概率论王凤英李念伟第1章

1、概率论概率论与数理统计与数理统计教材：教材：概率论与数理统计概率论与数理统计李念伟等编李念伟等编化学工业出版社化学工业出版社参考书参考书：1、概率论与数理统计典型问题分析概率论与数理统计典型问题分析李念伟等编李念伟等编 化学工业化学工业出版社出版社2、概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计学习辅导与习题解答概率论与数理统计学习辅导与习题解答 浙江大学（四版）浙江大学（四版） 高等教育出版社高等教育出版社课程主要内容课程主要内容w 随机事件与概率随机事件与概率w 随机变量及其分布随机变量及其分布w 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布w 统计量及其分布统计量及其分布w 参数估计与假

2、设检验参数估计与假设检验w 方差分析与一元线性回归分析方差分析与一元线性回归分析 ( (删掉）删掉） 期末考试：期末考试：70% 平时成绩平时成绩: : 30%关于考试关于考试一、考勤一、考勤二、作业二、作业三、课堂做题三、课堂做题旷课、迟到、早退旷课、迟到、早退不提倡抄袭不提倡抄袭 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第一节第一节 随机事件及其运算随机事件及其运算第二节第二节 概率（古典概型）概率（古典概型）第三节第三节 条件概率条件概率第四节第四节 事件的独立性事件的独立性一、随机现象一、随机现象二、随机试验二、随机试验三、样本空间与随机事件三、样本空间与随机事件四、四、随机事件间的

3、关系及运算随机事件间的关系及运算 第一节随机事件第一节随机事件概率论是从十七世纪中叶发展起来的数学学科。十七世概率论是从十七世纪中叶发展起来的数学学科。十七世纪中叶，欧洲贵族阶层盛行掷骰子游戏，当时有一个法纪中叶，欧洲贵族阶层盛行掷骰子游戏，当时有一个法国贵族名叫德国贵族名叫德梅尔，他在掷骰子时遇到一些不解的问梅尔，他在掷骰子时遇到一些不解的问题，于是他请教法国数学家帕斯卡，帕斯卡邀请另一位题，于是他请教法国数学家帕斯卡，帕斯卡邀请另一位法国数学家费马共同研究，后来荷兰科学家惠更斯得知法国数学家费马共同研究，后来荷兰科学家惠更斯得知后，也开始了研究，并于后，也开始了研究，并于1657年写出了年

4、写出了论掷骰子游戏论掷骰子游戏中的计算中的计算，这是研究概率问题的最早的论著。，这是研究概率问题的最早的论著。 概率论的诞生概率论的诞生 在在1900年至年至1940年间，概率论的研究一方面是极限理年间，概率论的研究一方面是极限理论的发展、随机过程理论的建立，另一方面是系统的研究论的发展、随机过程理论的建立，另一方面是系统的研究概率的基本概念，特别是俄国数学家柯尔默哥洛夫于概率的基本概念，特别是俄国数学家柯尔默哥洛夫于1933年发表的年发表的“概率的公理化结构概率的公理化结构”为概率理论奠定了严格的为概率理论奠定了严格的逻辑基础。逻辑基础。 十八世纪初，瑞士数学家贝努利发现了十八世纪初，瑞士数

5、学家贝努利发现了“大数定律大数定律”，这是概率中的一个重要结果。从十八世纪到十九世纪，这是概率中的一个重要结果。从十八世纪到十九世纪，英国数学家棣莫弗、法国数学家拉普拉斯、俄国数学家英国数学家棣莫弗、法国数学家拉普拉斯、俄国数学家李亚普诺夫等在李亚普诺夫等在“中心极限定理中心极限定理”的研究方面都取得了的研究方面都取得了出色的进展。出色的进展。 概率论的应用几乎遍及所有的科学领域概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例例如天气预报如天气预报、 地震预报地震预报、产品的抽样调查产品的抽样调查，最佳最佳生产方案设计生产方案设计, ,邮电通讯邮电通讯, ,自然灾害自然灾害, ,在通讯工程中在通讯工程中

