高数1全套公式

1、高数1全套公式一、三角函数1 公式同角三角函数间的基本关系式： 平方关系：sin八2( a )+cosA2( a );=fen八2( a )+仁secA2( acOtA2( a )+ 仁CSCA2( a) 商的关系：tan a =sin a /cos acot a =cos a /sin a倒数关系：tan a cot a =sin a csc a =1cos a sec a =1 三角函数恒等变形公式： 两角和与差的三角函数：cos( a +卩)=cos a c-ssnp a sin 3cos( a- 3 )=cos a cos 卩 +sin a sin 3sin( a3 )=sin a c

2、os 3 土 cos a sin 3tan( a + 3 )=(tan a +tan -ta)n(a tan 3)tan( a 3 )=(tan -tan 3 )/(1+tan a tan 3) 倍角公式：sin(2 a )=2sin a cos acos(2 a )=cosA2( as)A2( a )=2cosA2( -1=1-2si门八2( tan(2 a )=2tan a-/an八2( a )半角公式：si nA2( a /2)=(1cos a )/2cosA2( a /2)=(1+cos a )/2tanA2( a /2)=(-cos a )/(1+cos a)tan( a /2)=s

3、in a /(1+cos 曲Q=$1a )/sin a 万能公式：sin a =2tan( a /2)/1+ta门八2(a /2)cos a =1-tanA2( a /2)/1+ta门八2( a /2) tan a =2tan( a /2)-ta门八2( a /2) 积化和差公式：sin acos3=(1/2)sin(a +3-)3s)Ji(acos asin3=(l/2)sin(-stn+3-)cos acos3=(l/2)cos(a +3 )+391asin a sin -(3=)cos(a +cos( a- 3 )和差化积公式：sin a +sin 卩=2sin(a +卩)/2cgS()

4、/2 asin as in 卩=2cos( a +卩)/2si nKB )/冯 cos a +cos 3 =2cos( a + p )/2COS-卩)/2 cos a-cos B=2sin(a + p )/2sin- J3)/2x角函2 特殊角的三角函数值Xf()、0 (0 )6(30 )4(45 )3(60 )2(90 )cos143/242/21/20sin01/2J2/2J3/21tan01/V31寸3不存在cot不存 在4311M/30只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三: 数的定义即可推出上面的三角值 1。13诱导公式:1函 数角Asi nco stgCt g-a-sic

5、o-t-Cn as ag atga90aco S asi n act g atga90+co-si-c-taS an atgag a180 -asi n a-c osa-t g a-c tga180 + a-si n a-c osatgact g a270 -a-c osa-si n act g atga270 + a-c osasi n a-c tga-t g a360 -a-si n aco s a-t g a-c tga360 + asi n aco s atgact g aF横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割1勺，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正

6、的，第四象限余弦、余割是正的）记忆规律:竖变b2 4ac000、方程和不等式即第一象限全是正、一兀一元二次函数2y ax bx c(a0)il丿一Ju一 4一元二次方程有二互异实根iJi2鼻有二相等实根(有一根)ax2 bx c0b vb 4acxi,2一 2abX1,22a无实根元次不等式(a 0)ax2bx c0(Xi X2) x x2bx 一 2ax Rax2bx c0x1xx2xx三、因式分解与乘法公式(1) a2 b2 (a b)(a b)(2) a2 2ab b2 (a b)22 2 2(3) a2ab b (a b)33(4) ab(ab)(aabb )33(5) ab(ab)(

7、aabb )(6) a33a2 b3ab2b3(ab)3(7) a33a2b3ab2b3(ab)32 2 2 2(8) ab c 2ab 2bc 2ca (a b c)nnn1 n2n2n1、(9) ab (a b)(a a b L ab b ),(n 2)四、等差数列和等比数列1. 等差数列通项公式：an a, n 1 d前 n项和公式 Sn 1 也 或 Sn nai _1 d2 22. 等比数列 GP通项公式an a,qn 1 a* 0, q 0前n项和公式i/ h ； 1ttX平面图形名称符号周长C和面积S正方形a边长C 4aS a2长方形a和b 一边长C 2(a+b)S ab三角形a,

