2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形创新引领微课把握三角函数与解三角形中的最值问题教学案含解析新人教A版

1、把握三角函数与解三角形中的最值问题把握三角函数与解三角形中的最值问题微点聚焦突破类型一三角函数的最值角度 1可化为“yasin(x)b”型的最值问题【例 11】 如图所示，在平面直角坐标系xoy中，扇形aob的半径为 2，圆心角为23，点m是弧ab上异于a，b的点.(1)若点c(1，0)，且cm 2，求点m的横坐标；(2)求mab面积的最大值.解(1)连接om，依题意可得，在ocm中，oc1，cm 2，om2，所以 cos com2212（ 2）222134，所以点m的横坐标为 23432.(2)设aom，0，23，则bom23，smabsoamsobmsoab1222 sinsin23122

2、2322 3sin6 3，因为0，23，所以66，56，所以当3时，mab的面积取得最大值，最大值为 3.思维升华化为yasin(x)b的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.角度 2可化为yf(sinx)(或yf(cosx)型的最值问题【例 12】 函数ycos 2x2sinx的最大值为_.解析ycos 2x2sinx2sin2x2sinx1.设tsinx，则1t1，所以原函数可以化为y2t22t12t12232，所以当t12时，函数y取得最大值为32.答案32思维升华可化为yf(sinx)(或yf(co

3、sx)型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域.【训练 1】 (1)(角度 1)函数f(x)3sinx4cosx，x0，的值域为_.(2)(角度 2)若函数f(x)cos 2xasinx在区间6，2 上的最小值大于零，则a的取值范围是_.解析(1)f(x)3sinx4cosx535sinx45cosx5sin(x)，其中 cos35，sin45，42.因为 0 x，所以4x0，12（a1）0a1.答案(1)4，5(2)(1，)类型二三角形中的最值角度 1转化为三角函数利用三角函数的有界性求解【例 21】 (2020湖北七市联考)在锐角三角形abc中，内角a，b，c的对边分别

4、为a，b，c，且cosaacosbb2 3sinc3a.(1)求角b的大小；(2)若b2 3，求ac的取值范围.解(1)由已知条件，得bcosaacosb2 33bsinc.由正弦定理，得 sinbcosacosbsina2 33sinbsinc，即 sin(ab)2 33sinbsinc.又在abc中，sin(ab)sinc0，所以 sinb32.因为b是锐角，所以b3.(2)由正弦定理，得asinacsincbsinb2 3324，则a4sina，c4sinc.所以ac4sina4sinc4sina4sin23a6sina2 3cosa4 3sina6 .由 0a2，023a2，得6a2，

5、所以3a623，所以32sina6 1，所以 6ac4 3.故ac的取值范围为(6，4 3.思维升华本题涉及求边的取值范围，一般思路是利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值.角度 2利用基本不等式求解【例 22】 (2019运城二模)已知点o是abc的内心，bac60，bc1，则boc面积的最大值为_.解析点o是abc的内心，bac60，boc180180602120，在boc中，由余弦定理得bc2oc2ob22ocobcos 120，oc2ob21ocob.又oc2ob22ocob，ocob13，当且仅当oboc时“”成立，sobc12ocobsin 120312.答案3

6、12思维升华解答本题的关键是注意到三角形面积公式sabc12absinc中的ab，与余弦定理中的a2b2存在不等关系a2b22ab，利用余弦定理沟通二者，求出ab的最值即可.【训练 2】 (1)(角度 1)如图，在abc中，已知b3，ac4 3，d为bc边上一点.若ad2，sdac2 3，求dc的长；若abad，试求adc的周长的最大值.解sdac2 3，ac4 3，ad2，12adacsin dac2 3，sin dac12，b3，dacbac323，dac6，在adc中，由余弦定理得：dc2ad2ac22adaccos6，dc2448224 33228，dc2 7.abad，b3，abd为

7、正三角形，dac3c，adc23，在adc中，根据正弦定理，可得adsinc4 3sin23dcsin3c，ad8sinc，dc8sin3c，adc的周长为addcac8sinc8sin3c4 38sinc32cosc12sinc4 3812sinc32cosc4 38sinc3 4 3，adc23，0c3，3c30，b0，ab4，ab2ab，所以ab4(当且仅当ab时取等号)，由(ab)216，得a2b2162ab，所以 162abc2ab，所以 16c23ab，故 16c212，c24，c2，故 2c4，故选 b.答案b分层限时训练a 级基础巩固一、选择题1.函数ycosx6 ，x0，2

8、的值域是()a.32，12b.12，32c.12，32d.32，12解析x0，2 ，x66，23，所以y12，32 .答案b2.如果|x|4，那么函数f(x)cos2xsinx的最小值是()a.212b.212c.1d.1 22解析f(x)sin2xsinx1sinx12254，当 sinx22时，ymin1 22.答案d3.若函数f(x) 3sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于点2，0对称，则函数f(x)在4，6 上的最小值是()a.1b. 3c.12d.32解析因为f(x) 3sin(2x)cos(2x)2sin2x6 ，则由题意，知f2 2sin6 0.又 0， 所以56， 所以