6、概率论可用以提高信号的抗干扰性概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等分辨率等等. 第二次世界大战军事上的需要以及大工业第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与论与数理统计数理统计学等学科学等学科. 数理统计学数理统计学是一门研究怎样去有效地收集是一门研究怎样去有效地收集、整理整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科据和建议的数学分支学科

7、.在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象一、随机现象一、随机现象在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.2. 随机现象随机现象 结果有可

8、能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果结果有可能为结果有可能为:1, 2, 3, 4, 5 或或 6. 实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数. 实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结果结果: 弹落点会各不相同弹落点会各不相同.实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例

9、5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交可能遇上各种颜色的交通通指挥灯指挥灯.随机现象的特征随机现象的特征概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果 在大量重复进行观测后所呈现的规律性一般称为在大量重复进行观测后所呈现的规律性一般称为统计规律性统计规律性。 对随机现象进行多次观察，常常发现它们的结果对随机现象进行多次观察，常常发现它们的结果具有规律性。比如：具有规律性。比如：(1)(1)抛硬币抛硬币1 1万次，可以发现出现正面及反面的万次，可以发现出现正面及反面的次数基本相同。次数基本相同。(2)

10、(2)正常人在不同时刻的血压，经过多次测量会正常人在不同时刻的血压，经过多次测量会稳定在某个数值附近稳定在某个数值附近 如如 收缩压收缩压80mmhg， 舒张压舒张压120mmhg。这种在一次观测中结果这种在一次观测中结果具有不确定性，但在大具有不确定性，但在大量观测后又具有统计规量观测后又具有统计规律性的现象称为随机现律性的现象称为随机现象。象。2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性, 但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有这种结果的出现具有一定的统计一定的统计规律性规律性 , 概率论就是研究随机现象这概率论就是研究

11、随机现象这种本质规律的一门数学学科种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述. 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会

12、出现. 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.定义定义二、随机试验二、随机试验说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的 “调查调查”、“观察观察”或或 “测量测量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察字面察字面,花面出现的情况花面出现的情况”.分析分析 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行

13、;1. 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.2. 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人数车人数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试

14、其寿命测试其寿命. 问题问题 随机试验的结果随机试验的结果?定义定义 随机试验随机试验 E 的所有可能结果组成的集合的所有可能结果组成的集合称为称为 E 的样本空间的样本空间, 记为记为 S 或或 .样本空间的元素样本空间的元素 , 即试验即试验E 的每一个结果的每一个结果, 称为称为样本点样本点( ).实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察字面观察字面,花面出现的情况花面出现的情况., .H T 字面朝上字面朝上H花面朝上花面朝上T三、样本空间与随机事件三、样本空间与随机事件实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.1, 2,3, 4,5, 6. 实例实例3 从

15、一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的情况现正品与次品的情况. , , , , , , .HHHHHTHTHTHHHTT TTHTHTTTT 则,.HT记正品次品0,1, 2,. 实例实例5 考察某地区考察某地区 12月份的平月份的平 均气温均气温.12.t TtT . 为平均温度为平均温度其中其中 t实例实例4 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数. .写出下列随机试验的样本空间写出下列随机试验的样本空间.1. 同时掷三颗骰子同时掷三颗骰子,记录三颗骰子数之和记录三颗骰子数之和.2. 生产产品直到

16、得到生产产品直到得到10件正品件正品,记录生产产品记录生产产品 的总件数的总件数.课堂练习课堂练习 2. 同一试验同一试验 , 若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样则对应的样 本空本空 间也不同间也不同. 例如例如 对于同一试验对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三将一枚硬币抛掷三次次”. 若观察正面若观察正面 H、反面反面 T 出现的情况出现的情况 ,则样本空间则样本空间为为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数 , 则样本空间为则样本空间为0,1, 2,3. ,.HHHHHT HTH THHHTT TTH THT TTT 说明说明 1. 试验不同试验不同, 对应的样本空间也不同对应的样本

