电子科技大学微积分数学定积分课件

1、2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分定积分的概念定积分的概念 规则图形的面积，如圆面、三角形、梯形、长方形等的面积大家规则图形的面积，如圆面、三角形、梯形、长方形等的面积大家非常熟悉如何计算，但对于下面图形的面积如何利用我们已知的知识非常熟悉如何计算，但对于下面图形的面积如何利用我们已知的知识2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线 引例引例1 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.y=f(x)oab(如右图所示如右图所示)一、引例一、引例2021-10-10电子

2、科技大学微积分数学定积分xy=f(x)oab1 2 i yx2x1xi-1xi0121111: , , , ,;nniiiiia bnaxxxxxba bnxxxxx 在在区区间间内内插插入入 - -1 1个个分分点点，把把分分成成个个小小区区间间，意意为为任任长长度度任任意意 112:,;iiiiiiiixxxxxffx 任任取取得得以以为为底底, ,以以为为高高的的小小矩矩形形的的面面积积: :i分分割割近近似似2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分xy=f(x)oab1 2 i yx2x1xi-1xi13:()nniiiSfx 将将作作为为曲曲边边梯梯形形面面积积的的近近似似值

3、值; ;01lim()niiiSfx 12,max,(0)nxxx 4:4:当当分分割割无无限限加加细细 即即小小区区间间的的: :趋趋近近于于零零最最大大长长度度时时，曲边梯形面积的准确值为：曲边梯形面积的准确值为：求求和和取取极极限限2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分引例引例2 2 （求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程）由引例由引例1 1的思想方法和步骤有的思想方法和步骤有：tn=T2toT1=t0t1tn-1titi-1t21 i 1 iiittt求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程. . vv t 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知

4、知速速度度是是 12,0,T Ttv t 时时间间间间隔隔上上 的的一一个个连连续续函函数数，且且2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiittt（3）求和）求和iinitvs )(1 （4）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值（2）近似近似()iiisvt 2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分 012111112,1,2,1,2,max,nniiiiiiiiiniiinfxa ba baxxxxxba bnxxxixxfxiSfxxxxa b 定义 设函数在上有

5、界，在中任意插定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点入若干个分点把区间分成 个小区间，各小区间的长度依次为把区间分成 个小区间，各小区间的长度依次为在各小区间上任取在各小区间上任取一点，作乘积一点，作乘积并作和，并作和，记，如果不论对记，如果不论对二、定积分的定义二、定积分的定义2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分 , a b 称称为为积积分分区区间间; ; 01lim()nbiiaifx dxfx ;f x 称称为为被被积积函函数数x 称为称为积分变量;积分变量; fx dx 称为称为被积表达式;被积表达式;ab称称为为和和积积分分下下限限和和积积分分上上限限; ; . 称

6、称为为积积分分符符号号 表表示示和和的的意意思思 10,iiiSIfxxaxb 怎怎样样的的分分法法，也也不不论论在在小小区区间间上上点点 怎怎样样的的取取法法，只只要要当当时时，和和 总总趋趋于于确确定定的的极极限限 ，则则称称此此极极限限为为函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分，记记为为2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分注意：注意： badxxf)( badttf)( baduuf)(而与积分变量用什么符号的字母表示无关而与积分变量用什么符号的字母表示无关. .(4) 积分值仅与被积函数及积分区间有关积分值仅与被积函数及积分区间有关， (2).i 定定义义中中区区间间的的

7、分分法法和和 的的取取法法是是任任意意的的 (3),fxa b当当函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分存存在在时时， ,fxa b称称在在区区间间上上可可积积. .(1) 定积分中的被积函数一定是闭区间上的有界函数。定积分中的被积函数一定是闭区间上的有界函数。2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分 5 用用语语言言定定积积分分可可定定义义为为: : 60n, 不不成成立立0n 只只有有()(7)定积分和不定积分的区别 1,iiifxa ba bxx 若若在在上上有有界界, ,如如果果存存在在常常数数I I, , 0 0, , 0 0, ,如如果果不不论论对对的的任任意意分分法法及

8、及在在上上的的任任意意取取法法, ,只只要要就就有有1(),niiifxI ,( ).baIfxa bf x dxI 则则称称 为为在在上上的的定定积积分分, ,记记为为 0;.abaaabf x dxf x dxf x dx ( (8 8) )规规定定：2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理（可积的充分条件）三、存在定理（可积的充分条件） ,.fxa bfxa b若若函函数数在在区区间间上上连连续续，则则在在区区间间上上可可积积 ,.fxa bfxa b若函数在区间上有界，若函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则且只有有限个间断点，则在区间

9、上可积在区间上可积2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分1.1. 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 0,11,2,iinxinn将等分，分点为，将等分，分点为， 11,1,2,iiixxxinn 小小区区间间的的长长度度 ,1,2,iixin 取取四、应用四、应用2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nnn0dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分222222.lim12nnnnnnnn利用定积分的定义表示极限利用定积分的定义表示极限2111lim1nninin12011dxx2021-10-10电子科技大学微积分数学定积分2sinsinsi