平面向量共线的坐标表示

1、平面向量的坐标运算平面向量共线的坐标表示一、教学分析1前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示 在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算2本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算 推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律3引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢前面已经找出两个向量共线的条件（如果存在实数入使得a= D，那

2、么a与b共线），本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线。2、过程与方法：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。3情感态度与价值观：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。三、教学重点与难点教学重点：平面向量的坐标运算。教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确四、教学设想（一） 导入新课思路1向量具有代数特征，与平面直角坐标

3、系紧密相联那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的关系关于x、y的二元一次方程 Ax+By+C=O（A B不同时为零）何时所体现的两条直线平行向量的共线用代数运算如何体现思路2.对于平面内的任意向量 a，过定点0作向量OA=a，则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一 确定.如果以定点0为原点建立平面直角坐标系 ，那么点A的位置可通过其坐标来反映，从而向量a也可以用 坐标来表示，这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上，向量的坐标表示，实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问

4、题的解答转化为学生熟知的数量运算引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢（二） 推进新课、新知探究、提出问题 我们研究了平面向量的坐标表示现在已知a=（xi，yi），b=（x2，y2）你能得出a+b，a-b，a的坐标表示吗 如图1,已知A（xi，yi），B（X2，y2），怎样表示AB的坐标你能在图中标出坐标为（X2-xi，y2-yi）的P点吗标出点P后,你能总结出什么结论活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得：（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数:将向量AB平移,

5、使得点A与坐标原点0重合,成立但乂Xi均无意义.因此X2yXi是向量a、b共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具X2a+b=（xi i +yij）+（X2 i +y2j）=（xi+X2）i +（yi+y2）j, 即 a+b=（xi +X2,yi+y2）. 同理 a-b=（xi_x2,yi_y2）.又扫=入（x i +yij）=入ixi + 入 y 二 Aa=（入ix Xi）.教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为 ： 两个向量和（差 ）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和乘原来向量的相应坐标教师再引导学生找出点与向量的关系 则平移后的B点位置就是P点向量AB的坐标与以原点为始点

6、，点P为终点的向量坐标是相同的，这样就建 立了向量的坐标与点的坐标之间的联系学生通过平移也可以发现：向量AB的模与向量0P的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式：I AB Fl 0P 1= . （xiX2）2（yiy2）2 .教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能 获得意想不到的收获.讨论结果：能. AB =0B - OA =（x2，y2）-（xi，yi）=（x2-xi，y2-yi）.结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标提出问题 如何用坐标表示两个共线向量 若a=（xi，yi），b=（x2

7、，y2），那么山 匹是向量a、b共线的什么条件xix2活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a=（xi，yi），b=（x2，y2），其中b丰我们知道，a、b共线，当且仅当存在实数入使a=X.如果用坐标表示，可写为（xi，yi）= X待2），xix2，即消去X后得Xiy2-x2yi=0.yiy2 -这就是说，当且仅当xiy2-x2yi =0时向量a、b（b老）共线.又我们知道Xiy2-x2yi=0与xiy2=x2yi是等价的 但这与 也里是不等价的.因为当xi=x2=0时,xiy2-x2yi=0般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点

8、i.(2007海南高考,4)A.(-2,-1)答案:D13已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量a b等于(C.(-1,0)B.(-2,i)D.(-i,2)2.(2007全国高考,3) A.垂直答案:A已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b()B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向讨论结果:x iy2-x2yi=0时，向量a、b(b老)共线.充分不必要条件提出问题a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数入使得a= ?b,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢活动:教师引导推证:设a=(Xi,yi),b=(x2,y2),其中b旳,XiX2由 a= ?b

9、,(xi,yi)=入 2xy2)消去 入得 Xiy2-x2yi=0.yiy2 -讨论结果：a/ b(b老)的充要条件是Xiy2-x2yi=0.教师应向学生特别提醒感悟：1 肖去入时不能两式相除，yi、y2有可能为0,而b电X2、y2中至少有一个不为 0.2。 充要条件不能写成 里 比(.Xi、X2有可能为0).X1X2a b3。 从而向量共线的充要条件有两种形式 :a/ b(b丰0)Xi y2X2%0.(三)应用示例思路i例 i 已知 a=(2,i),b=(-3,4),求 a+b,a-b,3a+4b 的坐标.活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐

