第三章 数字控制器模拟化设计

1、第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计第三章第三章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计3.1 引言引言3.2 差分方式差分方式3.3 Z变换变换3.4 离散化方法离散化方法3.5 PID数字控制器的设计数字控制器的设计 设计举例设计举例第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计输出通道输出通道 D/A输入通道输入通道 A/D对象对象被控变量被控变量y输输 入入通通 道道计算机计算机给定给定计算机控制系统的工作原理计算机控制系统的工作原理第一节第一节 引言引言 第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计第一节第一节 引言引言 在数字控制系统

2、中，用数字控制器替代模拟调节器。计算机执行按某种算法编写的程序，实现对被控对象的控制和调节，称为数字控制器数字控制器。第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计设计方法一：设计方法一： 把计算机控制系统近似看成模拟系统，用连续系统的理论来进行动态分析和设计，再将设计结果转变成数字计算机的控制算法，该方法称为模拟化设计方法，又称间接设计法模拟化设计方法，又称间接设计法。D(s)Gc(s)R(s) +-C(s)图3-2 作为连续控制系统的结构图第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计设计方法二：设计方法二： 把计算机控制系统经过适当变换，变成纯粹的离散系统，用Z变换等

3、工具进行分析设计，直接设计出控制算法，该方法为离散化设计离散化设计方法，又叫直接设计法方法，又叫直接设计法。第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计 模拟化设计方法模拟化设计方法基本思路：基本思路：当系统的采样频率足够高时，采样系统的特性接近于连续变化的模拟系统，因而可以忽略采样开关和保持器，将整个系统看成是连续变化的模拟系统。 设计实质设计实质是：将一个模拟调节器离散化，用数字控制器取代模拟调节器。 设计基本步骤设计基本步骤：用连续系统设计方法确定D（S）采用适当的离散化方法求出相应的D（Z）检查系统性能是否满足要求将D（z）化为差分控制算法，编制计算机程序必要时进行数模混合

4、仿真，检验系统设计与程序编制是否正确第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计1 差分的定义差分的定义连续函数连续函数 ，采样后为，采样后为 简写简写一阶向前差分：一阶向前差分：二阶向前差二阶向前差分：分： n阶向前差分：阶向前差分： 一阶向后差分：一阶向后差分： 二阶向后差分：二阶向后差分： n阶向后差分：阶向后差分： 第二节第二节 差分方程差分方程第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计2 差分方程差分方程差分方程是确定时间序列的方程差分方程是确定时间序列的方程 连续系连续系统统微分用差分代替微分用差分代替 一般离散系统的差分一般离散系统的差分方程：方程： 差

5、分方程还可用向后差分表差分方程还可用向后差分表示为：示为：( )c k代替代替( )c t代替代替()r k( )r t第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计3 线性常系数差分方程的迭代求解线性常系数差分方程的迭代求解差分方程的解也分为通解与特解。差分方程的解也分为通解与特解。 通解是与方程初始状态有关的解。通解是与方程初始状态有关的解。 特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动。特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动。例例3-1 已知差分已知差分方程方程 ( )c k，试求，试求解：采用递推迭代法，解：采用递推迭代法，有：有：第第3章章 数

6、字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计北京航空航天大学 清华大学出版社例例3-1 采用采用MATLAB程序求解程序求解解序列为：解序列为：k=0，1，9时，时，n=10;% 定义计算的点数定义计算的点数c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定义输入输出和点数的初值定义输入输出和点数的初值for i=2:n c(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,k:o) %绘输出响应图，每一点上用绘输出响应图，每一点上用o表示表示MATLAB程序：程序： c=0，1.0000，1.5000， 1.7500，1.8750， 1.9375，1

