高量15-时间平移与时间反演

1、121 21 时间平移和时间反演时间平移和时间反演21-1 21-1 时间平移时间平移、量子力学中的时空观、量子力学中的时空观在量子力学中，系统或粒子的空间坐标是物理量，在量子力学中，系统或粒子的空间坐标是物理量，有厄米算符与之对应，有本征值和本征矢量，但是有厄米算符与之对应，有本征值和本征矢量，但是时间却不是物理量，没有算符与之对应，它在理论时间却不是物理量，没有算符与之对应，它在理论中的地位只是一个实数参数，所以系统的哈密顿量中的地位只是一个实数参数，所以系统的哈密顿量在时间变换方面的不变性或对称性，与对空间变换在时间变换方面的不变性或对称性，与对空间变换的不变性是不完全一样的。的不变性是

2、不完全一样的。2二、时间平移操作以及对态函数和算符的作用二、时间平移操作以及对态函数和算符的作用在位置表象中在位置表象中 时间平移算符及对态函数的作用时间平移算符及对态函数的作用设系统处于某一含时态设系统处于某一含时态 中，其态函数满足中，其态函数满足Schrdinger方程方程),()(ttr )(),()(ttHttiP,R 态的时间平移态态的时间平移态 是一个运动变化完全是一个运动变化完全与与 相同，但全面推迟相同，但全面推迟时间时间 发生的态，即发生的态，即 )(t)(t)(t)()(tt)()(tt3定义定义 为作用于时间参量上的时间平移操作，即为作用于时间参量上的时间平移操作，即)

3、(Q ttQ)(定义定义 为作用于时间函数上的时间平移算符，这是一个为作用于时间函数上的时间平移算符，这是一个函数空间上的幺正算符，其对函数的作用可写为函数空间上的幺正算符，其对函数的作用可写为)(D),()(,),()(),(1ttQtDtrrrr2. 时间平移算符对其他算符的作用时间平移算符对其他算符的作用Hilbert空间中的算符空间中的算符 的时间平移的时间平移 为为),(tAP,R),(tAP,R)(),()(),(1DtADtAP,RP,R)(,(1tQAP,R),(tAP,R4不显含时间的算符不受时间平移的影响，如不显含时间的算符不受时间平移的影响，如RRR)()(1DDPPP)

4、()(1DD用时间平移算符用时间平移算符)(D作用于作用于Schrdinger方程两边：方程两边：)()()()()()()()(11tDDHDtDDtDi即即 )()()(ttHtti此式一般来说与原来此式一般来说与原来Schrdinger方程不同，因为方程不同，因为)(tH不一定与不一定与 相同，因此相同，因此 不一定是系统一个可能实现的状态。不一定是系统一个可能实现的状态。)(tH)(t5三、哈密顿具有时间平移对称性的情况三、哈密顿具有时间平移对称性的情况具有时间平移对称性，即具有时间平移对称性，即如果系统的如果系统的H)()(tHtH对一切对一切成立，则成立，则Schrdinger方程

5、任何状态的时间平移态方程任何状态的时间平移态也是系统也是系统的一个可能的状态，的一个可能的状态，)()()(ttHtti哈密顿具有时间平移的对称性即是要求它不明显依赖于时间，哈密顿具有时间平移的对称性即是要求它不明显依赖于时间，不显含时间的哈密顿本身是一个守恒量，因此说：不显含时间的哈密顿本身是一个守恒量，因此说：系统的哈密顿如果具有时间平移的不变性系统的哈密顿如果具有时间平移的不变性 )()(tHtH则导致系统的能量守恒。则导致系统的能量守恒。6注意：注意：时间平移与时间演化是两个不同的概念时间平移与时间演化是两个不同的概念。波。波函数经时间平移后不一定再满足函数经时间平移后不一定再满足Sc

6、hrdinger方程，方程，而 时 间 演 化 算 符 作 用 后 的 波 函 数 要 服 从而 时 间 演 化 算 符 作 用 后 的 波 函 数 要 服 从Schrdinger方程。方程。时间平移算符：时间平移算符：dtdeD)(HieU1)0 ,( ( 不显含时间）不显含时间）H演化算符：演化算符：所以：所以： HidtdeeD)(721-2 21-2 时间反演时间反演一、态函数的时间反演变换一、态函数的时间反演变换1 1时间反演算符时间反演算符0T设系统的设系统的 为实算符（不含虚数），且不含时，无自为实算符（不含虚数），且不含时，无自旋。系统的态满足旋。系统的态满足Schrdinge

