10-任意对任意激励的响应-傅里叶积分和拉氏变换

1、上次内容回顾：上次内容回顾：系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应卷积积分卷积积分讲述的内容讲述的内容第三章第三章 强迫振动强迫振动39 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应傅里叶积分傅里叶积分310 用拉普拉斯变换法求系统响应用拉普拉斯变换法求系统响应传递函数传递函数311 复频率响应与脉响应之间的关系复频率响应与脉响应之间的关系3 39 9系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应傅里叶积分傅里叶积分 前面应用卷积积分计算任意非周期激励的响前面应用卷积积分计算任意非周期激励的响应随时间的变化规律，称为时域分析方法。但也应随时间的变化规律，称为时域分析方法。但也可以从另一角度出发，借助傅

2、里叶变换给出频率可以从另一角度出发，借助傅里叶变换给出频率域响应的表达式，同时给出脉冲响应函数与复频域响应的表达式，同时给出脉冲响应函数与复频率响应函数的傅里叶变换关系。率响应函数的傅里叶变换关系。单自由度线性系统受非周期激励的振动微分方程为单自由度线性系统受非周期激励的振动微分方程为令作用在系统上的激励具有如下的形式，即令作用在系统上的激励具有如下的形式，即注意到注意到f(t)f(t)的量纲与位移的量纲相同。的量纲与位移的量纲相同。 周期激励函数可以利用傅里叶级数来表示，周期激励函数可以利用傅里叶级数来表示，即表达成为无穷个简谐分量的叠加。对于任意非即表达成为无穷个简谐分量的叠加。对于任意非

3、周期激励函数周期激励函数F(t)=kf(t)F(t)=kf(t)，可视为周期，可视为周期T T趋于无趋于无穷大的周期函数，也就是说，非周期函数可视为穷大的周期函数，也就是说，非周期函数可视为周期为无穷大的周期函数。这样，离散频率愈来周期为无穷大的周期函数。这样，离散频率愈来愈接近，直到成为连续为止。这时傅里叶级数就愈接近，直到成为连续为止。这时傅里叶级数就成为傅里叶积分。成为傅里叶积分。 考虑傅里叶级数的复数形式，即考虑傅里叶级数的复数形式，即系数系数CpCp为为式中式中T=2/T=2/为激励函数的周期。傅里叶级数式和为激励函数的周期。傅里叶级数式和上式提供了有关周期函数上式提供了有关周期函数

4、f(t)f(t)的频率组成依据。令的频率组成依据。令p=p=p p，有，有p p= =（p+1)-=2/Tp+1)-=2/T，将傅，将傅里叶展开式和上式里叶展开式和上式) )中的中的pp以以pp，T T以以2/ 2/ p p代替，写成代替，写成当当TT，p p00时，离散频率时，离散频率p p，就成为连，就成为连续频率续频率，将，将TCTCp p，记作，记作的函数的函数F()F()，称为激，称为激励的频谱函数。上面两式转化为傅里叶变换公式励的频谱函数。上面两式转化为傅里叶变换公式积分式积分式称为关于函数称为关于函数f(t)f(t)的傅里叶变换，它给出了的傅里叶变换，它给出了f(t)f(t)的连

5、的连续频谱函数，续频谱函数，称为关于函数称为关于函数f(t)f(t)的傅里叶变换，它给出了的傅里叶变换，它给出了f(t)f(t)的连的连续频谱函数，积分式称为关于函数续频谱函数，积分式称为关于函数F()F()的傅里叶逆的傅里叶逆变换，它将非周期函数变换，它将非周期函数f(t)f(t)表示为频率为表示为频率为、幅值为、幅值为F()dF()d的简谐分量的无穷叠加。的简谐分量的无穷叠加。f(t)f(t)和和F()F()共称共称为傅里叶变换对。为傅里叶变换对。积分式积分式 利用复频率响应函数利用复频率响应函数H()H()，将，将f(t)f(t)以傅里叶以傅里叶变换式变换式代人代人x(t)=H()f(t

6、)x(t)=H()f(t)，可得系统的稳态响应为，可得系统的稳态响应为在非周期激励作用下，系统的响应又可由傅里叶积在非周期激励作用下，系统的响应又可由傅里叶积分表示为分表示为式中式中因此因此x(t)x(t)与与X()X()组成了傅里叶变换对。比较式得组成了傅里叶变换对。比较式得上式为系统响应的频率域表达式，系统在频率域的响上式为系统响应的频率域表达式，系统在频率域的响应应X()X()等于复频率响应等于复频率响应H()H()与激励的傅里叶变换与激励的傅里叶变换F()F()的乘积。的乘积。 例例3.9-1 3.9-1 试用傅里叶变换法计算单自由度无阻试用傅里叶变换法计算单自由度无阻尼系统对图所示的