7、.9688， 1.9844，1.9922， 1.9961，差分方程的解序列差分方程的解序列表示表示 说明：另一个求解方法是利用说明：另一个求解方法是利用z变换求解。变换求解。 第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计1 z变换定义变换定义1. z变换变换采样信号采样信号 采样信号的采样信号的z变换变换注意：注意：z变换中，变换中，z-1代表信号滞后一个代表信号滞后一个采样周期，可称为单位延迟因子。采样周期，可称为单位延迟因子。 第二章第二章 z变换变换第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计 nnznxzX

8、)()(的负幂的负幂的正幂的正幂znzznxzxzxzxzxzx )()2()1()0( )1()2(21012 的幂级数的幂级数是是1 zzX 的位置的位置指出指出中的中的幂幂 -nxnn nx 级数的系数是级数的系数是对对z变换式的理解变换式的理解第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计说明说明变变换换单单边边zznxzXnn,)()(0 列列的负幂级数构成右边序的负幂级数构成右边序 0zn 列列的正幂级数构成左边序的正幂级数构成左边序 1zn 若双边序列取单边若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序变换，或对因果信号（有起因序列）列） 存在的序列取存在的序列取z z

9、变换变换 0 n第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计采样脉冲序列进行采样脉冲序列进行z变换的写法：变换的写法：在实际应用中，对控制工程中多数信号，在实际应用中，对控制工程中多数信号，z变换所表示的无变换所表示的无穷级数是收敛的，并可写成闭和形式。穷级数是收敛的，并可写成闭和形式。z的有理分式：的有理分式：z-1的有理分式的有理分式:零、极点形式：零、极点形式：*( ), ( ), (), ( )Z ftZ f tZ f kTZ F s第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计2. z反变换反变换求与求与z变换相对应的采样序列函数的过程称为变换相对应的采样序列函

10、数的过程称为z反变换。反变换。z反变换唯一，且对应的是采样序列值。反变换唯一，且对应的是采样序列值。 第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计2 z变换的基本定理变换的基本定理1线性定理线性定理2实位移定理（时移定理）实位移定理（时移定理）(1)右位移（延迟）定理右位移（延迟）定理(2)左位移（超前）定理左位移（超前）定理3复域位移定理复域位移定理 第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计2 z变换的基本定理变换的基本定理4初值定理初值定理5终值定理终值定理 若存在极限若存在极限，则有：，则有：假定函数假定函数( )F z全部极点均在全部极点均在z平面的单位圆内

11、平面的单位圆内或最多有一个极点在或最多有一个极点在z=1处，则处，则 第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计1 1单位样值函数单位样值函数n0)(n 1 0 001)(nnn 1)()( nnznzX 2单位阶跃序列 0001)(nnnun0)(nu11 2 31 z1111)(1321 zzzzzzzX求求z变换及反变换方法变换及反变换方法1）z变换变换（1）定义法）定义法第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计3 3斜变序列的斜变序列的z z变换变换？， 0)()()(nnnzzXnnunx已知已知 1 11)(10 zzznuZnn求求导导两两边边，对对

12、式式对对11011 zzznn21011)1(1)( zznnn两边同时乘以两边同时乘以z-1 ，可得，可得 1 z 20)1( zzznnnuZnn（用间接方法求）（用间接方法求）第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计同理可得同理可得302211)()()( zzzznnunnn42033114)()()( zzzzznnunnn )(dd)()(11zXzznxnZnxnmmm n是离散变量，所以对是离散变量，所以对n没有微积分运算；没有微积分运算；z是连续变量，所以对是连续变量，所以对z有微积分运算；有微积分运算；第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计

13、4 4指数序列指数序列)()(nuanxn az bbnezznueZ )( 则则,bbezea 设设当当, 1,0 zeaj设设当当 00)( jnjezznueZ 则则 0nnnzazXazzaz 1111 1）右边序）右边序列列 1 2 nuanxn左左边边序序列列.注意：注意：z 变换相同时，左边序列的定义。变换相同时，左边序列的定义。 azzzX 1 nan第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计5 5正弦与余弦序列正弦与余弦序列 nun0cos 2cos000njnjeen 00jnjezznueZ1 z单边余弦序列单边余弦序列 1cos2cos21cos02000

