951重积分应用

1、第五节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 重积分的应用 第九章 一、问题的提出一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . 若要计算的某个量若要计算的某个量u u对于闭区域对于闭区域d d具有可加性具有可加性( (即当闭区域即当闭区域d d分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量u u相应地分成许多部分量，且相应地分成许多部分量，且u u等等于部分量之和于部分量之和) )，并且在闭区域，并且在闭区域d d内任取一个

2、直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 d时，相应地部分量可近似地表示为时，相应地部分量可近似地表示为 dyxf),(的形式，其中的形式，其中),(yx在在 d内这个内这个 dyxf),(的的元素元素，记为，记为称为所求量称为所求量u udu，所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为ddyxf ),(二、立体体积二、立体体积则其体积为则其体积为 dyxyxfvdd),( 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面的顶为连续曲面),(yxfz ,),(dyx 占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为 zyxvddd解解 解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周

3、得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxdxy 则立体体积为则立体体积为 dayxyxavd 2222)2( 2002)2(ardrarrad365a 把体积表达为二重积分时，被积函数是上面的边界面减去下面把体积表达为二重积分时，被积函数是上面的边界面减去下面的边界面，积分区域是立体在的边界面，积分区域是立体在xoy 坐标面上的投影坐标面上的投影解解,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar adrrddv202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a xoyza2例例3 3. 求半径为求半径为a 的球面

4、与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为在球坐标系下空间立体所占区域为: cos20ar 0 20 rrvdddsind2rm则立体体积为则立体体积为zyxvdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443a0dsin20d设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,dd 设设小小区区域域,),( dyx 点点.),(,(的的切切平平面面上上过过为为yxfyxms ,dxoy 面面上上的的投投影影区区域域为为在在如图，如图， d),(yxmdaxyzs o 三、曲面的面积三、曲面

5、的面积 ddadaa0lim 曲曲面面的的面面积积.dsdadadsszd ，则有，则有为为截切平面截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以 ；madzdn,面面上上的的投投影影在在为为xoydad ,cos dad,11cos22yxff dffdayx221 曲面曲面s的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyaxydyzxz 22)()(1设曲面的方程为设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为曲面面积公式为： .122dzdxazxdxyzy 设曲面的方程为设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面

6、面积公式为： ;122dydzayzdzxyx 同理可得同理可得,222yxaa 解解)0,( yxoxyza 12224ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 2aa.l2a0 xyz )( aazyx:曲面曲面立体立体所围所围与与222 yxaz 例例4的的表表面面积积。求由求由解解 解方程组解方程组得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayxazyx 22222yxaz 0 xz y.ld.222yxaz azyx 22.a2a.在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxdxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2

7、ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaasxyd 222441故故dxdyxyd 2rdrraada 0222041 22 a ).15526(62 a 四、平面薄片的重心四、平面薄片的重心,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 由元素法由元素法当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 dxdax .1 dyday dda 其其中中设物体占有空间域设物体占有空间域 ,),(zyx 有连续密度函数有连续密度函数则则 公式公式 , 即即:采用采用 元素法

8、元素法可导出其质心可导出其质心 zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),( zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),( zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时常数时当当 zyx 则得则得形心坐标形心坐标：,dddvzyxxx ,dddvzyxyy vzyxzz ddd 的体积的体积为为 zyxvddd4例例5. 5. 求位于两圆求位于两圆 sin2 r sin4 r和和的形心的形心. . 2d解解: : 利用对称性可知利用对称性可知0 x而而 dyxyaydd1 drr ddsin312rr dsin4sin22 37 之间均匀薄片之间均匀薄片

9、0dsin31oyxc五、平面薄片的转动惯量五、平面薄片的转动惯量,),(2 dxdyxyi .),(2 dydyxxi 薄片对于薄片对于 轴轴的的转动惯量转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y类似可得空间立体类似可得空间立体 : zyxzyxixddd),( )(22zy zyxzyxiyddd),( )(22zx zyxzyxioddd),( )(222zyx 对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量 对对 z 轴轴 的转动惯量的转动惯量: zyxzyxyxizddd),()(22解解aboyxdxdyxidy 2

10、 babydxxdy0)1(02 .1213 ba dxdyyidx 2 .1213 ab 解解: 取球心为原点取球心为原点, z 轴为轴为 l 轴轴,:2222azyx 则则 zi zyxyxddd)(22 5158a olzxy 20d dsin03 rrad04 例例7.7.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量.设球设球 所占域为所占域为(用球坐标用球坐标) 解解先求形心先求形心,1 dxdxdyax.1 dydxdyay 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx, hba 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心

11、心坐坐标标2bx ，2hy .hb将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyxhbuvo 对对u轴轴的的转转动动惯惯量量 dududvvi2 22222hhbbdudvv .123 bh 对对v轴的转动惯量轴的转动惯量 dvdudvui2 .123 hb 薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z,zyxffff 五、平面薄片对质点的引力五、平面薄片对质点的引力,)(),(23222 dayxxyxffdx ,)(),(23222 dayxyyxffdy .)(),(23222 dayxyxaffdz 为引力常数为引力常数f解解 由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxff d

12、ayxyxaffdz 23)(),(222 dayxafd 23)(1222oyzxfdrrardafr 0222023)(1.11222 aarfa所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aarfarxyzo例例9. 求半径求半径 r 的均匀球的均匀球2222rzyx 对位于对位于)(), 0 , 0(0raam 的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量0 yxff zfvazyxazgd)(23222 点点0mazd rrzazgd)( 200232222)(ddzrazrrr2334arg rrzazgd)( zdazyxyx23222)(dd几何应用：曲顶柱体的体积、曲面的面积几何应用：曲顶柱体的体积、曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结六、小结思考题思考题.)0(cos,cos之之间间的的均均匀匀薄薄片片的的重重心心求求位位于于两两圆圆babrar ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x, 0 y则则 ddddxx dr