9、f(x)2sin 2x， 则f(x)在4，6上是减函数，所以函数f(x)在4，6 上的最小值为f6 2sin3 3.故选 b.答案b4.(2020广州一模)abc的内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，已知bccoscbacosa1，则 cosb的取值范围为()a.12，b.12，c.12，1d.12，1解析bccoscbacosa1，由余弦定理可得bca2b2c22abbab2c2a22bc1，化简可得b2ac，则 cosba2c2b22aca2c2ac2ac2acac2ac12，当且仅当ac时，取“”.12cosb1，即 cosb12，1.故选 d.答案d5.(2020河南六市联考)在a

10、bc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若2acbcosccosb，b4，则abc的面积的最大值为()a.4 3b.2 3c.3 3d. 3解析由2acbcosccosb得 2acosbccosbbcosc，由正弦定理得，2sinacosbsinbcoscsinccosb，又知 sin(bc)sinasinbcosccosbsinc，2sinacosbsina，a(0，)，sina0，cosb12，又知b(0，)，b3，又知 cosb12a2c2b22ac1b22ac1162ac，ac16，当且仅当ac时等号成立，sabc12acsinb1216sin31216324 3，故abc的面积

11、的最大值为 4 3，故选 a.答案a二、填空题6.若函数ysin2x2cosx在区间23，上最小值为14，则的取值范围是_.解析y2(cosx1)2，当x23时，y14，根据函数的对称性23，23.答案23，237.(2019武汉调研)当函数f(x)3sinx6cosx取得最大值时，sinx的值为_.解析f(x)3sinx6cosx3 5sin(x)，其中 sin2 55，cos55，当x2k2，kz z，即x2k2，kz z 时，f(x)取得最大值 3 5，此时 sinxsin2k2sin2cos55.答案558.(多填题)已知函数f(x)sin2x6 ，其中x6，.当3时，f(x)的值域是

12、_；若f(x)的值域是12，1，则的取值范围是_.解析若6x3，则62x656，此时12sin2x6 1，即f(x)的值域是12，1.若6x，则62x626.因为当 2x66或 2x676时，sin2x6 12，所以要使f(x)的值域是12，1，则有22676，即62，即的取值范围是6，2 .答案12，16，2三、解答题9.(2020长春模拟)设函数f(x) 3sinxcosxcos2xa.(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)当x6，3 时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求实数a的值.解(1)f(x)32sin 2x1cos 2x2asin2x6 a12，所以t.

13、由22k2x6322k(kz z)，得6kx23k(kz z)，故函数f(x)的单调递减区间是6k，23k(kz z).(2)因为6x3，所以62x656，所以12sin2x6 1.当x6，3 时，函数f(x)的最大值与最小值的和为1a12 12a12 32，解得a0.10.(2019河南中原名校联考)已知abc的内角a，b，c满足sinasinbsincsincsinbsinasinbsinc.(1)求角a；(2)若abc的外接圆半径为 1，求abc的面积s的最大值.解(1)设内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.根据题意及正弦定理，可得abccbabca2b2c2bc，所以 cosab2

14、c2a22bcbc2bc12.又因为 0a，所以a3.(2)设abc的外接圆半径为r，则r1，由asina2ra2rsina2sin3 3，所以 3b2c2bc2bcbcbc，即bc3，所以s12bcsina123323 34(当且仅当bc时，取等号).所以abc的面积s的最大值为3 34.b 级能力提升11.(2019成都七中月考)设锐角abc的三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且c1，a2c，则abc周长的取值范围为()a.(0，2 2)b.(0，3 3)c.(2 2，3 3)d.(2 2，3 3解析因为abc为锐角三角形，所以 0a2，0b2，0c2，又a2c，所以 02c2，0

15、c2c2，所以6c4，所以22cosc0，sina 3cosa，即 tana 3.0a，a3.由余弦定理得a216b2c22bccosa(bc)23bc(bc)23bc22，则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4 时等号成立)，abc的周长abc4bc12，即最大值为 12.答案1214.如图，在平面四边形abcd中，a3，e在边ab上，be3，aece，dece，bec的面积为3 32，记bec02 .(1)若3，求线段bc的长度；(2)当为何值时，线段de的长度最小？求出该最小值.解(1)当3时，sbec12becesin123ce323 32，解得ce2.在bec中，由余弦定理，得bc2be2ce22bececos94232127，bc 7.(2)在aed中，a3，aed2，ade6.由正弦定理可知desinaaesin ade，故de3ae2sin6.sbec12becesin3 32，ce3sin.又aece，de3ae2sin63ce2sin632sinsin633sin2sincos312sin 232cos 2323sin23 32.02，32323，32sin23 1.故当 232，即512时，线段de的长度最小，最小值为 6(2