17、空间也不同.说明说明 3. 建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现事实上就是建立随机现 象的数学模型象的数学模型. 因此因此 , 一个样本空间可以一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题概括许多内容大不相同的实际问题.例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间它既它既可以作为抛掷硬币出现可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反面反面的的模型模型 , 也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的模的模型型 , 又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与与无人排队无人排队的的模型等模型等., H T 说明说明 4. 样本空间可

18、以分为两类：样本空间可以分为两类： 离散样本空间离散样本空间和和连续样本空间连续样本空间。离散样本空间离散样本空间样本点的个数为有限个或可列个样本点的个数为有限个或可列个 连续样本空间连续样本空间样本点的个数为无限不可列样本点的个数为无限不可列 定义定义随机事件随机事件它们分别可以对应样本空间它们分别可以对应样本空间 =1,2,3,4,5,6的的子集子集1,2,3,4和和2,4,6 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, , 观察出现的点数观察出现的点数. .“点数不大于点数不大于4”,“4”,“点数为偶数点数为偶数” ” 等都为随机事件等都为随机事件. . 由由随机试验随机试验E的样本点组成的

19、集合称为的样本点组成的集合称为随机事件随机事件，简称简称事件事件，通常记作，通常记作,A B C D. 特别地特别地, , 如果事件只含一个样本点如果事件只含一个样本点, ,则称为则称为基本事件基本事件。 空集空集 不包含任何样本点，但它也是样本空间不包含任何样本点，但它也是样本空间的一个子集的一个子集,由于它在每次试验中肯定不发生，所以由于它在每次试验中肯定不发生，所以称称 为为不可能事件不可能事件. 包含包含随机试验随机试验E所有样本点的事件称为所有样本点的事件称为必然事件必然事件，事实上必然事件与样本空间等价，所以必然事件也事实上必然事件与样本空间等价，所以必然事件也用用表示表示. 在一

20、次试验中，事件在一次试验中，事件A发生发生是指当且仅当是指当且仅当A中中的某一个样本点出现的某一个样本点出现. 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件 1. 包含关系包含关系若若事件事件 A 发生发生, 必然导致必然导致 B 发生发生 .BAAB 或或图示图示 B 包含包含 A.SBAA B 3 , 2 , 1 A5 , 4 , 3 , 2 , 1 B四、随机事件间的关系及运算四、随机

21、事件间的关系及运算设设A、B为同一样本空间为同一样本空间中的事件中的事件.如果属于如果属于A的样本点必属于的样本点必属于B， 则称则称B包含包含A，或称或称A包含于包含于B，记作记作 2. A等于等于B 若若 则称事件则称事件 A 与与 事件事件 B 相等相等，记作记作 A=B.ABBA ,例如一粒骰子掷两次，例如一粒骰子掷两次，A =“出现两次奇数点出现两次奇数点”， B =“两次出现点数的乘积为奇数两次出现点数的乘积为奇数”. 3. 事件事件 A 与与 B 互不相容互不相容 (互斥互斥). ABBA 如果属于如果属于A的样本点不属于的样本点不属于B，且属于，且属于B的样本点的样本点也不属于

22、也不属于A，则称，则称A与与B互不相容。互不相容。 图示图示 A 与与 B 互不相容互不相容.SAB1、事件事件 A 与与 B 和和( (并并) )事件事件 .ABABAB 事件或称为事件与事件 的和和事事件件图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. SBABA发生发生至少有一个发生至少有一个发生和和BABA6 , 2 , 1 A5 , 3 , 2 B6 , 5 , 3 , 2 , 1 BA; , , , 211的的和和事事件件个个事事件件为为称称推推广广nknkAAAnA 随机事件的运算随机事件的运算2、 事件事件 A 与与 B 积积( (交交) )事件事件.ABBA或或积事件也可记作积事