7、r方程：方程：H),(),(tHttirr ),(),()(tHttirrt换成换成-t：两边取复共轭：两边取复共轭： ),(),(*tHttirr8令令 ),(),(),(0*tTttrrr则则 为为时间反演态时间反演态， 称为称为时间反演算符时间反演算符。每一个含时态都有一个时间反演态与之对应，当哈每一个含时态都有一个时间反演态与之对应，当哈密顿在时间反演下不变时，时间反演态与原状态满密顿在时间反演下不变时，时间反演态与原状态满足相同的足相同的Schrdinger方程。方程。),(tr0T满足下列条件：满足下列条件： 0T010TT100TT 9的时间反演是的时间反演是位置算符位置算符，动

8、量算符，动量算符和轨道角动量和轨道角动量XPLXXX100TTPPP100TTLLL100TTProof: 取任意函数取任意函数),(tr，有，有),(),(*0100txiTtTPTxrr),(),(tPtxixrr 所以，所以， xxPTPT100 10如果无自旋系统的如果无自旋系统的不显含时间，又是动量不显含时间，又是动量HPHTHT100的二次式，则有的二次式，则有 此时该系统（及其哈密顿）具有此时该系统（及其哈密顿）具有时间反演不变性时间反演不变性或或时间反演对称性。这时系统的每一个含时态的时间时间反演对称性。这时系统的每一个含时态的时间反演态也是系统的一个可能实现的状态。反演态也是

9、系统的一个可能实现的状态。 11 在经典力学中，若单粒子所受的外力在经典力学中，若单粒子所受的外力 只是位只是位置的函数而与速度无关，则其运动方程满足牛顿第置的函数而与速度无关，则其运动方程满足牛顿第二定律，即二定律，即)F(rF(r)r22)(dttdm2. 2. 时间反演态时间反演态 t 换成换成-t：F(r)r22)(dttdm令粒子的时间反演态为令粒子的时间反演态为 )()(ttrr)(tr)(tr则则满足与满足与相同的运动方程。相同的运动方程。12反演态的物理图象：反演态的物理图象：当粒子从初始态当粒子从初始态 经过经过 时间运动到时间运动到 点，动点，动量为量为 时，则其时间反演态

10、如以时，则其时间反演态如以 为初始态，为初始态，经过时间经过时间 后，粒子将按原路径回到后，粒子将按原路径回到 ，而那时动，而那时动量为量为 ，情况与将原过程拍成电影倒过来放映一，情况与将原过程拍成电影倒过来放映一样。样。)(iip,rtfrfp)(ffp,r tirip13nitEininineat)(),(rr在量子力学中，以无自旋粒子系统为例，原来的含时态在量子力学中，以无自旋粒子系统为例，原来的含时态),(trSchrdinger方程，而方程，而的最一般解是的最一般解是 ),(tr),(tr与其时间反演态与其时间反演态两者都满足同一个两者都满足同一个式中式中 )()(rrninniEH

11、ndi, 2 , 1ndnE是能级是能级的简并度。的简并度。 时间反演态时间反演态: : nitEininineattTt)(),(),(),(*0rrrr),(),(ttrr可见：可见：14),(trH所以，当所以，当中不含虚数的情况下，中不含虚数的情况下， 虽然仍旧虽然仍旧满足满足原原Schrdinger方程，但不一定等于原过程的倒放。方程，但不一定等于原过程的倒放。 其原因是：其原因是： 经典力学只涉及实数，而量子力学涉及复数；经典力学只涉及实数，而量子力学涉及复数； 量子力学中有状态叠加原理；量子力学中有状态叠加原理； 与与 之间有较为复杂的关系。之间有较为复杂的关系。 )(rni)(

12、*rni153. 时间反演算符的数学性质时间反演算符的数学性质无自旋系统的时间反演算符可以写成无自旋系统的时间反演算符可以写成10TKT ),(),(*ttKrr),(),(1ttTrr不寻常的数学性质：不寻常的数学性质：（1）时间反演算符时间反演算符0T不是线性算符，它是不是线性算符，它是反线性算符反线性算符。 它虽然满足它虽然满足 2010210)(TTT但是但是 00*0)(TaTaaT16K0T（2 2）时间反演算符）时间反演算符 （）在单一空间的函数空间中）在单一空间的函数空间中不存在厄米共轭算符。不存在厄米共轭算符。rrrrrrrrrddKdG)()()()()()(*根据定义，根