14、0zzzzezzezznunZjj同理同理 1cos2sin21sin020000zzzezzezzjnunLjj第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计利用利用s域中的部分分式展开法域中的部分分式展开法（2）F(s) 的的z变换变换 ( )f t*( )ft（L反变换）反变换） ( )F s)(zF(z变换变换)(采样采样) 例例3-7 试求试求的的z变换。变换。解：解： 第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计利用利用MATLAB软件中的符号语言工具箱软件中的符号语言工具箱进行进行F(s)部分分式展开部分分式展开已知已知，通过部分分式展开法求，通过部分分式展

15、开法求F(z) 。F=sym(s+2)/(s*(s+1)2*(s+3)； %传递函数传递函数F(s)进行符号定义进行符号定义numF,denF=numden(F)；%提取分子分母提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式将分母转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；%将分子转化为一般多项式将分子转化为一般多项式R,P,K=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开部分分式展开MATLAB程序：程序： 运行结果：运行结果：R=0.0833-0.7500-0.50000.6667P=-3.0000-1.0000-1.00000K=（

16、此题无（此题无K值）值） 对应部分分式分解结果为：对应部分分式分解结果为： 第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计(3) 利用利用z变换定理求取变换定理求取z变换式变换式例例3-8 已知已知f (t)=sin t的的z变换变换 的的z变换。变换。解：利用解：利用z变换中的复位移定理可以很容易得到变换中的复位移定理可以很容易得到 试求试求 第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计(4) 查表法查表法 实际应用时可能遇到各种复杂函数，不可能采实际应用时可能遇到各种复杂函数，不可能采用上述方法进行推导计算。实际上，前人已用上述方法进行推导计算。实际上，前人已通过各种

17、方法针对常用函数进行了计算，求通过各种方法针对常用函数进行了计算，求出了相应的出了相应的F(z)并列出了表格，工程人员应用并列出了表格，工程人员应用时，根据已知函数直接查表即可。具体表格时，根据已知函数直接查表即可。具体表格见附录见附录A。 部分分式部分分式 )(tf)(tfi查表查表 )(zFi求和求和 )(zF 部分分式部分分式 查表查表 )(zFi求和求和 )(zF)(sF( )iF s第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计2） z反变换方法反变换方法 (1) 查表法查表法（可以直接从表中查得原函数）（可以直接从表中查得原函数） 如已知如已知z变换函数变换函数F(z)

18、，可以依，可以依F(z) 直接从给定直接从给定的表格中求得它的原函数的表格中求得它的原函数f *(t) 。第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计2） z反变换方法反变换方法(2) 部分分式法部分分式法（较复杂，无法直接从表格中查其原函数）（较复杂，无法直接从表格中查其原函数） 部分分式部分分式 查表查表 求和求和 )(zF)(zFi)(*tfi)(*tf查表查表 )(*tf第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计部分分式法例子部分分式法例子例例3-9 求下式的求下式的z反变换反变换MATLAB程序：程序： Fz=sym(-3*z2+z)/(z2-2*z+1)；

19、%进行符号定义进行符号定义F=Fz/z；numF,denF=numden(F)；%提取分子分母提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式将分母转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；R,P,K=residue(pnumF,pdenF)% 部分分式展开部分分式展开 查表可得查表可得 其中其中 第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计2）z反变换方法反变换方法(3) 幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）例例3-10 已知已知 11210( )1 1.50.5zF zzz，求，求 *( )ft对该例，从相关系数中可以对该例

