随机过程例题

1、例1 已知随机相位正弦波已知随机相位正弦波 X (t) = a cos( t + )，其，其中中 a 0， 为常数，为常数， 为在（为在（0, 2 ）内均匀分）内均匀分布的随机变量。布的随机变量。求随机过程求随机过程 X (t), t (0, ) 的的均值函数均值函数 mX (t) 和相关函数和相关函数 RX (s, t) 。)( ,cos2)(cos2),(0)(22stastatsRtmXX 2随机过程的基本概念随机过程的基本概念例2 设设 X (t) 为信号过程，为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令为噪声过程，令W (t) = X (t) + Y (t)，则则 W (t) 的的均值函数

2、为均值函数为其相关函数为其相关函数为)()()(tmtmtmYXW),(),(),(),()()()()()()()()()()()()()()(),(tsRtsRtsRtsRtYsYEtXsYEtYsXEtXsXEtYtXsYsXEtWsWEtsRYYXXYXW 2随机过程的基本概念随机过程的基本概念例 求在求在0, 1区间均匀分布的独立随机序列的均值区间均匀分布的独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。解：解：其它 , 010 , 1)(xxfiXXi 的一维概率密度函数为：的一维概率密度函数为：Xi 的均值：的均值：21dd)(10-xxxxfx

3、XEmiiXiXjiXEXEjiXEXXErjiijiij , 4/1 , 3/12Xi 的自相关函数：的自相关函数：均值向量均值向量2/12/12/1XM自相关阵自相关阵3/14/14/14/13/14/14/14/13/1XR协方差阵协方差阵12/100012/100012/1XC 2随机过程的基本概念随机过程的基本概念例3n设复随机过程设复随机过程 ，其中，其中A1, A2, , An 是相互独立且服从是相互独立且服从 N(0, )的随的随机变量，机变量， 1, 2, , n 为常数，求为常数，求 Zt , t 0 的的均值函数均值函数 mZ (t) 和相关函数和相关函数 RZ (s,

4、t) 。0,e1jtAZnktktk2knktskZZktsRtm1)(j2e),(0)( 2随机过程的基本概念随机过程的基本概念例1 设有随机相位过程设有随机相位过程 X (t) = a sin( t+ )，a, 为常数，为常数， 为为(0, 2 )上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程 X (t) 的平稳性。的平稳性。解因此因此 X (t)是平稳随机过程。是平稳随机过程。0)sin(2)()sin()sin()(2020dtadftataEtXEcos2)(sin)sin(2)()(),(2202adttatXtXEttRX 3平稳过程平稳过程例2

5、（白噪声序列） 设设 Xn , n = 0, 1, 2, 是实是实的互不相关的互不相关随机变量随机变量序列序列，且，且 EXn = 0，DXn = 2 ，试讨论随机序列的，试讨论随机序列的平稳性平稳性 。解因为因为: (1) EXn = 00 , 00 ,),( ) 2(2nnXXXEnnR故故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与随机序列的均值为常数，相关函数仅与 有关，有关，因此它是平稳随机序列。因此它是平稳随机序列。3平稳过程平稳过程例3 设有随机相位过程设有随机相位过程 X (t) = a cos( t+ )，a, 为常数，为常数， 为为(0, 2 )上服从均匀分布的随机变量，试问上服从

6、均匀分布的随机变量，试问 X (t) 是是否为各态历经过程。否为各态历经过程。021)cos()(20dtatXE0)cos(21lim)(TTTdttaTtX)()()cos(2)(2tXtXaRX故故 X (t) 是为各态历经过程。是为各态历经过程。 3平稳过程平稳过程例4 设有两个随机过程设有两个随机过程X (t) = a cos( t+ ) 和和Y (t) = b sin( t+ )，其中，其中a, b, 为常为常数，数， 为为(0, 2 )上服从均匀分布的随机变量，上服从均匀分布的随机变量，分析分析X (t)和和Y (t)是否联合平稳。是否联合平稳。解)(cos),(22XaXRtt

7、R故故 X (t)和和 Y (t)均是平稳过程。均是平稳过程。0)()(tYEtXE)(sin2)(sin)cos( )()(),(XYXYRabtbtaEtYtXEttR)(cos),(22YbYRttR所以所以 X (t)和和 Y (t) 是联合平稳的。是联合平稳的。 3平稳过程平稳过程解例1 设有随机过程设有随机过程 X (t) = a cos( 0t + )， 其中其中 a, 0 为常数，为常数， 在下列情况下，求在下列情况下，求 X (t) 的平均功率：的平均功率：(1) 是在是在( 0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量；上服从均匀分布的随机变量；(2) 是在是在( 0, /2 )