13、据定义，K的厄米共轭算符的厄米共轭算符 GGG无论无论是什么算符，都不能上式成立。所以是什么算符，都不能上式成立。所以不存在。不存在。 但但K满足满足 *),(),(),(),(KKK因此，因此，时间反演算符是反幺正算符时间反演算符是反幺正算符。17（3）由于不存在厄米共轭，）由于不存在厄米共轭，时间反演算符不是厄米算时间反演算符不是厄米算符符，所以没有物理量与之对应，没有守恒律与之对应，所以没有物理量与之对应，没有守恒律与之对应4. Hilbert空间中的时间反演算符空间中的时间反演算符（1）反线性算符对左右矢的作用：）反线性算符对左右矢的作用：对线性算符，对线性算符，AAA AAA对反线性

14、算符，对反线性算符，?= 例如：可以设例如：可以设a 则对反线性算符则对反线性算符A，有，有 *)(aAA*)(aAAaAA)(18AA若对任意若对任意 , ,AA成立，则成立，则aAaA)()(*)()(AA，且有，且有aa *那么必须要求那么必须要求不符合矢量的任意性，所以对反线性算符，不符合矢量的任意性，所以对反线性算符，所以对反线性算符要分别表示：所以对反线性算符要分别表示：A,A和和19（2）时间反演算符对态矢量的作用：）时间反演算符对态矢量的作用： 在在Hilbert空间中，无自旋系统的时间反演算符空间中，无自旋系统的时间反演算符0T对右矢的作用：对右矢的作用：),(),(),(0

15、*tTttrrrrrr)()(,*0ttT利用：利用：1rrrd 左乘左乘r并积分，得并积分，得 rrr)(0tdT在在Hilbert空间中仍有空间中仍有010TT仍可写成仍可写成 10KTT rrr)()(tdtK左矢形式左矢形式 KttdKt)()()(rrr其中其中20内积内积 rrrrrrddKK ,rrrd （3）Hilbert空间中算符之间的关系空间中算符之间的关系定义一个符号定义一个符号“*”： 用这个符号可以把用这个符号可以把 KK ,写成写成 KK ,所以所以 KK , ),(),(KK与函数空间中的与函数空间中的 对应对应1UU211KK1KKKKKK,利用利用 有有则则

16、以上关系只有处于左右矢之间时才有意义。由此以上关系只有处于左右矢之间时才有意义。由此可见反幺正算符与幺正算符的异同之处。可见反幺正算符与幺正算符的异同之处。1,KKK1)(,KKK1UU在在Hilbert空间中，位置算符空间中，位置算符，动量算符和轨道角动，动量算符和轨道角动量算符的时间反演变换为量算符的时间反演变换为RR100TTPP100TTLL100TT22三、自旋三、自旋1/21/2粒子系统的时间反演算符粒子系统的时间反演算符zS取常用的取常用的表象来讨论，自旋表象来讨论，自旋1/2粒子的时间反演算符粒子的时间反演算符T0T除了符合除了符合所满足的所满足的21.10式或式或21.19式

17、之外，还应满足式之外，还应满足 SS1TT0UTT S是粒子的自旋算符。令是粒子的自旋算符。令 10KTT 其中其中 ,U22是一个是一个矩阵，为自旋空间中的算符。矩阵，为自旋空间中的算符。1*11001UUUTUTTTSSS23在在zS表象中，表象中， 10012zS01102xS002 iiSyxSzSySU和和都是实矩阵，而都是实矩阵，而是纯虚的，所以是纯虚的，所以应满足应满足xxSUUS1*1yyUS USzzSUUS1才能使才能使 SSS1*1UUTT取取 0110yiU01101yiU即可即可 时间反演算符时间反演算符 为为T10UKTUTT12 TTTTT1满足满足24四、哈密顿

18、本征函数的时间反演态四、哈密顿本征函数的时间反演态在时间反演下不变，有时可以讨论哈密顿本征函数的在时间反演下不变，有时可以讨论哈密顿本征函数的时间反演。如果态不含时，时间反演实际上是时间反演。如果态不含时，时间反演实际上是 起作起作KEtiertr)(),(Etie由于定态由于定态中的时间因子中的时间因子用用取复共轭。取复共轭。)()(rrninniEH对无自旋粒子，对对无自旋粒子，对两边取复共轭，两边取复共轭，)()(*rrninniEH得得)(*rni)(rni即即的时间反演态，的时间反演态， 可见，可见，当哈密顿量具有时间反演不变性时，它的本征当哈密顿量具有时间反演不变性时，它的本征函数