23、件也可记作 .ABABAB 事件且称为事件与的交（积）事事件件发生发生同时发生同时发生和和BABA6 , 2 , 1 A5 , 3 , 2 B2 AB; , , ,211的积事件的积事件个事件个事件为为称称推广推广nnkkAAAnA 3、 事件事件 A 与与 B 的差的差图示图示 A 对对 B 的的差差.SABSABAB AB BA AB6 , 2 , 1 A5 , 3 , 2 B6 , 1 BAA BAAB 属于事件属于事件A而不属于事件而不属于事件B的样本点所组成的的样本点所组成的事件事件称为称为A对对B的差，记作的差，记作A- B. 4、 对立事件对立事件ABAB若事件若事件A与与B的积

24、事件（的积事件（）为不可能事件，）为不可能事件，A与与B为对立事件为对立事件 且且A与与B的和事件（的和事件（）为必然事件，则称）为必然事件，则称记作记作ABBA 或 .对立事件与互不相容事件的区别对立事件与互不相容事件的区别SSABABA A、B 对立对立A、B 互不相容互不相容 ABAB 且 AB互不相容互不相容对对 立立 随机事件的运算法则(4)对偶律(1)交换律ABBAABBA,(2)结合律.)()(;)()(CBACBACBACBA(3)分配律).()()();()()(CABACBACABACBA.,BABABABA(5)还原律. AA(6)差积律.ABABABA 对于多个随机事件

25、对于多个随机事件, ,上述运算规则也成立，上述运算规则也成立，例如：例如：A(A1A2An) =(AA1)(AA2)(AAn)12121212 nnnnAAAA AAA AAAAA例例1 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来. .A( )( )(1) (1) A 发生，且发生，且 B 与与 C 至少有一个发生；至少有一个发生； (2) (2) A 与与 B 同时发生，而同时发生，而 C 不不发生；发生； (3) (3) A , B, C 中恰有一个发生；中恰有一个发生； (4) (4) A , B, C 中至少有两个发生

26、；中至少有两个发生； (5) (5) A , B, C 中至多有两个发生；中至多有两个发生； (6) (6) A , B, C 中不多于一个发生中不多于一个发生. . BC A BABC 不发生；不发生； CCBACBACBAACBCABABCCBACBACBACBA第二节第二节 概率概率一、概率的定义一、概率的定义二、概率的基本性质二、概率的基本性质三、古典概型三、古典概型四、几何概型四、几何概型).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并记并记发生的频率发生的频率称为事件称为事件比值比值生的频数生的频数发发称为事件称为事件发生的次数发生的次数事件事件次试验中次试验中在这在这次试验次试

27、验进行了进行了在相同的条件下在相同的条件下 频率频率 一、概率的定义一、概率的定义 频率的性质频率的性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则; 1)(0)1( Afn(2)( )1,()0;ff 121212(3),()()()()kknnnkA AAf AAAfAfAfA若是两两互不相容的事件 则nnAfAn)( 试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.3

28、60.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.处处波波动动较较大大在在21波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在21从从上述数据可得上述数据可得(2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即即当当 n 逐渐增

29、大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且且逐渐稳定于逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰nHnf皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大的增大n.21 概率的概率的统计定义统计定义对本定义的评价对本定义的评价优点：直观优点：直观 易懂易懂缺点：粗糙缺点：粗糙 模糊模糊不便不便使用使用发发生生的的概概率率事事

30、件件发发生生频频率率的的稳稳定定值值称称为为事事件件AA)(AP记为记为)()(limAPAfnn 1933年年 ，俄国数学家柯尔莫哥洛夫提出了概，俄国数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义，给出了概率的严格定义 ，使，使概率论有了迅速的发展概率论有了迅速的发展. 概率的公理化定义概率的公理化定义:)(,)(,.,满满足足下下列列条条件件如如果果集集合合函函数数的的概概率率件件称称为为事事记记为为赋赋予予一一个个实实数数的的每每一一事事件件对对于于是是它它的的样样本本空空间间是是随随机机试试验验设设 PAAPAESE; 0)(,: (1) APA 有

