简单拉压静不定问题

1、 第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形 本章主要研究本章主要研究: : 轴向拉压变形分析的基本原理轴向拉压变形分析的基本原理 简单拉压静不定问题分析简单拉压静不定问题分析 热应力与预应力分析热应力与预应力分析 结构优化设计概念简介结构优化设计概念简介研究变形研究变形求求桁架节点位移桁架节点位移求解求解静不定静不定 1 拉压杆的变形与叠加原理拉压杆的变形与叠加原理 2 桁架的节点位移桁架的节点位移 3 3 拉压与剪切应变能拉压与剪切应变能 4 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题 5 热应力与预应力热应力与预应力 6 结构优化设计概念简介结构优化设计概念简介第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形 轴

2、向变形与胡克定律轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比横向变形与泊松比 叠加原理叠加原理 例题例题1 拉压杆的变形与叠加原理拉压杆的变形与叠加原理 轴向变形与胡克定律轴向变形与胡克定律拉压杆的轴向变形拉压杆的轴向变形AFN ll )( p时时当当 EEAlFlN 胡克定律胡克定律 EA杆截面的杆截面的抗拉压刚度抗拉压刚度 l伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负轴向变形一般公式轴向变形一般公式N( )d( )FxxEA x lxxEAxFld)()(N niiiiiAElFl1N变截面变轴力杆变截面变轴力杆轴力分段（阶梯形杆）轴力分段（阶梯形杆）FNi杆段杆段 i 轴力轴力（设正）（设正）n总段数

3、总段数， l伸长为正伸长为正若若 nBB，如何求变形？，如何求变形？取微段取微段dx,微段变形微段变形 横向变形与泊松比横向变形与泊松比拉压杆的横向变形拉压杆的横向变形bbb 1bb 横向变形横向变形横向应变横向应变横截面内横截面内任一点，任一点，任意面内方向任意面内方向上的应变上的应变 横向变形与泊松比横向变形与泊松比E 泊松比泊松比试验表明试验表明 ：在比例极限内，：在比例极限内， ，并异号，并异号 泊松比泊松比 ( (横向变形系数）横向变形系数） Poissons RatioE 0 00 0. .5 5 对于绝大多数各向同性材料对于绝大多数各向同性材料 1 10 0. .5 5 弹性理论

4、证明：弹性理论证明： 等温下各向同性线弹性材料等温下各向同性线弹性材料 0 0. .3 39 9 铜泡沫铜泡沫 叠加原理叠加原理算例算例1.1.分段解法分段解法12N1FFF 2N2FF EAlFEAlFl2N21N1)( 分段分段EAlFEAllFl11212)()( 分分段段试分析杆试分析杆 AC 的轴向变形的轴向变形 lEAlFEAlFF22112)( EAllFlF)(2122 2. 分解载荷法分解载荷法EAlFlF111 21)(FFlll 分分解解载载荷荷3. 比较比较分分解解载载荷荷分分段段)()(ll EAlFEAllF11212)( EAlFEAllFl11212)()( 分

5、分段段载荷载荷同时同时作用作用载荷载荷单独单独作用之和作用之和F F2 (F2)F1 (F1)F1+F2 (F1+ F2)1k kF F 2n nc cF F 1 11 12 21 11 11 12 2( () )( ( ) )( () )F FF FF FF F 2 21 12 22 21 12 22 2( () )( () )( () )F FF FF FF F 叠加原理（力的独立作用原理）叠加原理（力的独立作用原理） “ 几个载荷同时作用所产生的总效果几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和，等于各载荷单独作用产生的效果的总和”应用条件：应用条件： 载荷的效果（

6、载荷的效果（内力内力、应力应力、变形）变形）与与载荷载荷成成线性线性说明：说明：1）1 1-支反力、内力、应力、位移、应变，支反力、内力、应力、位移、应变， F -F -广义载荷：力、力偶矩、分布力；广义载荷：力、力偶矩、分布力；2 2）同一点（或截面）处的同类量叠加；）同一点（或截面）处的同类量叠加；3 3）标量、共线矢量代数和；）标量、共线矢量代数和； 非共线矢量矢量和。非共线矢量矢量和。 例例 题题例例 1-1 长度长度 l = 54 mm ，内径，内径 di = 15.3 mm，E200 GPa，0.3。经预紧后，轴。经预紧后，轴 向变形向变形 l 0.04 mm。试求：。试求： (a

