正态总体均值方差区间估计

1、四四. . 区间估计区间估计 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数的极大我们根据一个实际样本，得到鱼数的极大似然估计为似然估计为1000条条.121P 湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值12 1. 区间估计定义：区间估计定义：121P ),(2111nXXX ),(2122nXXX )(21 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平（置信度、的置信水平（置信度、置信概率）为置信概率）为 的置信区间的置信区间. ,21 12

2、1 和分别称为置信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限. 2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间如要求区间12 长度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.,21 1. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间 21 P内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾，可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度 两个要求：两个要求： 1. 选取未知参数的某个估计量选取未知参数的某个

3、估计量 ， 2. 寻找置信区间的方法寻找置信区间的方法|1P 使得使得 2. 根据置信水平根据置信水平 ，找一个正数，找一个正数 ， 1 误差限误差限 . 3. 由不等式由不等式| 可以解出可以解出 ：N(0, 1) 选选 的点估计为的点估计为X求参数求参数 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间. 例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N 1XZn 取取明确问题明确问题,是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？置信水平是多少？ 寻找未知参数的寻找未知参数的一个良好估计一个良好估计.解：解： 寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和

4、估计量的函数估计量的函数 ，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得2,Z 对于给定的置信水平对于给定的置信水平(大概率大概率), 根据根据U的分布，的分布，确定一个区间确定一个区间, 使得使得U取值于该区间的概率为取值于该区间的概率为置信水平置信水平.2|1XPZn 使使 /2 /2X(x)1-z/2-z/221)(2 z221P XZXZnn 从中解得从中解得2|1XPZn 由由于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 22(,)XZXZnn

5、 置信区间不是唯一的置信区间不是唯一的. .对于同一个置信度对于同一个置信度, ,可以可以有不同的置信区间有不同的置信区间. .置信度相同时置信度相同时, ,当然置信区间越短越当然置信区间越短越好好. .一般来说一般来说, ,置信区间取成置信区间取成概率对称区间概率对称区间. .注意注意 从例从例1解题的过程，我们归纳出求置解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下信区间的一般步骤如下:1. 明确问题明确问题, 是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 寻找参数寻找参数 的一个良好的点估计的一个良好的点估计T (X1,X2,Xn) 称称S(T

6、, )为枢轴量为枢轴量. 3. 寻找一个待估参数寻找一个待估参数 和估计量和估计量T的函数的函数 S(T, ),且其分布为已知且其分布为已知. 只能含有待估参数4. 对于给定的置信水平对于给定的置信水平 ，根据，根据S(T, )的分布，确定常数的分布，确定常数a, b，使得，使得 1 1 P(aS(T, )b)= 5. 对对“aS(T, )b”作等价变形作等价变形,得到如下得到如下形式形式: 121P 12(,) 1 则则 就是就是 的的100( )的置信区间的置信区间. 一、单个总体的情况一、单个总体的情况二、两个总体的情况二、两个总体的情况第五节第五节 正态总体均值与方差的区间估计正态总体

7、均值与方差的区间估计1.均值的置信区间2.方差的置信区间1.两个总体均值差的置信区间2.两个总体方差比的置信区间设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1) 2已知已知, 求求的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间一、单个正态总体数学期望的区间估计一、单个正态总体数学期望的区间估计)1 ,0(NnXZ/ 从点估计着手构造枢轴量: 的1-置信区间:),(22nzXnzX 构造Z的 一个1-区间:2|1XPZn (2)2未知未知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间 从点估计着手构造枢轴变量:nSXT/)1n( t) 1n (t2/ 构造T的 一个1-区间:1)1(|(|2

8、/ntTP1nS)1n(tXnS)1n(tXP2/2/ 的1-置信区间:)nS)1n(tX,nS)1n(tX(2/2/Xf(x)/2/21-/2( 1 )t n 例例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均值的置信度为0.95的置信区间.解解 已知2=1, =0.05, 的1-置信区间：),(22nzXnzX查表：22()1, 1.962zz 的1-置信区间:(4.804, 5.196)例例2 有一大批糖果.现从中随机地取16袋, 称得重量(单位: 克)如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505

9、493 496 506 502 509 496假设袋装糖果的重量近似服从正态分布, 求平均重量的区间估计, 置信系数是0.95.解解 未知2, =0.05,求 的1-置信区间:)nS)1n(tX,nS)1n(tX(2/2/的1-置信区间:(500.4, 507.1)查表：2(1)2.1315tn 计算：503.75, 6.2022xs 设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，总体均值总体均值 未知未知 二、单个正态总体方差的区间估计二、单个正态总体方差的区间估计 构造枢轴变量:22) 1(SnQ)1n(2 构造Q的 一个1-区间:121QP 解不等式得到2的1-置信区间:) 1()

10、 1(,) 1() 1(2212222nSnnSnXf(x)/2/21-121-/2) 1(22n) 1(221n例例 3 投资的回收利用率常常用来衡量投资的风险. 随机地调查了26个年回收利润率(%), 标准差S(%). 设回收利润率为正态分布, 求它的方差的区间估计(置信系数为0.95).解解 总体均值 未知,=0.05,方差的区间估计.) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn查表得方差的区间估计查表得方差的区间估计 22(0.615,1.905)SS(1) 12, 22已知已知, 1- 2的的1-置信区间置信区间) 1 , 0 (/)()(22212121NnnYXZ

11、 相对1- 2，构造枢轴变量: 构造Z的 一个1-区间: 概率恒等变形，得到1- 2的1-置信区间:1)(22zZzP)(,)(22212122221212nnzYXnnzYX设XN(1,12),Y N(2,22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为.S,Y;S,X2221三、两个正态总体均值差的区间估计三、两个正态总体均值差的区间估计(2) 12=22=2, 2未知未知,1- 2的的1-置信区间置信区间121212() () (2)1/1/X YTt nnSnn 对于1- 2，构造枢轴变量: 构造T的 一个1-区间: 变形得到1- 2的1-置信区间

12、:121221212211( ()(2),11()(2)X Yt nnSnnX Yt nnSnn 1)2(|(|212nntTP例例 4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: 和 , 计算出 (克), (克), . 假设这两条流水线上罐装番茄酱的重量都服从正态分布, 其总体均值分别为 , 且有相同的总体方差. 试求总体均值差 的区间估计, 置信系数为0.95. 1221,XXX1721,YYY6 .10X5 . 9Y7 . 4, 4 . 22221SS21,21 解解 12=22=2, 2未知,1- 2的0.95置信区间:121221212211( ()(2),11()(2)X Yt nnSnnX Yt nnSnn 222112212(1)(1)2nSnSSnn 其中其中 查