10、标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a+b=(2,i)+(-3,4)=(-i,5);a-b=(2,i)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,i)+4(-3,4)=(6,3)+(-i2,i6)=(-6,i9).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练例2如图2,已知 匚ABCD的三个顶点 A、活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算这里给出了两种解法：解法一利用两个

11、向量相等,则它们的坐标相等”解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD的坐标，进而得到点D的坐标解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标解:方法一：如图2,设顶点D的坐标为(x,y).13 x,AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2), DC =(3-x,4-y).由 AB = DC，得(1,2)=(3-x,4-y).-24 x.x 2,y 2.顶点D的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则，可知 . BDBA ADBA BC =(-2-(-1),1-3)+(3

12、-(-1),4-3)=(3,-1),而 OD =0B + BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),顶点D的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算变式训练A6oJT图3如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点解:当平行四边形为ABCD时，仿例二得:Di=(2,2);当平行四边形为ACDB时，仿例二得:D2=(4,6);当平行四边形为 DACB时,仿上得：D3=(-6,0).例3已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.活动:教师引导学

13、生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式(-i,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.解:在平面直角坐标系中作出A、B、C三点，观察图形，我们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明.AB =(1-(-1),3-(-1)=(2,4), AC =(2-(-1),5-(-1)=(3,6),又2X 6-3 X 4=0, AB / AC，且直线AB、直线AC有公共点A, A、B、C三点共线.点评：本例

14、的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的变式训练即xy yiXi(X2 x)(y2 y)XiX2nyiy2iP点位置的影响，也可鼓励学生课后探索这就是线段的定比分点公式0P= (OP i + OP 2)=(2xix22yi生).所以点P的坐标是(空空，y2产)(2)如图5,当点P是线段PiP2的一个三等分点时P P i P P，有两种情况，即一=或 一 =2.2PF2PR如果話冷,那么已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a/ b,求 y.解:T a / b,. 4y-2 x 6=0

15、. y=3.思路2例2设点P是线段P1P2上的一点，Pi、P2的坐标分别是(xi,yi)、(x2,y2).(1) 当点P是线段PlP2的中点时，求点P的坐标；(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标活动:教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗即当ELF =入时，点P的坐标是什么师生共同讨PP2论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由 Pi P =入卩卩2，知(x-xi,y-yi)=入 2Xy2-y),，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质 时间允许的话，可以探索 入的取值符号对解:(1)如图4,由向量

16、的线性运算可知=(2捲3X22yi3y2).即点P的坐标是(2x一空32yi y2)31OP = OR + R P = OR + R F23一 1 一 一=OR +(OP2 -OR )321=OP-| + OP?33同理，如果-PLP =2,那么点P的坐标是 却 竺，匕 业.PF233点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式变式训练在厶ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5)若线段AC、BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标 解:若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，3 x y 5设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式，得0,0,2 2 x=-3,y=-5,即

17、C点坐标为(-3,-5).若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2,-7). 综合(1)(2),知 C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,OP =OA +t AB .若点P在第二象限，求实数t的取值范围.活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上去板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白化归”思想的利用.不等式求

18、变量取值范围的基本观点是，将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知 AB =(4,5)-(1,2)=(3,3). OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).3t 1021若点P在第二象限贝U- t-3t 2033故t的取值范围是(2,丄).33点评:此题通过向量的坐标运算，将点P的坐标用t表示，由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组，这个不等式组的解集就是 t的取值范围.变式训练已知 OA=(cos 0 ,sin OB=(1+sin 0 ,1+cos其中)00求：|, AB | 的取值范围解：T AB =OB -0A=(1+sin 0 ,1+cos-(COs 0 ,sin 0)=(1+sin -Cos 0 ,1+cossi0 0 ).I AB 12=(1+si n -0os 02+(1+cos -sin 0 )=1+(sin -Cos 0)2+ 1-(sin -Cos 0