2019届高三数学复习--解析几何--圆锥曲线的方程与性质

1、精品文档2019届高三数学复习-解析几何-圆锥曲线的方程与性质第15讲圆锥曲线的方程与性质1. 2017 ?全国卷川已知双曲线 c:- =1(a0,b0) 的一条 渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点，则c的方程为 ( )A. -=1B.-=1c.-=1D.-=1 试做命题角度考查圆锥曲线的定义(1) 定性：确定圆锥曲线的类型，确定焦点的位置，从而 设出标准方程.(2) 列方程(组):用待定系数法列出椭圆、双曲线或抛物线中关于a,b,c或p的方程(组).(3) 得到结果.注意：要考虑到圆锥曲线的焦点无法确定 的情况.2.(1)2018?全国卷川设 F1,F2 是双曲线c:-=1(a0,

2、b0)的左、右焦点,o是坐标原点，过F2作c的一2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创1 / 18精品文档条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|=|oP|,则c的离心率为( )A. B.2C.D.(2) 2018 ?全国卷 H 已知 F1,F2 是椭圆 c:+=1(ab0) 的左、右焦点,A是c的左顶点，点P在过A且斜率为的直线 上, PF仆2为等腰三角形，/ F1F2P=120 ,则c的离心率为 ( )A.B.c.D.(3) 2018 ?全国卷H 已知F1,F2是椭圆c的两个焦点,P 是c上的一点，若PF1丄PF2,且/ PF2F1=60 ,则c的离心率 为()A.1-B

3、.2-C.D.-1 试做命题角度离心率关键一：利用已知条件和椭圆、双曲线的定义或性质列 出关于a,b,c的方程或不等式，求出的值或取值范围.关键二：双曲线离心率的取值范围为(1,+ a),椭圆离心率的取值范围为(0,1).3. (1)2016?全国卷I 以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于A,B两点，交c的准线于D,E两点，已知|AB|=4,|DE|=2,则c的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8(2)2013?全国卷H 设抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为F,点在c上,|F|=5.若以F为直径的圆过点(0,2),则c的方 程为()A.y2=4x或 y2=8xB.y2=2x 或 y2

4、=8xc.y2=4x或 y2=16xD.y2=2x 或 y2=16x 试做命题角度圆与抛物线的综合问题关键一：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的 距离转换成抛物线上的点到准线的距离.关键二：注意圆的相关性质的应用.4. (1)2018?全国卷I 设抛物线c:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与 c交于,N两点，则?=()A.5B.6C.7D.8(2) 2018?全国卷I 已知双曲线c:-y2=1,o为坐标原点,F为c的右焦点，过F的直线与c的两条渐近线的交点分 别为N若厶oN为直角三角形，则|N|=()A.B.3C.2D.4(3) 2016?全国卷川已知o为坐标原点,F

5、是椭圆c:+=1(ab0)的左焦点AB分别为c的左、右顶点，P为c 上一点，且PF丄x轴.过点A的直线I与线段PF交于点，与y 轴交于点E.若直线B经过oE的中点，则c的离心率为()A.B.c.D. 试做命题角度直线与圆锥曲线的位置关系(1) 问题一般为求点的坐标、斜率、弦长、方程及圆锥 曲线的某个性质.(2) 关键一：圆锥曲线的定义.关键二：构建直线与圆锥曲线的方程组 .关键三：用好平面几何性质.小题1圆锥曲线的定义与标准方程1(1)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线的方程是y=x,且它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程是()A.-=1B.-=1c.-=1D.-=

6、1(2) 已知椭圆c:+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 左、右顶点分别为,N,过F2的直线I交c于A,B两点(异于,N), AF1B的周长为4,且直线A与AN的斜率之积为-,则椭圆c 的方程为()A.+=1B.+=1c.+=1D.+y2=1听课笔记【考场点拨】待定系数法求圆锥曲线的标准方程应紧扣“三步曲” ：(1)定位：焦点在哪个坐标轴上.(2)设方程.(3)定量.易失分点 有:双曲线定义中忽略“绝对值”致错，椭圆与双曲线的关系式弄混.【自我检测】1. 设椭圆c:+y2=1的左焦点为 F,直线l:y=kx(k 工0)与椭圆c交于A,B两点，则|AF|+|BF|的值是()A.2B

7、.2C.4D.42. 双曲线c:-=1(a0,b0) 的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆交双曲线 c的一条渐近线于点(3,), 则双曲线c的方程为()A.-=1B.x2-=1c.-=1D.-y2=13. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线I与抛物线交于 A,B 两点，若A,B两点的横坐标之和为，则|AB|=.4. 双曲线c:-y2=1的左、右焦点分别为 F1,F2,过F1的 直线交双曲线c的左支于A,B两点，则|AF2|+|BF2|的最小值 为.小题2圆锥曲线的几何性质2(1) 设F为抛物线c:y2=3x的焦点，过点F且倾斜角为 30的直线交抛物线c于A,B两点,o为坐标原点

