第二章 点、直线、平面投影

1、2.3 点的投影点的投影2.4 直线的投影直线的投影2.5 平面的投影平面的投影2.1 投影的基本知投影的基本知识识2.2 物体的正投影图物体的正投影图第二章第二章 点、点、 直线、平面的投影直线、平面的投影2.1 投影的基本知识投影的基本知识一 投影法原理 投影法:投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该平面上得到图形的方法。使用投影法必须具备投射线物体(2) 投影面：不通过S的投影面(1) 投影中心S和投射线(3) 表达对象：空间几何形体PSABCabc(b)中心投影投射中心投影面投影2.1.1 投影法原理和种类投影法原理和种类2.1 投影的基本知识投影的基本知识二 投影法的分类1 中心投

2、影法投影面投射中心投射线物体投影s2 平行投影法正投影法斜投影法2.1.3 平行正投影的基本性质1 全等性平行于投影面的任何线段或平面图形,其投影反映线段真长或图形的真形。2 积聚性当空间直线或平面所处位置与投影线平行时,则直线的投影积聚为一点,平面的投影积聚为一直线。3 类似形当空间直线或平面倾斜于投影面时, 直线的投影仍为直线,但小于真长；平面的投影为小于真形的类似形。2.2.1-2.2.2 三面投影体系的建立及三面投影 工程上多采用正投影法绘制投影图表达物体的形状,但不同的物体在同一投影面上可获得相同的投影。 一个投影不能唯一确定的表达物体的形状,必须建立一个投影体系,将物体同时向几个面

3、投影,用多个投影图来确切的表达物体的形状。1 两面投影体系的建立 处于正立位置的投影面称为正立投影面(简称V面)。 处于水平位置的投影面称为水平投影面(简称H面)。 两投影面的交线称为投影轴(OX)。 VHX正立投影面水平投影面正立投影面正立投影面水平投影面水平投影面 在空间建立两个相互垂直的投影面。2.2.1-2.2.2 三面投影体系的建立及三面投影一 两投影面体系和两面投影2.2.1-2.2.2 三面投影体系的建立及三面投影一 两投影面体系和两面投影 将物体置于两投影面体系中,按正投影法从前向后投影,此投影称为正面投影。 将物体置于两投影面体系中,按正投影法从上向下投影,此投影称为水平投影

4、。 V面不动,将H面绕OX轴向下旋转90,使V面和H面共面。投影面展开方法VH正面投影水平投影正面投影正面投影水平投影水平投影2 两面投影 有些物体仅用两面投影不能清楚表达形体,必须画出它的第三投影才能唯一确定它的形状。2.2.1-2.2.2 三面投影体系的建立及三面投影1 三面投影体系的建立 正立投影面(简称V面) 水平投影面(简称H面) 侧立投影面(简称W面) VHWVXZYHW侧立投影面侧立投影面侧立投影面2 三面投影 正面投影 水平投影侧面投影侧面投影侧面投影侧面投影3 投影面展开方法V面不动,将H面绕OX轴向下旋转90,W面绕OZ轴向右旋转90,使三投影面共面。2.2.1-2.2.2

5、 三面投影体系的建立及三面投影三 三面投影的位置和对应关系1. 三面投影之间的位置关系 水平投影在正面投影的正下方,侧面投影在正面投影的右方。2. 三面投影之间的对应关系长(X)宽(Y)Y1高(Z)Y1宽(Y)正面投影和水平投影长对正；正面投影和侧面投影高平齐；水平投影和侧面投影宽相等。2.2.3 物体三面投影的画法(1) 选择正面投影图 (2) 布 图(3) 按投影规律画出物体的三面投影(4) 检查、加粗图线 一般以能较全面地反映物体的形状特征的那一面投影作为正面投影图。 画出各投影图的作图基准线。 先画物体的主体部分,再逐个画出物体中的细节部分。四 画物体三面投影的方法和步骤(1) 选择正

6、面投影图 一般以能较全面地反映物体的形状特征的那一面投影作为正面投影图。S四 画物体三面投影的方法和步骤(1) 选择正面投影图 (2) 布 图 一般以能较全面地反映物体的形状特征的那一面投影作为正面投影图。 画出各投影图的作图基准线。四 画物体三面投影的方法和步骤(1) 选择正面投影图 (2) 布 图(3) 按投影规律画出物体的三面投影 一般以能较全面地反映物体的形状特征的那一面投影作为正面投影图。 画出各投影图的作图基准线。 先画物体的主体部分,再逐个画出物体中的细节部分。四 画物体三面投影的方法和步骤(1) 选择正面投影图 (2) 布 图(3) 按投影规律画出物体的三面投影(4) 检查、加