19、的时间反演仍是其本征函数，而本征值不变。函数的时间反演仍是其本征函数，而本征值不变。2521-3 21-3 实表示和复表示实表示和复表示介绍了介绍了如何判断他们之间的关系属于哪种类型。如何判断他们之间的关系属于哪种类型。主要内容：讨论了一个空间对称变换群主要内容：讨论了一个空间对称变换群Q的的d 维表示维表示矩阵矩阵D(Q)与其复共轭表示与其复共轭表示D*(Q)之间的关系之间的关系,并重点并重点、变换算符的矩阵表示、变换算符的矩阵表示ni设设D(Q)是群是群Q的一组幺正的不可约表示，其基函数为的一组幺正的不可约表示，其基函数为,其中其中n是一个给定的数，是一个给定的数，i=1,2,3,djji

20、njniQDQD)()()()(rr26两边取复共轭，得两边取复共轭，得 jjinjniQDQD)()()()(*rr在上式中，在上式中，nininiT0*iizS算符的复共轭算符的复共轭的定义为：在位置及的定义为：在位置及表象中将算符中的表象中将算符中的RR*PP*LL*xxSS *yySS*zzSS *所以所以因此，空间对称变换中的平移，转动和反演算符都满足因此，空间对称变换中的平移，转动和反演算符都满足DD* 27例如：例如： )(*)()(PPiieDeD所以有所以有 jjinjniQDQD)()()()(*rr*jiD)(*QDji上式表明：矩阵元为上式表明：矩阵元为的一组矩阵的一组

21、矩阵 Q也是群也是群的一组幺正的不可约表示，的一组幺正的不可约表示，)(*rni其基函数是其基函数是28类型类型1 1：对所有的对所有的 ， 全是实矩阵，全是实矩阵，二、表示矩阵的分类二、表示矩阵的分类 Q)(QD或者虽然不全是实矩阵，但与一个实表示等价，或者虽然不全是实矩阵，但与一个实表示等价，这种表示称为这种表示称为实表示实表示；这时可以说这时可以说 是实质上的实表示。是实质上的实表示。)(QD)(QD另有：当表示另有：当表示不全是实矩阵，但与实表示等价时，不全是实矩阵，但与实表示等价时，)(QD)(*QD必定与必定与等价。等价。29类型类型2.2. 这种表示称之为这种表示称之为赝实表示赝

22、实表示。)(QD)(*QD与与不等价，不等价，类型类型3.)(QD)(*QD与与等价，但不存在一个实表示与之等价，等价，但不存在一个实表示与之等价，)(QD Q为群为群的的复表示复表示。则则3021-4 21-4 时间反演引起的附加简并时间反演引起的附加简并、附加简并、附加简并的一组本征函数（共的一组本征函数（共d 个）个）是其对称性群是其对称性群Q的的d 维幺正不可约表示维幺正不可约表示D(Q)的基函数的基函数H设系统的哈密顿为设系统的哈密顿为，已知某一特定能级，已知某一特定能级EiiEHdi, 2 , 1jjijiQDQD)()( 31将证明将证明: 这一能级的简并度只有这一能级的简并度只

23、有d 和和2d 两种可能。两种可能。可以发生后一种情况，可以发生后一种情况，H没有时间反演对称性时，肯定是前者；没有时间反演对称性时，肯定是前者；当当H当当具有时间反演对称性时，在一定条件下，具有时间反演对称性时，在一定条件下，这时时间反演引起了多一倍的这时时间反演引起了多一倍的附加简并附加简并。32附加简并的解释附加简并的解释: H当当具有时间反演对称性时，它的任意一个本征函数具有时间反演对称性时，它的任意一个本征函数如果这些时间反演态都在原来的表示空间之内，则能如果这些时间反演态都在原来的表示空间之内，则能级级E的简并度仍为的简并度仍为d。如果所有的时间反演态都在原来的表示空间之外，如果所有的时间反演态都在原来的表示空间之外，又形成一个新的又形成一个新的d维空间，这个能级的简并度是维空间，这个能级的简并度是2d。i*0iiiT的时间反演的时间反演也是同一能级的本征函数。也是同一能级的本征函数。33二、结论二、结论三、例子三、例子 对于没有自旋的系统，当表示对于没有自旋的系统，当表示D(Q)属于类型属于类型1时不时不发生附加简并，而当表示发生附加简并，而当表示D(Q)属于类型属于类型2或类型或类型3时，时，则发生附加简并。则发生附加简并。1.一维自由粒子：一维自由粒子：221PmH xiP 哈密顿具有