7、矩形脉冲激励尼系统对图所示的矩形脉冲激励F(t)F(t)的响应的响应x(t)x(t)，并画出频谱图。并画出频谱图。解：因为解：因为f(t)=F(t)f(t)=F(t)k k，函数，函数f(t)f(t)可以定义为可以定义为利用式，可以对利用式，可以对f(t)f(t)进行傅里叶变换，积分得进行傅里叶变换，积分得当当=0=0，复频率响应为，复频率响应为得到得到于是，响应于是，响应x(t)x(t)可以表示成傅里叶逆变换形式，即可以表示成傅里叶逆变换形式，即为了计算此积分，需要作复平面内的围道积分为了计算此积分，需要作复平面内的围道积分( (这这已经超出了本书的范围已经超出了本书的范围) )，这里只给出

8、积分的结果，这里只给出积分的结果，有有注意到本例题响应注意到本例题响应x(t)x(t)的结果与例题的结果与例题3.8-43.8-4的结果相同。的结果相同。与与f(t)f(t)有关的频谱由方有关的频谱由方程程给出，因为给出，因为(e(eiTiT-e-e-iT-iT) )i2=sinTi2=sinT。方程简化为。方程简化为图表示图表示F()F()对对的频谱图。的频谱图。此外，与此外，与x(t)x(t)有关的频谱由方程有关的频谱由方程给出，同理，简化为给出，同理，简化为图表示图表示X()X()对对的频谱图。的频谱图。 将此例题与例题将此例题与例题3.8-43.8-4相比较，可以看出，相比较，可以看出

9、，对于求响应对于求响应x(t)x(t)的问题，用卷积积分要比用傅的问题，用卷积积分要比用傅里叶变换法简单，因为卷积积分能够避免本例里叶变换法简单，因为卷积积分能够避免本例题中涉及的复平面内围道积分的计算。题中涉及的复平面内围道积分的计算。3 310 10 用拉普拉斯变换法求系统响应用拉普拉斯变换法求系统响应传递函传递函数数 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)变换作为一种工具已经变换作为一种工具已经广泛地应用于线性系统的研究中，除了为求解线广泛地应用于线性系统的研究中，除了为求解线性微分方程提供有效方法外，还可以用来表示联性微分方程提供有效方法外，还可以用来表示联系激励和响应的

10、简单代数式。拉普拉斯变换既适系激励和响应的简单代数式。拉普拉斯变换既适合于瞬态振动，又适合于强迫振动，这一方法的合于瞬态振动，又适合于强迫振动，这一方法的主要优点在于它可以比较容易地来处理不连续函主要优点在于它可以比较容易地来处理不连续函数，并且可以自动地考虑初始条件。数，并且可以自动地考虑初始条件。用符号用符号 =Lx(t)=Lx(t)表示表示x(t)x(t)的拉普拉斯变换，则的拉普拉斯变换，则x(t)x(t)的拉普拉斯变换定义为的拉普拉斯变换定义为式中式中s s一般为一复量，函数一般为一复量，函数e e-st-st称为变换的核。因称为变换的核。因为式是一个以为式是一个以t t为积分变量的定

11、积分，所以将得出为积分变量的定积分，所以将得出一个以一个以s s为变量的函数。为变量的函数。为了用拉普拉斯变换法求解系统为了用拉普拉斯变换法求解系统的响应，需要计算导数量和譬的变换。应用分部积的响应，需要计算导数量和譬的变换。应用分部积分，可以得出分，可以得出式中式中x(0)x(0)为为m m的初始位移。同理，二阶导数的拉普的初始位移。同理，二阶导数的拉普拉斯变换可以表示为拉斯变换可以表示为式中式中 为为m m的初始速度。激励函数的拉普拉斯变换的初始速度。激励函数的拉普拉斯变换简单地表示为简单地表示为两边进行变换，整理后得两边进行变换，整理后得对方程对方程或改写为或改写为上式称为微分方程的辅助

12、方程。第一项表示强迫振上式称为微分方程的辅助方程。第一项表示强迫振动响应，第二项表示由初始条件引起的响应。动响应，第二项表示由初始条件引起的响应。如果不考虑方程的齐次解，即令如果不考虑方程的齐次解，即令x(O)= (O)=0 x(O)= (O)=0，就可以将变换激励和变换响应之比写成如下形式就可以将变换激励和变换响应之比写成如下形式函数函数 (s)(s)称为系统的广义阻抗，包含反映系统称为系统的广义阻抗，包含反映系统特性的所有参数，是以特性的所有参数，是以s s为变量的复数域的代数为变量的复数域的代数表达式。该域表示一复平面，称为拉普拉斯平面。表达式。该域表示一复平面，称为拉普拉斯平面。令令