7、粗图线 一般以能较全面地反映物体的形状特征的那一面投影作为正面投影图。 画出各投影图的作图基准线。 先画物体的主体部分,再逐个画出物体中的细节部分。例 画出下列各模型的三面投影作图方法和步骤1. 选择正面投影图2. 布图3. 画出各组成部分的投影4. 检查、加粗图线模型一模型二正立板水平板侧立板慨述慨述空间几何体是由点、直线和平面构成的，如图所示的三棱锥。既可看成由四个点所构成，又可看成由六条直线或四个平面所构成。因此，表达几何体的三面投影，实际上就是画出构成几何体的点、直线和平面的投影。所以，点、直线、平面的投影是画图的基础。BACSbbbS2.3.1 点在三面投影体系的投影及其投影规律点在

8、三面投影体系的投影及其投影规律2.3.2 点的投影与直角坐标点的投影与直角坐标2.3.3 两点的相对位置两点的相对位置2.3 点的投影点的投影axazay 2.3.1 点在三面投影体系的投影及其投影规律点在三面投影体系的投影及其投影规律1. 投影形成过空间点A分别向三个投影面作投射线，所得垂足 a、a 和a 即为A点的三面投影。H 面投影a V 面投影a W 面投影aA a V Aa H Aa W2. 展开投影面H 面绕面绕 OX 轴向后旋转轴向后旋转 90 W 面绕面绕 OZ轴向后旋转轴向后旋转 90 YHYwazaxXOaZVayayHaaW2.3.1 点在三面投影体系的投影及其投影规律点

9、在三面投影体系的投影及其投影规律axaaaOazZYH 由图可知由图可知: Aa = aax = aay = az o 即A 点到 H 面的距离;A a= a ax = aaz =ay o 即A 点到V 面的距离; Aa = aaz = a ay = axo 即A 点到W 面的距离;xYw规律: :(1) a a O X点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴(2) aa OZ点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴 (3) a ax = aaz点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ的距离axazayaxazay 2.3 .2 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系YHYw

10、xzYazaxXOaZVayayHaaWY若点A的坐标为A（X，Y，Z），则有： Aa = aax = aay = az o=ZA a= a ax = aaz =ay o=Y Aa = aaz = a ay = axo=X例一例一 已知点A的正面投影a 和侧面投影a，求作其水平投影。aaZXOYwYHaxa例二例二 已知点A的坐标（25，18，20），求作其三面投影。OZXYwYHax2520a18aaz18a2.3.3 两点的相对位置两点的相对位置XZY点的重影性点的重影性aaaXa = Xb 、 Za = Zb 、 YaYb，点A、B在V面上重影 A在前，B在后 ，正面投影： a (b)当

11、Xd=Xc、 Yd =Yc 、Zc Zd， 点C、D在H面上重影 C在上，D在下 ，水平面投影： c (d)cZ当Yc =Ya、 Zc =Za、 X cXa，点A、C在W面上重影。 A在左，C在右 ，侧面投影：c(a)前遮后前遮后上遮下上遮下左遮右左遮右( )XZYOD2.4.1 直线及直线上点的投影特性直线及直线上点的投影特性2.4.2 直线在三面投影体系中的投直线在三面投影体系中的投 影特性影特性2.4.3 两直线的相对位置两直线的相对位置2.4 直线的投影直线的投影 2.4.1 2.4.1 直线及直线上点的投影特性直线及直线上点的投影特性直线的投影为该直线上任意两点的同面投影的连线直线的

12、投影为该直线上任意两点的同面投影的连线 1. 直线的投影VHW 2. 直线上点的投影特性直线上点的投影特性ABCbbbaaccXOZYc直线上的点，其投影必在该直线的同面投影上。直线上的点，其投影必在该直线的同面投影上。ccc (1) 从属性：点分线段之比投影后保持不变。点分线段之比投影后保持不变。 (2) 定比性：AB AC = ab ac， AB AC = ab ac， AB AC=ab ac 2.4.2 直线在三面投影体系中的投影特性直线在三面投影体系中的投影特性1. 直线与投影面的相对位置（1）.投影面平行线投影面平行线直线与H面的夹角， 直线与V面的夹角，直线与W面的夹角。平行于一个