7、) 螺拴横截面上的正应力螺拴横截面上的正应力 (b) 螺拴的横向变形螺拴的横向变形 d解：解：1. 横截面正应力横截面正应力4-10.417 ll MPa 2148 .E 2. 螺拴横向变形螺拴横向变形 410222 . mm 00340i.dd 螺拴直径缩小螺拴直径缩小 0.0034 mm若杆件截面为空心圆，若杆件截面为空心圆，内、外径如何变化？内、外径如何变化？横截面内横截面内任一点、任一点、在任一方向在任一方向上的应变上的应变叶片叶片例例 1-2 图示涡轮叶片，单位体积的质量为图示涡轮叶片，单位体积的质量为r r ，求叶片，求叶片横截面上的正应力与轴向变形横截面上的正应力与轴向变形解：解

8、：1. 叶片外力叶片外力 r r ddd22AmF 作用在作用在 d 微段上的离心力：微段上的离心力：2. 叶片轴力与应力叶片轴力与应力 r r dd 2AF 处的向心加速度：处的向心加速度：2r ax 截面的轴力：截面的轴力： o2Nd)(RxAxF r r )(2 22o2xRA r r x 截面的应力：截面的应力：)(2)( 22o2xRx r r 3. 叶片的轴向变形叶片的轴向变形xEAxFlRRd)(oiN )32(63ii2o3o2RRRRE r r 2. 叶片轴力与应力叶片轴力与应力 节点位移分析节点位移分析 小变形概念小变形概念 例题例题2 桁架的节点位移桁架的节点位移 节点位

9、移分析节点位移分析 图示对称桁架，图示对称桁架，已知已知 ：E1A1= E2A2=EA，l1=l2=l，试求试求节点节点 A 的铅垂位移的铅垂位移f fA A a a a allAFb bB l1A Ab ba a ()coscosAfABlllb ba a a a a a a a 2coscos()cossin() cosa aa a a a 2cossin()()c s()oAllflll 11()llA BA A切线代圆弧切线代圆弧a aa aa aa a costgsincosAlfllAA 节点位移分析节点位移分析1. 轴力与变形分析轴力与变形分析)( 2N1拉伸拉伸FF )( N2

10、压压缩缩FF EAlFAElFl22111N11 )( 222N22缩短缩短EAFlAElFl 图示桁架，图示桁架，试求试求节点节点 A 的水平与铅垂位移，的水平与铅垂位移，已知已知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l)( 2伸长EAFl 圆弧法圆弧法 作圆弧作圆弧A1A、A2A 切线代圆弧法切线代圆弧法2. 作图法作图法求节点位移求节点位移3. 节点位移计算节点位移计算)( 22 lAAAx 5AAAy 将将圆弧圆弧A1A用用其其切线切线A1A3代替代替)( 45cos21 ll 小变形概念小变形概念小变形：小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形与结构原尺寸相比为很小的变形应应 用：用：在

11、小变形条件下，通常即可在小变形条件下，通常即可： 按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束 反力与内力反力与内力刚性假定；刚性假定； 采用切线代圆弧的方法确定节点位移；采用切线代圆弧的方法确定节点位移； 内力、应力与载荷成线性内力、应力与载荷成线性位移与应变成线性位移与应变成线性 例例 题题刚体刚体EA例例 2-1 F1 = F2 / 2 = F ，求截面求截面 A 的位移的位移解：解：1. 计算计算 FN与与 lFFFF630sin221N EAFlEAlFl3460sin6 0BM2. 画变形图画变形图3. 位移计算位移计算 2CCAAAy 60cos2 l

12、 )( 316 EAFl刚性杆不变形刚性杆不变形 应变能概念应变能概念 轴向拉压应变能轴向拉压应变能 拉压与剪切应变能密度拉压与剪切应变能密度 例题例题3 拉压与剪切应变能拉压与剪切应变能 应变能概念应变能概念应变能与功能原理应变能与功能原理 弹性体因变形而储存的能量弹性体因变形而储存的能量应变能应变能 V 外力在变形过程中所作之功外力在变形过程中所作之功外力功外力功 W弹性体功能原理弹性体功能原理WV 功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能等的变化，均可忽略不计等的变化，均可忽略不计。