13、(s)(s)的倒数以的倒数以 (s)(s)表示，即表示，即(s)(s)称为系统的导纳。称为系统的导纳。 在研究变换响应与变换激励的关系时，还要在研究变换响应与变换激励的关系时，还要建立一个更为普遍的概念，这一概念称为传递函建立一个更为普遍的概念，这一概念称为传递函数。对于方程所描述的二阶系统的特殊情形，传数。对于方程所描述的二阶系统的特殊情形，传递函数具有下面的形式，即递函数具有下面的形式，即式中式中和和nn分别为相对阻尼系数和无阻尼系统的分别为相对阻尼系数和无阻尼系统的固有频率。注意到，如果令固有频率。注意到，如果令 (s)(s)中的中的S=iS=i并乘以并乘以k k，就可以得到复频率响应函

14、数，就可以得到复频率响应函数H()H()。 方程可以改写为方程可以改写为 传递函数可以视为是一个代数算子，它对变换传递函数可以视为是一个代数算子，它对变换激励进行运算就得出变换响应。激励进行运算就得出变换响应。方程可以用图表示，以代数算子方程可以用图表示，以代数算子 (s)(s)表在拉普拉斯平表在拉普拉斯平面内的关系图。面内的关系图。 响应响应x(t)x(t)可由拉普拉斯逆变换求得。从变换响可由拉普拉斯逆变换求得。从变换响应回到应回到x(t)x(t)时，需要计算时，需要计算 (s)(s)的拉普拉斯逆变换，的拉普拉斯逆变换，可以表示为可以表示为一般来讲，一般来讲，L L-1-1的运算将涉及在复数

15、域内的线积分，的运算将涉及在复数域内的线积分，在很多情况下，这个积分可以用围道积分来代替，在很多情况下，这个积分可以用围道积分来代替，再转变为用复数代数中的剩余定理来计算。然而再转变为用复数代数中的剩余定理来计算。然而深入地研究拉普拉斯变换理论已经超出了本书的深入地研究拉普拉斯变换理论已经超出了本书的范畴。如果能够寻找一种将范畴。如果能够寻找一种将 (s)(s)分解成其逆变换分解成其逆变换为已知函数组合的方法，则在现有的知识结构中为已知函数组合的方法，则在现有的知识结构中就可以得到简单响应问题的拉普拉斯逆变换的解就可以得到简单响应问题的拉普拉斯逆变换的解答，这一方法可以通过部分分式法来实现。也

16、就答，这一方法可以通过部分分式法来实现。也就是说，把函数是说，把函数 (s)(s)分解成几个已经知道其逆变换分解成几个已经知道其逆变换的简单函数之和。表给出了一些简单函数的拉普的简单函数之和。表给出了一些简单函数的拉普拉斯变换对表。拉斯变换对表。 例例3.10-1 3.10-1 脉冲响应。设在脉冲响应。设在t=at=a处作用一单位处作用一单位脉冲激励。可以得出其拉普拉斯变换为脉冲激励。可以得出其拉普拉斯变换为先对方程作一些说明：对于任何不等于先对方程作一些说明：对于任何不等于a a的值，的值，函函数为零，以数为零，以(t-a)(t-a)乘任一函数乘任一函数f f（t t），使），使f(t)f(

17、t)在在fafa时的值都等于零；而当时的值都等于零；而当t=at=a时，时，f(t)=f(a)f(t)=f(a)，于，于是有是有f(t)(t-a)=f(a)(t-a)f(t)(t-a)=f(a)(t-a)。由于。由于(t-a)(t-a)的持的持续时间为无穷小，所以式中的续时间为无穷小，所以式中的f(a)f(a)为常数。又因为为常数。又因为方程中的方程中的e e-st-st起起f(t)f(t)的作用，所以得到的作用，所以得到e e-st-stf(t-a)=ef(t-a)=e- -asas(t-a)(t-a)，这里，这里e e为常数。把为常数。把e e-as-as放到积分号的外面，放到积分号的外面

18、，就得到了上面的结果。就得到了上面的结果。 对于脉冲响应来说，激励具有对于脉冲响应来说，激励具有F(t)=(t)F(t)=(t)的形的形式，由此可以得出式，由此可以得出a=0a=0和和 (s)=1(s)=1。根据方程，得到。根据方程，得到因而，脉冲响应的拉普拉斯变换因而，脉冲响应的拉普拉斯变换 等于传递函数等于传递函数 (s)(s)。由此，脉冲响应为。由此，脉冲响应为 即脉冲响应可简单地表示为传递函数的拉普拉即脉冲响应可简单地表示为传递函数的拉普拉斯逆变换。斯逆变换。考虑单自由度有阻尼系统，方程用部分分式的形式写考虑单自由度有阻尼系统，方程用部分分式的形式写出其传递函数，即出其传递函数，即因为