13、投影面同时倾斜于其他两个投影面的直线平行于一个投影面同时倾斜于其他两个投影面的直线 正平线： V面 ( =0 ) , H、 W 面 水平线： H面 ( =0 ) , V、 W 面 侧平线： W面 ( =0 ) , V、 H 面（2）.投影面垂直线投影面垂直线垂直于一个投影面同时平行于其他两个投影面的直线垂直于一个投影面同时平行于其他两个投影面的直线 正垂线： V面 ( = 90 ) , H、W 面 侧垂线： W面 ( = 90 ) , H、V 面 铅垂线： H面 ( = 90 ) , W、V 面(3) 一般位置直线一般位置直线同时与三个投影面倾斜的直线同时与三个投影面倾斜的直线 2.4.2 直

14、线在三面投影体系中的投影特性直线在三面投影体系中的投影特性1. 直线与投影面的相对位置直线与投影面的相对位置（1）.投影面平行线投影面平行线直线与H面的夹角， 直线与V面的夹角，直线与W面的夹角。平行于一个投影面同时倾斜于其他两个投影面的直线平行于一个投影面同时倾斜于其他两个投影面的直线正平线：V面( =0 ) , H、 W 面水平线：H面( =0 ) , V、 W 面侧平线：W面( =0 ) , V、 H 面（2）.投影面垂直线投影面垂直线垂直于一个投影面同时平行于其他两个投影面的直线垂直于一个投影面同时平行于其他两个投影面的直线正垂线：V面( =90 ) , H、W 面侧垂线：W面( =9

15、0 ) , H、V 面 铅垂线：H面( =90 ) , W、V 面(3) 一般位置一般位置直线同时与三个投影面倾斜的直线同时与三个投影面倾斜的直线2. 投影特性投影特性（1）. 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性名称 轴侧图 投影图 投影特性正平线水平线侧平线 abbaabBA1. ab = AB 反映 、2. abOX 轴 ab AB 3.a“b”OZ轴 ab ABABababbaabbaabbaabba1. Ab = AB 反映 、2. abOX 轴 ab AB 3.ab OZ轴ab ABABabababababab1. ab=AB 反映 、 2. ab OX 轴 ab AB 3

16、. ab OX轴 ab AB归纳:2. 投影特性投影特性（2）. 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性名称 轴侧图 投影图 投影特性铅垂线正垂线侧垂线baabBA1. ab=AB ，且 OX 轴2. a( b) 积聚为一点3. ab = AB ，且OZ 轴aba(b)ba2. ab OX 轴 ab =AB 3.ab OZ轴ab = ABABa(b)abab1. ab积聚为一点 2. ab OX 轴 ab = AB 3. ab OX 轴 ab = AB归纳:a(b)BA1. ab 积聚为一点 a(b)baabbabaa(b)ababa(b)（3）. 一般位置直线的投影特性VHW AB直线

17、同时与三个投影面倾斜直线同时与三个投影面倾斜（ 、 、 0 90）XZOYHYw投影特性：投影特性： 三个投影面上的投影都倾斜于投影轴，且小于实长。三个投影面上的投影都倾斜于投影轴，且小于实长。 2.4.3 两两直线的相对位置直线的相对位置空间两直线平行，侧他们的各组同面投影必相互平行AB CD 侧侧 ab c d 、 ab c d 、ab cd 1. 平行两直线平行平行VHABCDcdccdabbaabWdcdcdcdabbaab相交相交交叉交叉2. 相交两直线VHcdKBACDdckbaabkabcdkkdcba若空间两直线相交，侧它们的各同面投影必相交，若空间两直线相交，侧它们的各同面投

18、影必相交，且交点符合点的投影规律且交点符合点的投影规律3. 交叉两直线举例oxabddc11(2)2bca1(2)12 2.5.1 平面在投影图上的表示法平面在投影图上的表示法2.5.2 各种位置平面及投影特性各种位置平面及投影特性2.5.3 平面上的点及直线平面上的点及直线2.5 平面的投影平面的投影 2.5.1 平面在投影图上的表示法平面在投影图上的表示法1. 几何元素法 (1）不在一直线上的三点（2）直线与直线外的一点（3）相交两直线（4）平行两直线（5）任意几何图形 * 2. 迹线表示法空间平面与投影面的交线称为平面的迹线。平面 P与V面的交线称为正面迹线PV平面 P与H面的交线称为水

