多项式的最大公因式

1、多项式的最大公因式多项式的最大公因式问题：(一).多项式的最大公因式的定义是什么？设f(x)与g(x)是Px 中两个多项式，Px 中 多项式d(x)称为f(x)与g(x)的最大公因式，如果 满足下面两个条件：(1) . d(x)是f(x)与g(x)的公因式；(2) . f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。我们约定用(f(x)，g(x)表示首项系数为1的那 个最大公因式。定理1:对于Px中任意两个多项式f(x)，g(x)， 在Px中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以 表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有Px中多项式 u(x)，v(x)使d(x) = u(x)f(x) + v

2、(x)g(x)引理：设 f(x),g(x),q(x),h(x) F(x),g(x)工 0，且f(x) = g(x)q(x) + h(x)则f(x)与g(x)与q(x)与h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且(f(x)，g(x) = ( g(x)，h(x)定理2: F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x) 定 存在最大公因式。(二).用来求最大公因式的方法(1).辗转相除法:如果f(x),g(x) Px,g(x)工0，且?,? Px,使f(x) = ?(?g(x) + ?彳？?g(x) = ?(?；?+ ?:?橫？= ?(?:? + ?:?-2(?= ?-1(?+ ?-i(?= ?

3、+i(?+ 0其中？(?)0,则?是f(x)与g(x)的一个最 大公因式。(2) .串位加减法(3) .矩阵求法：(f(x)(g(x)一系列初等行变换d(x)0d(x) = ( f(x), g(x)例1.设3?- ?- 4x- 3f(x) = ? +g(x) = 3? + 10? + 2x- 3求(f(x), g(x)解：法1辗转相除法。27?打95=q2(?g(x) 3? + 10?+ 2x- 3 3?+ 15?+ 18x_ -5?216x-5?225x30f(x)? + 3? - ?4x1? 9 3 -=q1(?-34 10 3 ? + ? 3+ 2 ? - x3-i?-35?3-3x-3

4、-?3-10?- 91 + 2(?=9?+ 27ri(?=-5? 92510ii8 | 亠8 5 亠1 O亠57iig|5g r 0 5X113 1 5,、- X 3(=q3(?COCO11XX显 6显 6ii3(?= 0求得2(?= 9?+ 27是最大公因式，即(f(x), g(x) = x+ 3法2串位加减法设c半0，则对于任意多项式f(x), g(x)(f(x)，g(x) = ( f(x)，cg(x)13-1f(x)-4-3g(x)3102-315991(?= -3f (x)+xg(x)525302(?= 3,(?- g(x)156516392713(?=三2(?5=?從?帥(？= -g

5、 (x) + 3?5(?= -r 4(? + 5?(?16(?= 了5(? =? 匕(？= ?(?- ?(?18(?=却7(?361 30于是匸（？= 2x + 6是最大公因式，即(f(x), g(x) = x+ 3例2 .令F是有理数域，求出Fx的多项式f(x) = 4? - 2?- 16? + 5x + 9，g(x)=2?- ?- 5x + 4使得 u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)成立的d(x)，u(x)，v(x),其中 d(x) = ( f(x)，g(x)。 解我们把I拼在(g(：)的右边一起做行初等变换:(f(x)10)(g(x)0 1)0 1)=(4?- 2?-

6、16?+ 5x+ 910=(2? - ? - 5x + 4?+? x(-2 )(-6?2 - (2? - ?+? X ?-2?、1)96?- 3?- 15x + 123x + 9 5x + 4-6?2 -103x +-2?) - ?3(0 ?-3?+ 3? 11?2?X (-3)?- (03)1 - 3(?2 1) 2?- 3?I?2 +2?+11)所以d(x)二？ 1,1u(x) = - J? 1), v(x)=-?- 2? 1。33注：如果d(x)是f(x), g(x)在Fx中的公因式，则 d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式的充分必要条件 是存在u(x),v(x) F(x)，使得d(

7、x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)例 3.求u(x), v(x)使u(x)f(x) + v(x)g(x)=(f(x), g(x):f(x) = ?+ 2?- ?- 4x- 2, g(x)= ?+?- ?- 2x- 2(P45,6.(1)解:f(x) = g(x)?(?+ ?，其中,须？= ?- 2xg(x) = ?讽？?(？+ 须？?,其中， ?(? = x + 1滋? = ?- 2?= ? ?(? + ?3X?,其中，?(?= x?3(?= 0所以，?(?= ?- 2是f(x)和g(x)的最大公因 式。因为 g(x) = ? ?(? + ?, f(x) = g(x) ?(? +

8、 ?，所以(f(x)， g(x)=-?2(? f(x) + 1 + qi(?(? g(x)由此可得：u(?= -?2(?= -x - 1v(?= 1 + qi (?(?= ? 2注：利用辗转相除法求出最大公约数，然后逆向推导。例 4.证明：如果d(x) | fx),d(x) |gx),且d(x)为 f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的 一个最大公因式。(P45,8)证：设d(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，即有d (x) | fx)和 d (x) |gx)不妨设(仪)=d x) ?(?,g(? =dx)?(?由已知条件可得d(x)=:u(x)f(x) + v(x)g(x)所以