19、因为得出脉冲响应为得出脉冲响应为这与用经典方法得到的相同。因为当这与用经典方法得到的相同。因为当tOtO时，没有时，没有激励，所以方程应该乘以激励，所以方程应该乘以u(t)u(t)后，才与实际相符。后，才与实际相符。 例例3.10-2 3.10-2 阶跃响应。设阶跃响应。设F(t)=u(t-a)F(t)=u(t-a)，可以写，可以写出其拉普拉斯变换为出其拉普拉斯变换为显然，当显然，当F(t)=u(t)F(t)=u(t)，即当，即当a=0a=0时，有时，有 。代。代入方程，得到入方程，得到式中式中 (s)=Lg(t)(s)=Lg(t)为为g(t)g(t)的拉普拉斯变换。因而阶跃的拉普拉斯变换。因

20、而阶跃响应为响应为 考虑单自由度有阻尼系统，从方程可以用部分分考虑单自由度有阻尼系统，从方程可以用部分分式的形式写出式的形式写出 (s)(s)，即，即可以得到阶跃响应为可以得到阶跃响应为3 31111复频率响应与脉响应之间的关系复频率响应与脉响应之间的关系 可以证明，描述系统响应特性的在时域和频可以证明，描述系统响应特性的在时域和频域中分别定义的脉冲响应函数域中分别定义的脉冲响应函数h(t)h(t)和复频率响应和复频率响应函数函数H()H()恰好组成傅里叶变换对。恰好组成傅里叶变换对。 令激励函数为单位脉冲形式令激励函数为单位脉冲形式此时系统的响应为脉冲响应，即此时系统的响应为脉冲响应，即得出

21、该激励的傅里叶变换。得出该激励的傅里叶变换。得到得到有有因为因为F(t)=k(t)F(t)=k(t)，上式所给出的脉冲响应对应于弹，上式所给出的脉冲响应对应于弹簧常数簧常数k k等于等于1 1。同样，有。同样，有明显可以看出，复频率响应明显可以看出，复频率响应H()H()和脉冲响应和脉冲响应h(t)h(t)为傅里叶变换对。因此，系统的特性可以用复频为傅里叶变换对。因此，系统的特性可以用复频率响应率响应H()H()在频率域内描述，也可以用脉冲响在频率域内描述，也可以用脉冲响应应h(t)h(t)在时间域内描述，它们之间的关系如图所在时间域内描述，它们之间的关系如图所示，图中的双箭头表示傅里叶变换对

22、。示，图中的双箭头表示傅里叶变换对。3 312 12 课堂讨论课堂讨论 如图所示为一内燃机排气阀系统简图。已知如图所示为一内燃机排气阀系统简图。已知摇杆摇杆ABAB对转轴对转轴O O的转动惯量为的转动惯量为I I，汽阀，汽阀BCBC的质量为的质量为mvmv，阀簧质量为，阀簧质量为msms，弹簧刚度为，弹簧刚度为ksks，计算时根据，计算时根据考虑弹簧本身质量的瑞利考虑弹簧本身质量的瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)法可近似地法可近似地将将msms3 3集中于集中于B B点，挺杆点，挺杆ADAD的质量为的质量为mtmt，弹簧刚，弹簧刚度为度为ktkt。求系统固有频率和响应。求系统固有频

23、率和响应。 此系统可以简化为如图左侧所示的单自由度系此系统可以简化为如图左侧所示的单自由度系统。系统的动能为统。系统的动能为注意到注意到A A点的速度为点的速度为 =a =a ，上式变为，上式变为因此，在因此，在A A点的等效质量为点的等效质量为系统的势能为系统的势能为因此，在因此，在A A点的等效刚度为点的等效刚度为注意到注意到A A点的位移为点的位移为x=ax=a，上式变为，上式变为故系统的固有频率为故系统的固有频率为 如果给出挺杆如果给出挺杆ADAD的长度的长度L L，截面积，截面积A A，材料弹，材料弹性模量性模量E E，则根据受拉压杆等效刚度系数的计算方，则根据受拉压杆等效刚度系数的计算方法，挺杆法，挺杆ADAD的刚度的刚度kt=EA/Lkt=EA/L；如果简化挺杆；如果简化挺杆ADAD为一为一刚杆，则刚度系数刚杆，则刚度系数kt=0kt=0。此外，尽管阻尼的现实。此外，尽管阻尼的现实描述比较困难，但实际系统不可避免地存在着阻描述比较困难，但实际系统不可避免地存在着阻尼，因而根据实际情况，给出阻尼系数尼，因而根据实际情况，给出阻尼系数c c，并依据，并依据凸轮的激励函数凸轮的激励函数F(t)F(t)，则系统的运动微分方程为，则系统的运动微分方程为式中，为凸轮使挺杆运动的位移，凸轮按简谐规律式中，为凸轮