理论力学第3章 力系的平衡条件及平衡方程

1、20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院1 1第第 3 3 章章 力系的平衡条件与平衡方程力系的平衡条件与平衡方程20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院2 2平衡平衡若平面力系的主矢及对任一点的主矩等于零，即：若平面力系的主矢及对任一点的主矩等于零，即：FR0平衡平衡 O0 20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院3 3平面力系的平衡条件和平衡方程平面力系的平衡条件和平衡方程平面力系平衡的平面力系平衡的必要且充分条

2、件必要且充分条件是：力系的主矢以及力系对是：力系的主矢以及力系对任一点的主矩都等于零。即：任一点的主矩都等于零。即：FR0，O0而而FR(Fxi）2+（Fyi）2 )1/2 ，OO（F i ）于是得：平面力系的平衡方程（基本形式）于是得：平面力系的平衡方程（基本形式） Fxi 0 Fyi 0 O（F i）0即：力系中各力在任选的两直角坐标轴上投影的代数和都等即：力系中各力在任选的两直角坐标轴上投影的代数和都等于零，以及力系中各力对任一点之矩的代数和也等于零。于零，以及力系中各力对任一点之矩的代数和也等于零。20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大

3、学自动化学院4 4平衡方程的其他形式平衡方程的其他形式平面力系平衡方程除上面基本形式外，还可以写成如下两种形式:两矩一投影：A（F i ）0B（F i ）0Fix 0附加条件附加条件：X 轴不垂直于A、B 二点的连线。三矩式：A（F i ）0B（F i ）0C（F i ）0附加条件附加条件：A、B、C 三点不共线。必须指出：平面力系的平衡方程只有三个独立方程，因此只能求解三个未知量！20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院5 5平行分布线载荷的简化平行分布线载荷的简化 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则若分布荷载可以简化

4、为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为称此力系为平行分布线载荷平行分布线载荷，简称，简称线载荷线载荷。合力的大小等于线载荷合力的大小等于线载荷所组成几何图形的面积。所组成几何图形的面积。合力的方向与线载荷的合力的方向与线载荷的方向相同。方向相同。合力的作用线通过荷载合力的作用线通过荷载图的形心。图的形心。)(xqxCxQxy20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院6 6平行分布线载荷的简化平行分布线载荷的简化Qq2l2lqQ32l3l3、梯形荷载梯形荷载 Q=(q1+q2)l /2 (自己求合力的位置自己求合力的位置)2、三角形荷载

5、、三角形荷载 Q=ql /21、均布荷载、均布荷载 Q=ql 1q2qlQ20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院7 7刚体系统的平衡刚体系统的平衡刚体系统的平衡刚体系统的平衡:是指组成系统的每一个刚体都处于平衡状态。这类问题是常是指组成系统的每一个刚体都处于平衡状态。这类问题是常见的工程实际问题。见的工程实际问题。在研究刚体系统平衡问题时，应区分两种力：在研究刚体系统平衡问题时，应区分两种力：外力外力：刚体系统以外的物体作用在系统上的力；：刚体系统以外的物体作用在系统上的力；内力内力：组成系统的物体间相互作用的力。：组成系统的物体间

6、相互作用的力。关键：建立方程组的概念！关键：建立方程组的概念！20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院8 8例题一例题一题：单个物体的平衡题：单个物体的平衡已知：梁已知：梁AD 的支承及受的支承及受力如图所示。力如图所示。F 500 N，FA1000 N，q 1000 N/m，2000 N m ，a=2m 求：支座求：支座B、C 的约束的约束反力反力 20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院9 9例题一的解答例题一的解答 步骤步骤：选取研究对象：梁AD。 步骤步骤：受力分析如

7、图所示： 步骤步骤：取坐标系，列平衡方程： 步骤步骤：求解，得： 0iX0 FFBx 0iY 0)(FMB0AqCByFFFF0) 3/2(aaFaFaFMqCANFNFNFCByBx7 .16667 .66650020212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院1010例题二例题二题：物系的平衡已知：构架如图所示,重物重P 10kN,AD DB 2m，CD DE 1.5m，滑轮半径为R，不计摩擦及杆、滑轮的重量。求：杆BC 所受的力和杆AB 作用于销钉D 的力。20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北