31、有对于每一个事件对于每一个事件非负性非负性(2) :,( )1;P 正则性对于必然事件有12(3) :,A A 可可列列可可加加性性 设设是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件 则则有有 )()()(2121APAPAAP 定定 义义. 0)()1( P概率的有限可加性概率的有限可加性则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP 二、概率的基本性质二、概率的基本性质 ,A B()( )()P BAP BP AB （3）对任何两个事件）对任何两个事件，都有，都有 ()BBAABBAAB( )()()P BP BAP

32、AB()( )()P BAP BP AB证明证明 由由与与互不相容，互不相容，有有即即AB()( )( )P BAP BP A推论推论1 若若，则，则 AB( )( )P AP B推论推论2 若若， ).(1)(,)5(APA PAA 则则的对立事件的对立事件是是设设证明证明,( )1,AAAAP 因为).(1)(APAP . 1)(,)4( APA对于任一事件对于任一事件A ( )( )1,P AP . 1)( AP故故证明证明1( )()PP AA 所以. )()(APAP ).()()()(,)()6(ABPBPAPBAPBA 有有对于任意两事件对于任意两事件加法公式加法公式证明证明AB

33、由图可得由图可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故因此得因此得AB( )( )(),P AP BP AB).()()()(ABPBPAPBAP 推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP 推论：推论：)()()(BPAPBAP 解解).(),(),(, 4 . 0)(, 3 . 0)(, 2 . 0)(,BAPBAPABPBAPBPAPBA求已知是两个事件与1例例)(ABP )(BAP)()()(BAPBPAP . .)(BAP )(BAP

34、. )(BAP)(ABP)(ABP 例2 设A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A与B都不发生的概率为 0.15 ,求A发生B不发生的概率；B发生A不发生的概率及A、B至少有一个发生的概率.则则 P(A- -B)=P(A)- -P(AB)=0.5 P(B- -A)=P(B)- -P(AB)又因为又因为P(A+B)=P(A)+P(B)- -P(AB)，所以，所以，P(B)=P(A+B)- -P(A)+P(AB)=0.85- -0.6+0.1=0.35从而，从而，P(B- -A)=0.35- -0.1=0.25解：由已知得由已知得:P(A)=0.6，P(AB)=0.1，P( )=0.

35、15，ABP(A+B)=1- -P( )=1- -P( )=0.85AB AB预备知识一.排列与组合()(1)(2)(1)kknnAPn nnnk !kknnACk 3.重复排列重复排列:从从 n个不同元素中个不同元素中,依次取出依次取出k个元素（每次取出后个元素（每次取出后放回）放回）,按一定的顺序排成一列称为重复排列按一定的顺序排成一列称为重复排列,排列数记作排列数记作kknRn 1.非重复的选排列非重复的选排列:从从 n个不同元素中个不同元素中,取出取出 k(k n)个不同的元个不同的元素素,按一定的顺序排成一列称为选排列按一定的顺序排成一列称为选排列,选排列的种数记作选排列的种数记作

36、2.组合组合:从从n个不同的元素中个不同的元素中,取出取出k(k n)个不同的元素（与元个不同的元素（与元素的顺序无关）组成一组，称为一个组合素的顺序无关）组成一组，称为一个组合,其组合数记作其组合数记作 二二. .加法原理加法原理: : 完成某件事情有完成某件事情有n类办法类办法,在第一类办法中有在第一类办法中有m1种方法种方法,在在第二类办法中有第二类办法中有m2种方法种方法,依次类推依次类推,在第在第n类办法中有类办法中有mn种方种方法法,则完成这件事共有则完成这件事共有N = m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法,其中其中各各类办法彼此独立类办法彼此独立.三三. .乘法原理乘法原理