8、，则厶oAB的面积为()A.B.c.D.(2) 已知F是椭圆E:+=1(ab0)的左焦点，经过原点的 直线I与椭圆E交于P,Q两点，若|PF|=2|QF|,且/ PFQ=120 , 则椭圆E的离心率为()A.B.c.D.听课笔记【考场点拨】圆锥曲线性质的注意点:(1)椭圆离心率的取值范围为(0,1),双曲线离心率的取值范围为(1,+ a );(2)双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y= x;(3)由方程求解性质时 方程一定要化为标准形式.【自我检测】1. 已知双曲线-=1(b0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.B. 3C. 5D. 42

9、. 设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA丄l,A为垂足.若直线AF的斜率为-,则|PF|=()A.4B.6C. 8D.163. 设F1,F2是椭圆c:+=1的两个焦点，若椭圆c上存在点满足/ F仆2=120 ,则的取值范围是()A. U 8,+ s)B. (0,1U 8,+ s)c. U 4,+ s)D. (0,1U 4,+ s)4. 已知焦点在x轴上的双曲线c的左焦点为F,右顶点为 A,若线段FA的垂直平分线与双曲线 c没有公共点，则双曲线 c的离心率的取值范围是小题3圆锥曲线与圆、直线的综合问题3(1)过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近

10、线于A,B两点，若B为线段FA的中点，且oB丄FA(o为坐标原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C. 2D.(2) 设抛物线y2=2x的焦点为F,过点(,0)的直线与抛物 线相交于A,B两点(A在第一象限),与抛物线的准线相交于 点 c,|BF|=2,则=. 听课笔记【考场点拨】圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点:(1)注意使用 圆锥曲线的定义；(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的 方程组;(3)注意用好平面几何性质.【自我检测】1. 若双曲线-=1(a0)的一条渐近线与直线y=x垂直，则此双曲线的实轴长为()A.2B.4C.18D.362. 已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为F1,过

11、点F1作倾斜角为30的直线I与圆x2+y2=b2相交所得的弦长为b,则椭 圆的离心率为()A.B.c.D.3. 双曲线c:-=1(a0,b0)的离心率为2,其渐近线与圆 (x-a)2+y2=相切，则该双曲线的方程为4. 已知F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点，过点F作倾斜 角为30的直线l与抛物线E交于A,B两点，过A,B向E的 准线作垂线，垂足分别为c,D,设cD的中点为，则|F|=.第15讲圆锥曲线的方程与性质 典型真题研析1. B解析(1) 双曲线的一条渐近线方程为y=x, =.又椭圆+=1与双曲线有公共焦点， c=3,则 a2+b2=c2=9.由解得a=2,b=,故双曲线c的方程

12、为-=1.2. (1)c(2)D(3)D解析由题易知|PF2|=b,|oP|=a. 过P向x轴作垂线，垂足为E,可知 |PE|=,|F2E|=,所以 |PF1|2=+=(|oP|)2=6a2,从而可得 e=.(2)由题意知A(-a,0),过A且斜率为的直线方程为y=(x+a),设 P(x0,y0),则有 yO=(xO+a).又厶 PF1F2为等腰 2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创9 / 18精品文档三角形，且/ F1F2P=120 ,所以=tan30 =,=tan60 = 联立，消去xO,yO，得=,即c的离心率为.(3) 在直角三角形 PF1F2中，T PF1丄PF

13、2, / PF2F1=60 ,|F1F2|=2c,二 |PF2|=c,|PF1|=c. 由椭圆的定义 得c+c=2a, c的离心率e=-1,故选D.3. (1)B(2)c解析设抛物线方程为y2=2px(p0),点A在第一象限，点D在第二象限.根据抛物线的对称性可得点A的纵坐标为2,代入抛物线方程得 x=,即点A,2.易知点 D-,由于点A,D都在以坐标原点为圆心的圆上，所以+8=+5, 解得p=4,此即为抛物线的焦点到准线的距离 .(2)抛物线焦点为F,0,由抛物线的定义，设5-,设N点坐标为(0,2).因为圆过点N(0,2),故NF丄N? X =-1,设 =t, 则 式 可 化 为t2-4t

14、+8=0 ? t=2 ? p2-10p+16=0 ? p=2 或 p=8.4. (1)D(2)B(3)A解析(1)过点(-2,0)且斜率为的直线方程为y=(x+2),由解得或不妨记(1,2),N(4,4), 抛物 线的焦点为 F(1,0),所以?=(0,2) ?(3,4)=8.(2) 由双曲线方程知a=,b=1,则F(2,0).不妨设过点F的 直线垂直渐近线 x-y=0于，交渐近线x+y=0于N.在Rt oF 中，/ oF=30 oF|=2, 所以 |o|=. 在 Rt oN 中，/ oN=60 ,|o|=,所以 |N|=3.(3)设(-c,yO),则A所在直线方程为y=(x+a),令x=0,