8、京邮电大学自动化学院1111例题二的解答例题二的解答解：选取研究对象：杆CE（带有销钉D）以及滑轮、绳索、重物组成的系统（小系统）受力分析如图，列平衡方程: 解得：FC12.5 kN FDX20 kN FDY2.5 kN0)(0)(0)(FMFMFMBCD0)()(0)(0)()cos(RDBPRDEFBDFPRRCEFDCFPRRDEFCDFDyDxC20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院1212例题三例题三 求图示结构固定端的约束反力求图示结构固定端的约束反力。MBCBRCR解：先以解：先以BC为研究对象，受力如图。为研究对象，

9、受力如图。0:0mbRmC于是得于是得：BCRbmR再以再以AB为研究对象，受力如图，建为研究对象，受力如图，建立如图坐标。立如图坐标。0:0BARPXX0:0qaYYA:0)(FmA0)(221aRqabaPMBAPqBRAMAXAYxyAMBCPqaabA20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院1313例题四例题四20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院1414讲解：讲解：例题例题3-8 课本第课本第63页页讨论图讨论图3-8 （d）（）（e）的错误之处！）的错误之处！例

10、题例题3-9 课本第课本第65页页讨论图讨论图3-9 （d）（）（e）的错误之处！）的错误之处！给出更一般的求解方法；给出更一般的求解方法；20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院1515课堂练习课堂练习1baPABm求图示梁的支座反力。求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如解：以梁为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。图，建立如图所示的坐标。PABmAXAYBYxy0cos:0PXXA0sin:0PYYYBA0)(sin:0)(mbaPaYFmBA解之得：解之得：cosPXAabaPmYB)(sinaPbmYAsin20

11、212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院1616课堂练习课堂练习2ABCDEF123qaaab组合结构的荷载和尺寸如图所示，求组合结构的荷载和尺寸如图所示，求支座反力和各链杆的内力。支座反力和各链杆的内力。ABCDEF123qAXAYDR解：先以整体为研究对象，受力如图，解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。建立如图坐标。0:0DARXX0)2(:0baqYYA0)2(:0)(221baqaRFmDA解之得：解之得：abaqRD2)2(2abaqXA2)2(2)2(baqYA20212021年年1010月月1818日星期一日星期

12、一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院1717多跨静定梁由多跨静定梁由AB梁和梁和BC梁用中间铰梁用中间铰B连接而成，支撑和荷连接而成，支撑和荷载情况如图所示，已知载情况如图所示，已知P = 20kN，q=5kN m， = 45。求。求支座支座A、C的反力和中间铰的反力和中间铰B处的反力。处的反力。课堂练习课堂练习320212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院181820212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院1919历史回顾之第历史回顾之第2章章 例题一例题一已知：悬臂式起

13、重机已知：悬臂式起重机 OB =AB, =45.,重物重物D 重重 G =5kN, 梁重梁重OA不计。不计。求：钢索求：钢索BC 的拉力的拉力及铰链及铰链O 的反力的反力20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院2020历史回顾之第历史回顾之第2章章 例题一：解例题一：解解：解：1、选取研究对象：梁、选取研究对象：梁OA 2、画梁、画梁OA 的受力图：的受力图：G、FB 、FO， 构成一平面汇构成一平面汇 交力系，汇交点交力系，汇交点为为E 点。点。 3、解析法，取坐标轴如图，列平、解析法，取坐标轴如图，列平衡方程：衡方程：解出：解出：