19、平迹线PH平面 P与W面的交线称为侧面迹线PWabcabc不在一直线上的三点确定一个平面不在一直线上的三点确定一个平面返回直线与直线外的一点确定一个平面ab返回abccacbacb相交两直线确定一个平面相交两直线确定一个平面返回abcdabcd平行两直线确定一个平面平行两直线确定一个平面返回abcacb任意几何图形确定一个平面任意几何图形确定一个平面返回VHWZXYxzywyHPvPHPwPvPHPw用迹线表示平面返回 2.5.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性1. 平面与投影面的相对位置平面与投影面的相对位置（2）.投影面平行面投影面平行面正平面：V面( =0 ) , H、 W

20、 面水平面：H面( =0 ) , V、 W 面侧平面：W面( =0 ) , V、 H 面 （1） 投影面垂面投影面垂面平行于一个投影面同时垂直于其他两个投影面的平面平行于一个投影面同时垂直于其他两个投影面的平面正垂面：V面( =90 ) , H、W 面侧垂面：W面( =90 ) , H、V 面 铅垂面：H面( =90 ) , W、V 面(3) 一般位置直平面一般位置直平面同时与三个投影面倾斜的平面同时与三个投影面倾斜的平面垂直于一个投影面同时倾斜于其他两个投影面的平面垂直于一个投影面同时倾斜于其他两个投影面的平面 2.5.2各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性1. 平面与投影面的相对位

21、置平面与投影面的相对位置（2）.投影面平行面投影面平行面正平面：V面( =0 ) , H、 W 面水平面：H面( =0 ) , V、 W 面侧平面：W面( =0 ) , V、 H 面 （1） 投影面垂面投影面垂面平行于一个投影面同时垂直于其他两个投影面的平面平行于一个投影面同时垂直于其他两个投影面的平面正垂面：V面( =90 ) , H、W 面侧垂面：W面( =90 ) , H、V 面 铅垂面：H面( =90 ) , W、V 面(3) 一般位置直平面一般位置直平面同时与三个投影面倾斜的平面同时与三个投影面倾斜的平面垂直于一个投影面同时倾斜于其他两个投影面的平面垂直于一个投影面同时倾斜于其他两个

22、投影面的平面2. 投影特性投影特性（1） 投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性名称 轴侧图 投影图 投影特性铅垂面垂正面侧垂面2. 正面投影和侧面投影为 类似图形 且不反映实形1. 侧面投影积聚为一直线归纳:1.正面投影积聚为一直线 BADEa(b)d(e)bdaeabdedabaebdea(b)d(e)1. 水平投影 积聚为一直线 BACDb(a)c(d)bacdabcdbabab(a)c(d)cdcd2. 水平投影和侧面投影为 类似图形 且不反映实形ABCabcabca(c)bbaaba(c)ccb2. 水平投影和正面投影为 类似图形 且不反映实形实例实例实例实例实例实例2. 投影

23、特性投影特性（1） 投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性名称 轴侧图 投影图 投影特性铅垂面正垂面侧垂面2. 正面投影和侧面投影为 类似图形 且不反映实形1. 侧面投影积聚为一直线归纳:1.正面投影积聚为一直线 BADEa(b)d(e)bdaeabdedabaebdea(b)d(e)1. 水平投影 积聚为一直线 BACDb(a)c(d)bacdabcdbabab(a)c(d)cdcd2. 水平投影和侧面投影为 类似图形 且不反映实形ABCabcabca(c)bbaaba(c)ccb2. 水平投影和正面投影为 类似图形 且不反映实形实例实例实例实例实例实例铅锤面的投影正锤面的投影2. 投

24、影特性投影特性（2 ) 投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性名称 轴侧图 投影图 投影特性正平面侧平面水平面2. 正面投影反映实形1.水平投影和侧面投影积聚为一直线归纳:1.正面投影和水平投影积聚为一直线 BADEa(b)d(e)bdae1. 水平投影和侧面投影积聚为一直线 BACDb(a)c(d)bacd2. 侧面投影反映实形ABCabcab(c)a(c)b2. 水平投影反映实形d(a)e(b)abdea(b)d(e)d(a)e(b)d(a)c(b)bab(a)c(d)cdd(a)c(b)aaba(c)cbb(c)实例实例实例实例实例实例2. 投影特性投影特性（2 ) 投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性名称 轴侧图 投影图 投影特