高中数学 渐开线及摆线 张涛

1、内容内容描述描述知识点名称渐开线与摆线课程内容1.了解圆的渐开线的参数方程。2.了解摆线的生成过程及它的参数方程。教学设计激趣导入激趣导入：探究引入，把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上：探究引入，把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在在 绳的外端系上一支铅笔绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧将绳子拉紧,保持绳保持绳 子与圆相切而动，看子与圆相切而动，看能画出什么样的曲线。能画出什么样的曲线。知识新授知识新授：渐开线的定义及参数方程，摆线的定义及参数方程。：渐开线的定义及参数方程，摆线的定义及参数方程。练习巩固练习巩固：练习求渐开线的参数方程。：练习求渐开线的参数方程。课堂小结课堂小结：1 1、圆

2、的渐开线，渐开线的参数方程、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2 2、平摆线、摆线的参数方程、平摆线、摆线的参数方程渐开线与摆线主讲教师：张涛1、渐开线、渐开线设开始时绳子外端位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角 的一段弧AB，展开后成为切线BM，所以切线BM的长就是弧AB的长，这就是动点满足的几何条件。我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。OABM( , )( cos,sin)(cos,sin),OOAxrMx yMBrrBMxryrBMr我们以基圆圆心 为原点， 直线为 轴， 建立平面直角坐标系， 设基圆的半径为 ， 绳子外端的坐标为， 显然， 点由角唯一确

3、定。取为参数，则点的坐标为从而数方程。这就是圆的渐开线的参为参数解得以同方向的单位向量，所是与向量位向量，因而向量同方向的单是与由于向量)()cos(sin)sin(cos)cos,)(sin()sin,cos()()cos,(sin)sin,(cos221ryrxrryrxerBMBMeOBe个结论为什么成立吗这一结论，你能说明这”有相同方向与向量“向量数方程的过程中用到在探究圆的渐开线的参思考：BMe)cos,(sin2注意：注意： 4.基圆内无渐开线基圆内无渐开线 3.渐开线的形状取决于基圆的大小渐开线的形状取决于基圆的大小1.发生线发生线BM沿基圆滚过的长度等沿基圆滚过的长度等于基圆上

4、被滚过的圆弧长度。于基圆上被滚过的圆弧长度。 2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。 2、摆线、摆线思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记, 那么当自行车在笔直的道路上行驶时, 白色印记会画出什么样的曲线？3.532.521.510.5-0.5-1-1.5-1123456OABMDCBMOMAOAMAOArMBM假设 为圆心， 圆周上的定点为， 开始时位于 处，圆在直线上滚动时， 点绕圆心作圆周运动， 转过角后， 圆与直线相切于点 ， 线段的长等于弧的长， ， 这就是圆周上的定点在圆 沿直线滚动过程中满足的几何条件， 我们把点的轨迹叫做平摆线， 简称摆线，

5、又叫旋轮线。,( , )sincos(sin)xMrMxABMABxC DMx yMxODOADAOAMCrryDMACABCBrrxr我们取定直线为 轴， 定点滚动在定直线上的一个位置为原点， 建立直角坐标系， 设圆的半径为设开始时定点在原点， 圆滚动了 角后与轴相切于点 ， 圆心在点 ， 从点分别作，轴的垂线， 垂足分别为 ， ， 设点的坐标为取 为参数，根据点满足的几何条件所以，摆线的参数方程为()(1cos)yr为参数(1)思考：在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？0,)2,2 ()rrr参数 的取值范围是一个拱的宽度是高度是其中 是滚动圆的半径例例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所求齿廓所在的渐开线的参数方程。在的渐开线的参数方程。解：因为基圆的直径为解：因为基圆的直径为22mm，所以，所以基圆的半径为基圆的半径为11mm，因此齿廓线的，因此齿廓线的渐开线的参数方程为：渐开线的参数方程为：X=11 (cos + sin )Y=11(sin cos)（为参数）为参数）练习巩固：例例2.当当= ， 时，求出渐开线时，求出渐开线42X=cos + sin Y=sin cos上的对应点上