8、 上服从均匀分布的随机变量。上服从均匀分布的随机变量。(1) 随机过程随机过程 X (t) 是平稳过程，是平稳过程，相关函数：相关函数：)cos(2)(02aRX平均功率：平均功率：2)0(2aRPX(2)2sin(2)(cos)(0220222taataEtXE平均功率：平均功率：X (t) 是非平稳过程是非平稳过程2d)(21lim22attXETPTTT 4谱分析谱分析例2解20220200000)()(d)cos()cos(ed)cos()cos(e2)(aaaaGaaX)cos(e)(0aXR 已知平稳过程的相关函数为已知平稳过程的相关函数为 ，其中，其中 a 0, 0 为常数，求谱

9、密度为常数，求谱密度 GX ( ) . 4谱分析谱分析0)1()()()(nWnWEnXEnmX解)1() 1()(2)1()()1()()()()(2mmmnWnWmnWmnWEnXmnXEmRX例3 设随机序列设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中，其中W(n)是高斯随是高斯随机序列，机序列，mW=0, RW(m)= 2 (m)，求，求X(n)的均值、自相关的均值、自相关函数和谱密度函数和谱密度 GX ( ) .)cos1 (2)ee2(e)()(jj2jmmXXmRG 4谱分析谱分析例4 如图所示如图所示X (t) 是平稳过程，过程是平稳过程，过程Y (t)= X (t)

10、+ X (t T)也是平稳的，求也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。的功率谱。解)()()(2)()()()( )()(),(TRTRRTtXtXTtXtXEtYtYEttRXXXY)cos(1)(2e)(e)()(2de)()()(2de)()(jjjjTGGGGTRTRRRGXTXTXXXXXYY X (t)Y (t)延迟延迟T 4谱分析谱分析例1 （h(t) 的估计的估计） 设线性系统输入一个白噪声过程设线性系统输入一个白噪声过程 X (t)，其自相关函，其自相关函数为数为 RX ( ) = N0 ( ) ，则，则)(d)()()(00hNuuhuNRYX)(1)(0YXRNh通过测量互

11、相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。)()(1)(0tXtYNh假定假定过程过程 X (t) 和和 Y (t) 是各态历经的，是各态历经的， 5随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统的分析例2 如图如图RC电路，若输入白噪声电压电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关函数为，其相关函数为 RX ( ) = N0 ( ) ，求输出电压，求输出电压 Y (t) 的相关函数和平均功率。的相关函数和平均功率。解RCiH1 , )(其中)()(tuetht0)(FT)(NRGXX02222)()()(NGHGXYeNGRYY2)(IF

12、T)(02)0(0NRPYX (t)Y (t)RC 5随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统的分析例3 如图有两个如图有两个LTI系统系统H1( )和和H2( )，若输入同一个均值为零的若输入同一个均值为零的平稳过程平稳过程 X(t) ，它们的输出分别为，它们的输出分别为 Y1(t) 和和Y2(t)。如何设计。如何设计H1( )和和H2( )才能使才能使Y1(t) 和和Y2(t)互不相关？互不相关？解X (t)Y1(t)H1( )H2( )Y2(t)互不相关互不相关 协方差为零协方差为零d)()()()()(htXthtXtY0d)(11hmmXY0d)(22hmmXY )()()(d

13、d )()()( )()()(21212121 hhRvuvhuhvuRtYtYERXXYY)()()()(2121HHGGXYY, 0)( 21时当YYG0)(21YYR0)(21YYC当两个当两个LTI系统的系统的幅频特性幅频特性互不重叠时互不重叠时，则，则它们的输出它们的输出Y1(t) 和和Y2(t) 互不相关。互不相关。 5随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统的分析例1 已知仪器在已知仪器在 0 , t 内发生振动的次数内发生振动的次数 X(t) 是具有参是具有参数数 的泊松过程。若仪器振动的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，次就会出现故障，求仪器在时刻求仪器

14、在时刻 t0 正常工作的概率。正常工作的概率。解0 , 00 ,)!1()()(1ttktetfktWk故仪器故仪器在时刻在时刻 t0 正常工作的概率正常工作的概率为为:0d)!1()()(10tktktktetWPP故障时刻就是仪器发生第故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻振动的时刻Wk ，服从，服从 分布分布:1000!)()(0knntntektXP 6泊松过程泊松过程)()(ntXksXPknkkntstsC1参数为参数为 n 和和 s/t 的二项分的二项分布布例2 设在设在 0 , t 内事件内事件A已经发生已经发生 n 次，且次，且0 s t，对，对于于0 k n ，求在，求在 0