37、: : 完成某件事情需完成某件事情需n个步骤个步骤,作第一步有作第一步有m1种方法种方法,作第二步作第二步有有 m2 种方法种方法,依次类推依次类推,作第作第n步有步有mn种方法种方法,则完成这件事共则完成这件事共有有N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法,其中各个步骤缺一不可其中各个步骤缺一不可.例题例题: 两批产品各两批产品各50件件,其中次品各其中次品各5件件,从这两批产品中各抽取从这两批产品中各抽取1件件, (1) 两件都不是次品的选法有多少种两件都不是次品的选法有多少种? (2) 只有一件次品的选法有多少种只有一件次品的选法有多少种?解解: (1) 用乘法原理，结果为用乘法原理，结

38、果为112454545C C (2) 结合加法原理和乘法原理，得选法为结合加法原理和乘法原理，得选法为:11114555452 5 45450C CC C 1. 定义定义三、古典概型三、古典概型（1）样本空间）样本空间中的样本点（基本事件）的中的样本点（基本事件）的 个数是有限的；个数是有限的；（2）每个样本点出现（基本事件发生）是等可能的每个样本点出现（基本事件发生）是等可能的. 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成， A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件，且包含且包含 m 个样本点个样本点，则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为: 2. 古典

39、概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式.)(样本点总数样本点总数所包含样本点的个数所包含样本点的个数AnmAP 称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义. 3. 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模型摸球模型(1) 无放回地摸球无放回地摸球问题问题1 设袋中有设袋中有4 只白球和只白球和 2只黑球只黑球, 现从袋中无现从袋中无放回地依次摸出放回地依次摸出2只球只球,求这求这2只球都是白球的概率只球都是白球的概率.解解,2只只球球都都是是白白球球摸摸得得设设 A样本点总数为样本点总数为26CA 所包含所包含的样本点个数为的样本点个数为24C2624)(CCAP故.52 (2

40、) 有放回地摸球有放回地摸球问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2次摸到次摸到黑球黑球、第第3次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解3,2次摸到红球次摸到红球第第次摸到黑球次摸到黑球前前设设 A第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球310466)( AP故故.144. 0 课堂练习课堂练习1o 电话号码问题电话号码问题 在在7位数的电话号码中位数的电话号码中,第一位第一

41、位不能为不能为0，求数字，求数字0出现出现3次的概率次的概率. 在实际中，产品的检验、疾病的抽查、在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。实际背景。4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量无限杯子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率,

42、 其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球. 33334个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法,333334种种 2个种24C2个种22C因此第因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为422243CCp.272 (2) 每个杯子只能放一个球每个杯子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球, 求第求第1 至第至第4个杯子各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率. .解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为44410ApA789101234 .2

43、101 （认为（认为 杯子和球是可区别的）杯子和球是可区别的）例例1 将一颗骰子抛掷将一颗骰子抛掷4次，问至少出现一次次，问至少出现一次“6”点的概率是多少？点的概率是多少？解：令解：令 事件事件A=至少出现一次至少出现一次“6”点点直接计算直接计算A的概率较麻烦的概率较麻烦, 我们先来计算我们先来计算A的对立的对立事件事件A=4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的概率的概率.二、典型例题二、典型例题而导致事件而导致事件 =4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的结果数有的结果数有5555 =625种种 ( )1( )P AP A 于是于是 =0.5181296625 因此因此 = =0

44、.482( )P A由于将一颗骰子抛掷由于将一颗骰子抛掷4次次,共有共有6666=1296种等可能结果种等可能结果,A例例2 有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的任何一天的任何一天是等可能的，试求事件天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日至少有两人同生日”的概率的概率. 365( )(365)rrAP A 365( )1( )1(365)rrAP AP A 解：令解：令 A=至少有两人同生日至少有两人同生日 = r 个人的生日都不同个人的生日都不同A则则为求为求P(A), 先求先求P( )A 人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411