13、根据能量守恒定律，弹性体因变形所储根据能量守恒定律，弹性体因变形所储存的应变能存的应变能 ，数值上等于外力所作的功，数值上等于外力所作的功 构件在载荷作用点、沿载荷方向的位移构件在载荷作用点、沿载荷方向的位移相应位移相应位移 轴向拉压轴向拉压应变能应变能 线弹性杆的外力功线弹性杆的外力功 f ddfW fW0d 2FW 线弹性拉压杆的外力功线弹性拉压杆的外力功EAlFlFW222N 线弹性杆的拉压应变能线弹性杆的拉压应变能WV EAlFV22N 拉压与剪切应变能密度拉压与剪切应变能密度2ddddyzxV 单位体积内应变能单位体积内应变能应变能密度应变能密度Ev222 2ddddyzxV Gv2

14、22 拉压应变能密度拉压应变能密度剪切应变能密度剪切应变能密度zyxddd2 zyxddd2 例例 题题解：解：1. 轴力分析轴力分析（拉）（拉） 2N1FF（压）（压） N3N2FFF例例 3-1 用能量法计算节点用能量法计算节点 B 的铅垂位移的铅垂位移 By2. 应变能计算应变能计算 312N2iiiiiAElFVEAlFEAlFEAlFV22222N32N221N 3. 位移计算位移计算EAlFFBy)12(22 EAFlBy)12(2 VW 2ByFW EAlF)12(2 由由可得可得用解析法如何求？用解析法如何求？ 静不定问题与静不定度静不定问题与静不定度 静不定问题分析静不定问题

15、分析 例题例题4 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题 静不定问题与静不定度静不定问题与静不定度 静不定问题静不定问题 仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题 静不定度静不定度 未知力数与有效平衡方程数之差未知力数与有效平衡方程数之差 静定问题静定问题 仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反力与内力）的问题力与内力）的问题一一度度静静不不定定静定问题静定问题静不定问题静不定问题 静不定问题分析静不定问题分析分析方法分析方法求解思路求解思路一度静不定一度静不定 建立平衡方程建立平衡方程 分析变形，分析变形，建立补充方程建立补

16、充方程E1A1= E2A2各杆变形间满各杆变形间满足一定关系足一定关系0),(321 lllf0),(N3N2N1 FFFF)3 , 2 , 1( N iFlii补充方程补充方程变形协调条件变形协调条件变形与受力关系变形与受力关系 平衡方程平衡方程0sin-sinN1N2 a aa aFF0coscosN3N2N1 FFFFa aa a 变形几何关系变形几何关系a acos31ll 保证结构保证结构连续性连续性所应所应满足的变形几何关系满足的变形几何关系 胡克定律胡克定律111N11AElFl 331N33cosAElFla a 补充方程补充方程N323311N1cosFAEAEF a a变形

17、协调方程变形协调方程用内力表示的变形协调方程用内力表示的变形协调方程联立求解平衡与补充方程联立求解平衡与补充方程a aa a311332N2N1cos2cos AEAEFFFN33113312cosFFE AE Aa a 综合考虑三方面综合考虑三方面 外力与外力与 FNi 之间满足静力平衡方程之间满足静力平衡方程 各各 li 之间满足变形协调方程之间满足变形协调方程 li 与与FNi 之间满足给定物理关系（例如之间满足给定物理关系（例如胡克定律胡克定律）综合考虑静力、几何与物理三方面综合考虑静力、几何与物理三方面静不定问题的内力特点静不定问题的内力特点 内力分配与杆件刚度有关内力分配与杆件刚度

18、有关 一般讲，一般讲，EiAi ，FNi 例例 题题例例 4-1 求两端固定杆的支反力求两端固定杆的支反力解解：1. 静力学方面静力学方面 支反力支反力2，平衡方程平衡方程1，1 度静不定度静不定(a) 0 , 0 BxAxxFFFF2. 几何方面几何方面0 CBACll4. 建立补充方程建立补充方程(b) 021 lFlFBxAx5. 支反力计算支反力计算联立求解平衡方程（联立求解平衡方程（a）与补充方程（）与补充方程（b），得），得212llFlFAx 211llFlFBx 3. 物理方面物理方面EAlFEAlFlAxAC11N1 EAlFEAlFlBxCB12N2)( (a) 0 BxA

19、xFFF0 CBACll解：解：1. 问题分析问题分析 未知力未知力4，平衡方程，平衡方程3，一度静不定，一度静不定2. 画变形与受力图画变形与受力图注意受力图与变形图协调：注意受力图与变形图协调： 伸长拉力；缩短压力伸长拉力；缩短压力先画变形图，判断轴力正负先画变形图，判断轴力正负例例 4-2 已知：已知：F = 50 kN， 1 = 160 MPa， 2 = 120 MPa，A1= A2。试问：。试问：A1=? A2=?3. 建立平衡方程建立平衡方程求解略求解略解：解：1. 画变形与受力图画变形与受力图注意受力图与变形图协调：注意受力图与变形图协调： 伸长拉力；缩短压力伸长拉力；缩短压力先

