就是它的全体对角元。 3.一个特征向量不能属于同一方阵的不同特征一个特征向量不能属于同一方阵的不同特征值。值。 4.n阶方阵和它的转置矩阵必有相同的特征值，阶方阵和它的转置矩阵必有相同的特征值，但未必有相同的特征向量。但未必有相同的特征向量。ij ijnnn ni i12n12niiiin nnnnni=1i=1i=1i=1i=i=i i1 1设设是是n n阶阶方方阵阵的全体的全体特特征征值值，则则必有=tr( )必有=tr( ) , , , , ,A AaAaA = a= a= = A An n。ijtr( )为中的n个对AA = aA角元之A和,称为的迹为A的行列式5

7、.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量11,( )( )mmnmmmEfffppppfff为对应的 的方阵多项式。如果为则必有次多(即必为 ( 的项特征值。式，mm-11mm-1100设 是n阶方阵， (x)= a x +ax+a x+a( )=AAa A +aA+a A+aAAA)A)0( )=0.0ffff特别，当时，必有时A的特征值必是对应m次多项式的根。( )=( )(x=)AA5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量223n0A,E阶矩阵A满足求的所有特征值。2A设A【例例】2212=2303B AAE【】设A，求的所有特征值。例练一练1、 设矩阵的特征多项式

8、)3()2()(kf，则 A的迹)(Atr=_ 2、三阶矩阵 A 满足0, 02, 0333AEAEAE 则_32EAA 3、设 n 阶矩阵 A 满足，则 A 的特征值为_。 4、设矩阵 A 满足0442nEAA，求出 A 的所有特征值。 35.2 方阵的相似变换方阵的相似变换111,.,. PA BnPBAAAPBAP APABABPAB定义设都是 阶矩阵 若有可逆矩阵使则称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与记为对 进行运算称为对 进行相似变换 可逆矩阵称为把 变成 的相似变换矩阵相相似似相似矩阵相似矩阵1. 等价关系等价关系相似矩阵的性质相似矩阵的性质;AA,;ABBA若则,.AB BCAC若

9、则:反反身身性性) 1 ()2(:对对称称性性:传传递递性性)3(证明证明相相似似与与BA11EBPE PP AP1PEA P1PEA P.EABAPPP 1,使使得得可可逆逆阵阵定理 相似矩阵必有相同的特征多项式。因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。5.2 方阵的相似变换方阵的相似变换推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵n n 21.,21个个特特征征值值的的即即是是则则相相似似nAn 例例确定x，y的值，使矩阵1001000010001001-1=P APAByx与相似,并求出可逆矩阵P使得B., 1对角化对角化这就称为把方阵这就称为把方阵为对角阵为对角阵使使若可找

10、到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对AAPPPAn 方阵方阵可对角化的条件可对角化的条件4.4(). nAAAn定理阶矩阵 与对角矩阵相似 即 能对角化的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量问：矩阵问：矩阵A满足什么条件时可对角化？满足什么条件时可对角化？说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论 nAAn如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向

11、量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化AAnnA.)( 5 . 4性无关的特征向量性无关的特征向量个线个线重根对应恰有重根对应恰有的任意的任意的充分必要条件是的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵定理定理iikkAAAn例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵判断下列实矩阵能否化为对角阵？若能，写出其相似标准型。若能，写出其相似标准型。 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得 得方程组得方程组代入代入将将, 02121 EA 0442044202232

12、1321321xxxxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系12220 ,1 .10 , 0, 73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系31,2,2T.,3 化化可可对对角角因因而而个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值为的特征值为所以所以A , 01 xEA 代入代入把把解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A例例,.mmABABm若 与 相似 则与相似为正整数解解。于是，使得所以有可逆矩阵相似与因BAPPPBA1 1,)

13、()()(APPAPPAPPBm111APPPAAPPAPPAP)()()(1111.PAPm1.相似与故mmBA 163053064A设设,P(1)求出可逆矩阵例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A100(2).A求 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线性无关线性无关由于由于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A注意注意 , ,213 P若令若