15、, s 内事件内事件A发生发生 k 次的概率。次的概率。)()(,)(ntXPntXksXP)()()(,)(ntXPknsXtXksXP!)()!()(!)()(netknestkestnstknsknknktstsknkn)()!( ! 6泊松过程泊松过程)()(nsftXWk例3 设在设在 0 , t 内事件内事件A已经发生已经发生 n 次，求第次，求第k次次(k n) 事件事件A发生的时间发生的时间Wk 的条件概率密度函数。的条件概率密度函数。knkktstsknkn1)!()!1(!1Beta分布分布)(ntXhsWsPk)()(,ntXPntXhsWsPk)()()(,ntXPkn

16、hsXtXhsWsPk)()()(ntXPknhsXtXPhsWsPkhntXhsWsPkh)(lim0)()()()(ntXPknsXtXPsfkW 6泊松过程泊松过程24380321325)3(4)2(45445CXXP例4 某电话交换台在某电话交换台在 0, t 时间内收到的呼叫次数时间内收到的呼叫次数X(t)是一是一个泊松过程，平均每分钟个泊松过程，平均每分钟2次。次。 (1) 求求 3分钟内接到分钟内接到5次呼次呼叫概率；叫概率；(2) 若若3分钟内已接到分钟内已接到5次，求前次，求前2分钟收到分钟收到4次呼次呼叫的概率，以及第叫的概率，以及第2次呼叫发生在第次呼叫发生在第1分钟内的

17、概率。分钟内的概率。2)( )()(ttmttXEtmXX243131d31920d)5(5)3(1010310)3(22sssssfXWPXW16. 0e! 5)3(5)3( e!)()(35XPktktXPtk 6泊松过程泊松过程马尔可夫链的几个简单例子例1 二进制对称信道模型是常用于表征通信系是常用于表征通信系统的错误产生机制的离散无记忆信道模型。假设统的错误产生机制的离散无记忆信道模型。假设某级信道输入某级信道输入0, 1数字信号后，其输出正确的概数字信号后，其输出正确的概率为率为p，产生错误的概率为，产生错误的概率为q，则该级信道输入状，则该级信道输入状态和输出状态构成一个两状态的齐

18、次马尔可夫链。态和输出状态构成一个两状态的齐次马尔可夫链。0011ppqq一步转移概率矩阵：一步转移概率矩阵：) 1 , 0,( , ,jijiqjippijpqqpP二步转移概率矩阵：二步转移概率矩阵：22222)2(22qppqpqqpPP 7马尔可夫链马尔可夫链例2 具有吸收壁和反射壁的随机游动设质点在线段设质点在线段1,4上作随机游动。假设它只能在时刻上作随机游动。假设它只能在时刻 n T 发生移动，且只发生移动，且只能停留在能停留在1,2,3,4点上。当质点转移到点上。当质点转移到2,3点时，它以点时，它以1/3的概率向左或向的概率向左或向右移动一格，或停留在原处。当质点移动到点右移

19、动一格，或停留在原处。当质点移动到点1时，它以概率时，它以概率1停留在原停留在原处。当质点移动到点处。当质点移动到点4时，它以概率时，它以概率1移动到点移动到点3。若以。若以Xn 表示质点在时表示质点在时刻刻 n 所处的位置，则所处的位置，则 Xn , n T 是一个齐次马尔可夫链。是一个齐次马尔可夫链。 7马尔可夫链马尔可夫链例3 设设 Xn , n T 是一个马尔可夫链，其状态是一个马尔可夫链，其状态空间空间 I = a, b, c，转移矩阵为，转移矩阵为05/25/33/103/24/14/12/1P求：求： )2(;, ) 1 (204321bXcXPcXcXaXcXbXPnn 7马尔

20、可夫链马尔可夫链, ) 1 (04321cXcXaXcXbXP/ 0001122334cXPcXPcXbXPbXcXPcXaXPaXcXPcbbccaacPPPP50152315341/,043210cXPcXaXcXbXcXP05/25/33/103/24/14/12/1P解： )2(2bXcXPnn二步转移概率矩阵：二步转移概率矩阵：901720330176110315824540930172)2(PP61)2(bcP 7马尔可夫链马尔可夫链例4 设马尔可夫链的状态空间设马尔可夫链的状态空间 I = 0, 1, 2, ，其转移概率为，其转移概率为分析各状态的类型。分析各状态的类型。, 1)

21、0(00p解：解：Iipppiii ,21 ,21 ,2101,00先考查状态先考查状态0，,21)1(00p,210)(00npnn可见状态可见状态0是非周期的，因而状态是非周期的，因而状态0也是遍历的。也是遍历的。,21)(00np021)(00limnnp由归纳法可知，由归纳法可知，(根据根据pij(n)来判断来判断),21)2(00p 状态状态0 0为常返态为常返态 状态状态0 0为正常返态为正常返态因为因为 其它其它i 0 ，故所有，故所有 i 也是遍历的。也是遍历的。 7马尔可夫链马尔可夫链例5 设马氏链设马氏链 Xn 的状态空间的状态空间 I = 1, 2, 3, 4, 5 ，转