20、画变形图，判断轴力正负先画变形图，判断轴力正负例例 4-3 已知：已知：F = 50 kN， t = 160 MPa， c = 120 MPa，A1= A2。试问：。试问：A1=? A2=?一度静不定一度静不定 0BM3. 建立补充方程建立补充方程CCl22 1N112EAlFl 2N22EAlFl N1N24FF 2. .建立平衡方程建立平衡方程02)(2N2N1 lFFlF1222ll 02)(2 , 0N2N1 lFFlFMBN1N24FF 5. 截面设计截面设计N 1059. 41282844N1N2 FFF2tN11mm 7 .71 FA2cN22mm 383 FA221mm 383

21、 AA结结论论：4. 内力计算内力计算例例 4-4 试画试画图示静不定桁架的变形图与受力图图示静不定桁架的变形图与受力图解：解：1. 画变形图画变形图设节点设节点C位移至位移至 ，过，过 点向三杆作垂线。点向三杆作垂线。CC2. 根据变形图，画受力图根据变形图，画受力图 热应力与初应力概念热应力与初应力概念 例题例题5 热应力与初应力热应力与初应力 热应力与初应力概念热应力与初应力概念引起应力的非力学因素引起应力的非力学因素T T lla a 1. 温度变化温度变化2. 杆长制造误差杆长制造误差 EAlFTlllR a a0 TEAFl a a RT0R EAlFl lEAF R热应力与初应力

22、热应力与初应力 由于由于温度变化温度变化或或杆长制造误差杆长制造误差，结构在未受载时即已，结构在未受载时即已存在的应力，依次称为存在的应力，依次称为热应力热应力与与初应力（预应力、装配初应力（预应力、装配应力）应力）。 在静不定结构中，各杆段或各杆的轴向变形必须服在静不定结构中，各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件，因此，从变形协调条件，因此，温度变化温度变化或或杆长制造误差杆长制造误差，一般将引起应力一般将引起应力。 由于由于温度变化温度变化或或杆长制造误差杆长制造误差，静不定结构将可能，静不定结构将可能存在热应力与初应力存在热应力与初应力静不定结构的特点静不定结构的特点 例例 题题例

23、例 5-1 杆杆 1 温度升高温度升高 T，求，求 FN1 ，FN2 与与 支座支座 C 反力反力解：解：1. 画变形图画变形图2. 画受力图画受力图注意分清哪一段是轴向变形注意分清哪一段是轴向变形 l注意轴力注意轴力 FN 与轴向变形与轴向变形 l 的协调的协调 l1 l13. 建立平衡方程建立平衡方程 0 , 0N3N1RFFFFy0434 , 0N3N1 aFaFMC4. 建立补充方程建立补充方程3AABB )(31T2ll EAlFTlEAlFlN1N23a a5. 计算结果计算结果1093N3N1TEAFFl a a563RN1TEAFFl a aliTFa a,N 例例 5-2 试

24、建立平衡与补充方程（结构左右对称）试建立平衡与补充方程（结构左右对称）解：解： 画变形图画变形图 cos13ll cos1cos11N1333AElFAElF0cos2N1N3 FF画受力图画受力图建立平衡与补充方程建立平衡与补充方程 优化设计的几个名词优化设计的几个名词 结构结构优化设计简单优化设计简单算例算例6 结构优化设计概念简介结构优化设计概念简介 结构结构优化设计的几个名词优化设计的几个名词结构优化设计：所设计的结构或构件，不仅满足强度、所设计的结构或构件，不仅满足强度、刚度与稳定性等方面的要求，同时又刚度与稳定性等方面的要求，同时又在追求某种或某些在追求某种或某些目标方面目标方面（例如重量最轻、承载能力最高等），（例如重量最轻、承载能力最高等），达到最达到最佳程度佳程度。设计变量：在工程设计中可由设计者调整的量在工程设计中可由设计者调整的量, ,例如例如构件的截面尺寸构件的截面尺寸约束条件：设计变量必须满足的限制条件设计变量必须满足的限制条件目标函数：目标的设计变量