45、 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是在假定所有这些概率都是在假定一个人的生日在一个人的生日在 365天的任天的任何一天是等可能的前提下计何一天是等可能的前提下计算出来的算出来的. 实际上实际上,这个假定这个假定并不完全成立，有关的实际并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大概率比表中给出的还要大 . 当人数超过当人数超过23时，有相当大时，有相当大的把握说至少有两人同生日的把握说至少有两人同生日.例例3 袋袋 中有中有a只白球，只白球，b只红球，只红球，k个人依次

46、在袋个人依次在袋中取一只球中取一只球,(1)作作放回抽样放回抽样(即前一个人取一只球即前一个人取一只球观察颜色后放回袋中，后一人再取一只球观察颜色后放回袋中，后一人再取一只球)，(2)作作不放回抽样不放回抽样(即前一个人取一只球观察颜色后不放即前一个人取一只球观察颜色后不放回袋中，后一人再取一只球回袋中，后一人再取一只球)，求第，求第i(i=1,2,k)个个人抽到白球人抽到白球(记为事件记为事件)的概率的概率(设设ka+b)解解(1) 作作放回抽样放回抽样,;)(baaBP显然第第1个人有个人有a+b 种取法，种取法，第第2个人有个人有a+b-1 种取法，种取法，第第i个人有个人有a+b-i+

47、1 种取法，种取法，故故i个人各取一球共有个人各取一球共有（a+b)(a+b-1)(a+b-i+1)= 种取法，种取法，(2) 作作不放回抽样不放回抽样ia bA,111,个个个个球球中中的的任任意意个个球球可可以以是是其其余余其其余余被被抽抽的的中中的的任任一一个个个个白白球球个个人人抽抽到到白白球球可可以以是是发发生生时时，由由于于第第当当 ibaiaiB11ia ba A 于是第于是第i个人抽到白球的所有抽法为个人抽到白球的所有抽法为11 ( )iia ba bP Ba AA 故baa说明：在抽奖游戏中先抽后抽一个样；有放回无放回一个样！（抓阄问题）（抓阄问题） 学校组织参观活动，有学校

48、组织参观活动，有m个名额，个名额，现有现有n(m0，则称 P(A|B) = P(AB) / P(B) 为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率.条件概率的定义 关于定义的注解： 若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 按古典概型概率的计算方法，于是 有ABAB()()( )P ABP A BP B 1) 缩减样本空间： 将 缩减为B=B. 2) 用定义： P(A|B) = P(AB) / P(B).条件概率 P(A|B) 的计算例1、100件产品中有5件次品，现从中接连

49、任取两件而不放回，求在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率. 设事件A ：“第一次取得正品”，事件B ：“第二次取得次品”，按题意，所求概率是P(B|A) 解： 原来样本空间是100件产品，在第一次取得正品后，样本空间缩减为99件产品，其中94件正品5件次品.所以所求条件概率用缩减样本空间计算。5()99P B A 设A：该建筑物使用寿命超过50年。 B：该建筑物使用寿命超过60年。解：由题意，P(A)=0.8，P(B)=0.6求 P(B|A) 例2、某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.6, 现该建筑物已经历了50年，问它的使用寿命超过60年的概率

50、是多少？这里只给出了概率值，而未给出样本空间，所以应该按定义求条件概率 P(B|A) 。 BAABBP(AB)=P(B)=0.6()0.63()( )0.84P ABP B AP A);()()()( ) 3 (212121ABBPABPABPABBP);(1)( ) 4(ABPABP; 0)(, 1)(: )2(APAP规范性则有件是两两不相容的事设有限可加性,B, , ,: )5(21nBB)()()()(2121ABPABPABPABBBPnn3. 性质性质; 0)(: )1( ABP非负性非负性对于两个事件对于两个事件A与与B， 若若P(A)0, 则有则有 P(AB)=P(A)P(B|