8、b,c 三边长 ha边上的高 s周长的一半A,B,C 内角 其中s (a+b+c)/2S ah/2ab/2 sinCs(s-a)(s-b)(s-c) 1/2a2si nBsi nC/(2s inA)平行四边 形a,b 边长 h a边的咼 a两边夹角S ahabsin a菱形a边长a夹角D长对角线长 d短对角线长S Dd/22 - a sin a梯形a和b上、下底 长h 咼S (a+b)h/2mhai 1 qnSn1 qn五、常用几何公式q iq im 中位线长圆r 半径 d 直径C = nd = 2 nrO2S = nr=nd2/4扇形r扇形半径 a圆心角度数C = 2r + 2n r X (

9、a/360)S =n? Xa/360)员环R外圆半径 r内圆半径D外圆直径 d内圆直径S = n (氏-r2) n Q-d2)/4椭圆D 长轴 d 短轴S n Dd/4立方图形名称符号表面积S和体积V正方体a边长S 6a2 V a3长方体a 一长 b 宽 c 咼S 2(ab+ac+bc) V abc圆柱r -底半径h 咼C底面周长 S底一底面积C 2 nrS 底nFS 侧一ChS 表Ch+2S 底=Ch+2nr2V S 底 h nFhS侧一侧面积S表一表面积圆锥r -底半径 h 咼V = nrh/3球r 半径 d 直径V = 4/3 nr=nd3/6S=4 ni2=nd2基本初等函数表达式定义

10、域随而异, 但在R上 均有定义常数函数过点（1，1）；0时在R单增；0时在R单减.y 0. 过点0,1 . a 1单增. 0 a 1单减.mmn mnamn m n mna a a , n a , a aalog a x01y sin xy cosxy tanx-/2 O-11 i Jy丿-/2:f1 1厂1rx过点1,0 .a 1单增.0 a 1单减.loga a 1,loga10,M , N 0loga MNloga M loga N,loga M logaM loga N,Nloga M p PlogaM,logcb小c 0, 1 , logcax(x 0)x(x 0)lOga blog

11、a alog a xa奇函数.T 2y i.偶函数.T 2 .y i.奇函数.T在每个周期内单增y cotxarcs in xarccosxarcta nx奇函数.T在每个周期 内单减.1,11,1单减.奇函数. 单增.奇函数. 单增.0 y2 y 2y1/2-1o1xy arccot xRy 1/2ox反切函数单减.0 y余极限的计算方法一、初等函数：l.lim C C（C是常值函数）2若f x特别:fM （即fx是有界量），lim 0（即是无穷小量），lim f x0,lim C 03.右 f xM （即fx是有界量）lim0,特别:flim C4.lim C05未定式1 0型0A. 分子

12、,分母含有相同的零因式，消去零因式B. 等价无穷小替换（常用sin x x,ex 1 x,ln x1 x）C.洛必达法则:要求f x , g x存在,且lim存在，此时，limSg xg xlimg xA. 忽略掉分子，分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大，保留最高阶的无穷大，再化简计算B. 分子，分母同除以最高阶无穷大后，再化简计算.C. 洛必达法则.3 型 通过分式通分或无理函 数有理化，转化为0型或一型014 0 转化为00 0T 05 00型6 0型求对数 0求对数 0e或求对数来计算.1通过lim 1 x xx 0二、分段函数：分段点的极限用左，右极限的定义来求解 基本初等函数的导数公式

13、(C)0 , C是常数(x ) x 1（ax） ax ln a，特别地，当 a e时，（e）(lOgaX)特别地，当ae时，（In x）(sin x)cosx(cos x)sin x(tan x)12 cos x2sec x(8)(cot x)1.2sin x2csc x(9)(secx)(secx) tan x(10)(cscx)(cscx) cot x(11)(arcsin x)(12)(arccosx)11 x2(13)(arctan x)11x2(14)(arccot x)11 x2基本初等函数的微分公式(1)、dc 0(c为常数);、d(x )x dx （为任意常数）;、d(ax)