14、 FO 为负值，表示受力图中为负值，表示受力图中FO 假定方假定方向与正确指向相反。向与正确指向相反。0)cos()cos(0oBiFFX0)sin()sin(0GFFYoBikNFB15.14kNFo18.1120212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院2121历史回顾之第历史回顾之第2章章 例题二例题二求图示平面刚架的支反力。求图示平面刚架的支反力。PABARBYxy解：以刚架为研究对象，受解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图坐标。力如图，建立如图坐标。0sin:00cos:0BAAYRYPRXPABm4m8由几何关系，由几何关系

15、，552cos,55sin解得解得PYPRBA21,2520212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院2222历史回顾之第历史回顾之第2章章 例题三例题三AB1m2m3mARBR 求图示简支梁的支座反力。AB1m2m3ml解：以梁为研究对象，受力如图。0:0321mmmlRmA解之得：BARlmmmR32120212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院2323静定与静不定的概念静定与静不定的概念静定问题静定问题：未知量个数 = 独立的平衡方程个数静不定问题静不定问题：未知量个数 独立的平

16、衡方程个数 20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院242420212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院252520212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院2626摩擦角摩擦角mmFNRm0由图可知，角由图可知，角 与静滑动摩擦系数与静滑动摩擦系数 的关系为：的关系为：mffNfNNFtgmm 当有摩擦时，支承面对平衡物体的当有摩擦时，支承面对平衡物体的反力包含法向反力反力包含法向反力 和切向摩擦力和切向摩擦力 ,这两个力的

17、合力称为支承面的这两个力的合力称为支承面的全约束反全约束反力力，即，即 ，它与支承面间的夹，它与支承面间的夹角角 将随主动力的变化而变化，当物体将随主动力的变化而变化，当物体处于临界平衡状态时，处于临界平衡状态时， 角达到一最大角达到一最大值值 ，如图，则，如图，则 称为称为摩擦角摩擦角。 角的角的变化范围为：变化范围为：NFFNRmm20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院2727自锁自锁自锁自锁：如果主动力的合力的：如果主动力的合力的作用线在摩擦角（锥）之作用线在摩擦角（锥）之 内，内，则不论合力大小如何，物体则不论合力大小如何，

18、物体总能平衡，这总能平衡，这 种情况称为自种情况称为自锁。如图所示。与主动力的锁。如图所示。与主动力的大小无关而只与摩擦角有关大小无关而只与摩擦角有关的这一平衡条件，的这一平衡条件， 称为自锁称为自锁条件：即条件：即 m 工程实例：千斤顶、固定螺工程实例：千斤顶、固定螺纹等都是自锁条件的利用。纹等都是自锁条件的利用。20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院2828滚动摩擦滚动摩擦滚动摩擦滚动摩擦：是指一物体沿另：是指一物体沿另一物体表面相对滚动（或有一物体表面相对滚动（或有相对滚动趋势）时接触面间相对滚动趋势）时接触面间产生的一种阻碍

19、物体相对滚产生的一种阻碍物体相对滚动的阻力偶，称为滚动摩擦，动的阻力偶，称为滚动摩擦，或称为滚阻。一般用或称为滚阻。一般用 表表示。示。20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院2929滚动摩擦产生的物理原因滚动摩擦产生的物理原因实际上是面接触，分布在接触面上实际上是面接触，分布在接触面上的约束力严格说是一空间力系，它的约束力严格说是一空间力系，它的合力不一定通过的合力不一定通过A点。如将该力点。如将该力系向系向A点简化，即得法向反力点简化，即得法向反力FN、滑动摩擦力滑动摩擦力Fs 以及滚动摩擦力偶以及滚动摩擦力偶。考虑滚动摩擦时的受力图通常如图考虑滚动摩擦时的受力图通常如图所示。所示。思考思考：为什么自行车轮胎气不足时或者松软的地面上骑车人感到费力？20212021年年1010月月1818日星期一日星期一北京邮电大学自动化学院北京邮电大学自动化学院3030滚动摩擦力偶的性质滚动摩擦力偶的性质滚动摩擦力偶滚动摩擦力偶 具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）：具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）： 其大小由平衡条件确定；其大小由平衡条件确定； 转向与滚动趋势相反；转向与滚动趋势相反；