51、A) 若若P(B)0, 则有则有 P(AB)=P(B)P(A|B) 推广情形推广情形 若若P ( A1A2An-1 ) 0，则有则有P ( A1A2An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1) 对三个事件对三个事件A, B, C,若若P(AB)0，则有则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)注意：乘法公式一般用于计算几个事件同时发生的概率注意：乘法公式一般用于计算几个事件同时发生的概率二、乘法公式二、乘法公式 乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率. 一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品

52、的概率. 解：记 Ai=“第i 次取出的是不合格品” Bi=“第i 次取出的是合格品”, 目的求 P(B1B2A3) 用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1) P(A3|B1B2) 乘法公式的应用9089101009998乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球. 随机地抽随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次

53、取到红球的概率四次取到红球的概率. （波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）b个白球个白球, r个红球个红球于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，第一、连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球第二个是白球，第三、四个是红球. ” 解解: 设设Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病模型传染病模型. 每次每次发现一个传染病

54、患者，都会增加再传染的概率发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)例例 一袋中有白、黑球共一袋中有白、黑球共7 7个，已知从中任取两球都是白球个，已知从中任取两球都是白球的概率为的概率为1/7. 1/7. 现有甲、乙两人轮流从袋中取球，每人每次现有甲、乙两人轮流从袋中取球，每人每次取一球，谁先取到白球谁为胜方取一球，谁先取到白球谁为胜方. .若甲先取球，谁取胜的概若甲先取球，谁取胜的概率大？率大？2271,3.7nCnnC解解：由由题题意意 设设袋袋中中有有 个

55、个白白球球 则则即即即即甲甲取取胜胜的的概概率率大大. .111211223( )()()()P AP AP A B AP A B A B A设设A=甲取到白球甲取到白球, Ai=甲第甲第i 取到白球取到白球，i=1,2,3； Bj=乙第乙第j 取到白球取到白球，j=1,2；B =乙取到白球乙取到白球；34 3 34 3 2 12277 6 57 6 5 4351111211()() () ()P AP A P B A P A A B1. 完备事件组完备事件组1B2B3B1 nBnB三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式12,nB BB12,nB BB()0,(1,2, )iP

56、Bin1niiB 定义定义 若若互不相容且互不相容且则称该事件组为样本空间则称该事件组为样本空间中的一个完备事件组中的一个完备事件组.为样本空间为样本空间中的一组事件中的一组事件 （1）满足：满足：（2）引例：引例： 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率求取得红球的概率.解：记解：记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球即即

57、B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B两两互不相容两两互不相容B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得运用加法公式得123将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的在概率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/152. 全概率公式全概率公式12,nA AA1

58、( )() (|)niiiP BP A P B A事件组，则对事件组，则对中任一事件中任一事件B，有，有 定理定理 若若为样本空间为样本空间中的一个完备中的一个完备全概率公式全概率公式 1122() ()() ()() ()nnP A P B AP A P B AP A P B A由上式不难看出:它的理论和实用意义在于:“全部”概率P(B)可分成许多“部分”概率 之和。)(BAPi在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai ，使B伴随着某个Ai的出现而出现，且每个 容易计算。可用所有 之和计算P(B)。)( BAPi)(BAPi1122( )() ()()

59、()() ()nnP BP A P B AP AP B AP AP B A例1、有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；1122( )() (|)() (|)P BP A P B AP A P B A甲乙21137323412 由全概率公式例2：某工厂有甲、乙两车间生产同一种产品，两车间的次品率分别为0.03 和0.02 ，生产出来的产品放在一起，且已知甲车间的产量比乙车间的产量

60、多一倍，求该厂产品的合格率.解：设 A 表示“取出的产品是甲车间生产的”， B 表示“取出的产品是正品”。所求的概率( )( ) ()( ) ()P BP A P B AP A P B A210.970.980.973333该球取自哪号箱的可能性该球取自哪号箱的可能性最大最大?实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因” 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸某人从任一箱中任意摸出一