14、axln adx，特别地，当ae 时，d (ex) exdx ;、d(logax)1dx，特别地，当xln au1a e时，d (ln x)dxx、d(sin x)cosxdx ;、d (cos x)sin xdx ;(7) 、d(tan x) sec xdx ;(8) 、d (cot x) csc xdx ;(9) 、d(secx) secx tan xdx ;(10) 、d (cscx) cscxcot xdx ;1(11)、d (arcsin x),=dx ;x2(12)、d (arccosx)(13)、d (arcta n x)dx ;x(14)、d (arc cotx)dx .1 x

15、2曲线的切线方程y yof(xo)(x X。)幕指函数的导数v xu xu x v x l nux v x u x极限、可导、可微、连续之间的关系极限产连续可微条件A 条件B，A为B的充分条件 条件B 条件A，A为B的必要条件 条件A 条件B，A和B互为充分必要条件 边际分析 边际成本 MC = C (q);边际收益 MR = R (q)；边际利润 ML = L(q)， L(q) R(q) C (q) = MR MC 弹性分析Ey xy f(x)在点 E；xx0 ：y(xo) xo处的弹性，特别的，需求价格弹性：卫D (p)Ep D罗尔定理若函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b连续；(2)

16、在开区间(a,b)可导；(3) f (a) f (b)，则在(a,b)内至少存在一点，使f ( ) 0 .拉格朗日定理设函数f(x)满足:(1)在闭区间a,b连续;(2)在开区间(a,b)可导，则在(a, b)上至少存在一点，使得f ()f(b) f(a)b a基本积分公式(1)Odxkdxkx Ck为常数 特别地:dx x Cx dxdxxln|x|(有时绝对值符号也可忽略不写)axdxC ln aexdxcosxdxsinx C(8)sin xdxcosx C(9)dx2cos xsec2 xdxtan x C(10)dx2sin xcsc2 xdxcotx C(11)secx ta nx

17、dx secx(12)cscx cot xdx cscx Cdx1 x2arcta nx C (或% arccotx C)1 x2dx- 1 x2arcsin x C(或dx 1 x2arccosx C)(15)tan xdxln |cosx | C(16)cot xdxln | sin x | C，(18)cot xdx In | cscx cot x| C ,(19)(20)(21)(22)dx 2a x1xarcta n aadxa2x2 In2aC , (a 0),C , (a 0),dxa2 x2dxxarcs in C , (a 0),aln x Ux2 a2 C , (a 0).

18、常用凑微分公式dx !d ax ba(1)、a, b为常数,且a、1 2 xdx d x2、Adxx、-Udx- x2dx、1dx d l n xx、exdx dex、sin xdxd cosx(8)、cosxdxdsinx(9)、sec xdxd tan x(10)、csc2 xdxd cot x(11)、1dx.1 x2d arcs in x(12)、d arctan x一阶线性非齐次微分方程乎 P(x)ydxQ(x)的通解为P(x)dxy eP(x)dxQ(x)e dxy g(x)平面图形面积的计算公式x(y)(y) c y ddD的面积 A (y)(y) dy1)区域D由连续曲线 y

19、f (x), y g(x) 和直线x=a,x=b围成其中f (x) g(x)(a x b)(右图) bD的面积 A g(x) f (x) dxa2)区域D由连续曲线x (y)，x (y) 和直线x=c,x=d围成，其中平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式1、绕x轴的旋转体体积(右图)bVxf 2(x)dxa注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴.2、绕y轴的旋转体体积(右图)d 2Vyc g2(y)dy注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴.由边际函数求总函数qC(q) 0 f(x)dx C。(C。总利润函数为L(q) R(q)C(0)为固定成本)qC(q) 0g(x) f(x)dx0 g(x)dxR(q)Co多元复合函