20、，从相关系数中可以归纳得：归纳得：第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计4 差分方程差分方程z变换解法变换解法例例3-11 用用z变换法求差分方程变换法求差分方程 利用利用z变换求解线性常系数差分方程，将差分方程的求解转变换求解线性常系数差分方程，将差分方程的求解转换为代数方程的求解换为代数方程的求解c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=4k解：解：(1) 对每一项做对每一项做z变换变换(2) 归纳整理归纳整理 特解特解 通解通解 (3) z反变换反变换 查表得查表得 部分分式展开部分分式展开 假设初始条件为零，上式第假设初始条件为零，上式第2项为零项为零 22( )(0

21、)(1)3( )3(0)2 ( )4zz C zz czczC zzcC zz第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计 第四节第四节 离散化方法离散化方法 一差分变换法一差分变换法 模拟调节器若用微分方程的形式来表示，其导数可用差分近似。常用的差分方法：后向差分和前向差分。（1）一阶后向差分：一阶导数采用近似式： （31）（2）二阶后向差分：二阶导数采用近似式： （32）Tkukudttdu)1()()(22)2()1(2)()1()()(TkukukuTkukudttud特点特点：变换公式简单，应用方便；D(Z)与D(S)的等效精度差。应用场合：应用场合：很少使用，一般只用于

22、微分环节的离散化中，如PID控制器的离散化。第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计例例1： 求惯性环节求惯性环节 的差分方程。的差分方程。解：解：由 有 化成微分方程：以采样周期T离散上述微分方程得：即 11)(1sTsD11)()()(1sTsEsUsD)()() 1(1sEsUsT)()()(1tetudttduT)()()(1kTekTukTuT)()()(1kekukuT第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计 用一阶后向差分近似代替微分得 代入上式得 整理得 Tkukutu) 1()()()()() 1()(1kekukukuTT)() 1()(11

23、1keTTTkuTTTku第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计例例2： 求环节求环节 的差分方程。的差分方程。解：解：由有 即 化成微分方程 代入式（31）和（32）得 最后得到 ) 1()(1sTsKsD)()()(sEsUsD)()() 1(1sKEsUsTs)()()(21sKEssUsUsT)()()(1tketutuT )() 1()(2-1-2(21kKeTkukuTkukukuT）（）（）)()2() 1(2)(121111keTTkTkuTTTkuTTTTku第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计二零阶保持器法（二零阶保持器法（阶跃响应不变

24、法）阶跃响应不变法） 基本思想：基本思想：离散近似后的数字控制器的阶跃响应序列，必离散近似后的数字控制器的阶跃响应序列，必须与模拟调节器的阶跃响应的采样值相等。须与模拟调节器的阶跃响应的采样值相等。 （37） 其中 H（s）称为零阶保持器，T为采样周期。 零阶保持器法的物理解释如教材P89图34所示。 ssDZzzD1)(11)(1ssDZzzD)()1 ()(1)()()(1)(sDsHZsDseZzDTs 第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计阶跃响应不变法特点：阶跃响应不变法特点： D(Z)能保持D(S)的阶跃响应采样值，但不能保证脉冲响应采样值不变。 若D(S)稳定，

25、D(Z)也一定稳定 未改变Z变换所产生的频率混叠现象。使用场合：使用场合： 通常只适用于低通网络的离散变换，另外，当采样频率较低时，应注意补偿零阶保持器带来的相移第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计例例3：用零阶保持器法求惯性环节用零阶保持器法求惯性环节 的差分方程。的差分方程。解：解：由式（37），有 11)(1sTsD111)(1sTseZzDTs) 1(1)1 (11sTsZz11111)1 (TssZz第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计所以整理得1/1111111)1 (zezzTT)1)(1 ()1 ()1 (1/11/111zezzezTTTT1/1/111)1 (zezeTTTT)()()(ZEZUZD1/1/111)1 (zezeTTTT) 1()1 () 1()(11/keekuekuTTTT第第3章章 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计三双线性变换法三双线性变换法 又称突斯丁（突斯丁（Tustin）法）法，它是将s域函数与Z域函数进行转换的一种近似方法。由Z变