15、得EO,.B所在直线方程为y=(x-a),令x=0,得y=.由题意得=x , 解得a=3c,故离心率e=.考点考法探究小题1例 1(1)c(2)c解析(1) 双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线的方程是y=x,且它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线x=-6上,解得双曲线的方程为-=1.(2) 由 AF1B的周长为4及椭圆的定义，可知|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,解得 a=,则(-,0),N(,0).设点A(x0,y0),由直线A与AN的斜率之积为-,可得?=-.即=-(-3),又因为+=1,所以=b2，由得b2=2,所以椭圆c的方程为+=1.【自我检测】1. c

16、解析设椭圆的右焦点为 F2,连接AF2,BF2,因为|oA|=|oB|,|oF|=|oF2|,所以四边形AFBF2是平行四边形，所以 |BF|=|AF2|,所以 |AF|+|BF|=|AF|+|AF2|=2a=4.2. C解析由以线段F1F2为直径的圆交c的渐近线于点(3,),得 c=2,所以 a2+b2=12.由点(3,)在双曲线的渐近线上，得双曲线的渐近线的方 程为y= x,即二.由得a2=9,b2=3,所以双曲线c的方程为-=1,故选c.3. 解析抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，则|AB|=xA+xB+2=.4.9解析由双曲线的定义知|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a

17、+|BF1|+2a=|AB|+4a +4a=2 X +8=9,故|AF2|+|BF2|的最小值为9.小题2例 2(1)B(2)c解析(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 y2=3x,得 2p=3,即 p=,则 F.由题知直线AB的方程为y=,即 x=y+.联立得 4y2-12y-9=0,则 y1+y2=3,y1y2=-, SA oAB=SA oAF+SA oFB=X |y1 -y2|=2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创13 /佃精品文档X =.(2) 在 PQF 中,设 |PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1), 则Q(-x1,-y1),设椭圆的右焦点为

18、F2,易知四边形PFQF2是平行四边形，所以/ FPF2=60 .在厶PF2F中，由余弦定理得|F2F|2=(2t)2+t2-2X 2t X t X cos60 =3t2=4c2.由椭圆定义得|PF|+|PF2|=2a=3t,贝U a2=3c2,所以椭圆 E的离心 率e=.【自我检测】1. A解析因为抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0),所以4+b2=9,解得b2=5,所以双曲线的方程为-=1,所以其渐近线方程为y= x,所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为=,故选A.2. c解析抛物线方程为y2=8x,焦点F(2,0),准线I的方程为x=-2,直线AF的斜率为-,直线AF的方程为y=-(x

19、-2),由可得点A的坐标为(-2,4). PAI l,点P的纵坐标为4,代入抛物线方程，得点P的坐标为(6,4), |PF|=|PA|=6-(-2)=8.3. A解析根据椭圆的性质可知，当点在短轴的顶点2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创15 /佃精品文档时，/ F1F2最大,设椭圆的一个短轴的顶点为A,要使得椭圆c上存在点满足/ F1F2=120 ,则/ F1AF2A120 ,即/ oAF2 60 (o为坐标原点),当 2 时,=cos / oAF20), 由题知 F(-c,0),A(a,0),线段FA的垂直平分线与双曲线c没有公共点，-a,即 3ac,离心率 e= 又

20、e (1,+ a),1 小题3例3(1)c(2)解析(1)由题意可得双曲线的渐近线方程为y= x. B为线段FA的中点,oB丄FA, AoF为等腰三角形,oA=oF=c,/ BoF=Z BoA.由双曲线的渐近线的性质可得/BoF=Z xoA,/ BoF=Z BoA=Z xoA=60 , =tan60 =,即 b2=3a2,双曲线的离心率 e=2.(2)由题意可得抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为x=-.设A(x1,y1),B(x2,y2), 过A,B向抛物线的准线作垂线， 垂足分别为 A1,B1,则|BF|=|BB1|=x2+=2,解得x2=.把x2=代 入抛物线方程y2=2x,得y2=-，则

21、直线AB的方程为x+y-3=0, 与抛物线方程联立，得 x1=2, |AA1|=2+=. T BB1II AA1, =,=.【自我检测】1. C解析由双曲线的方程-=1可得双曲线的一条渐近线的方程为y=-x,所以-x =-1,解得a=9,所以双曲线的实 轴长为2a=18,故选c.2. B解析过点F1且倾斜角为30 的直线I的方程为y=(x+c),即 x-y+c=0,则圆心(0,0)到直线I的距离d=,由弦长公式可得2=b,整理得 b2=c2,所以 a2-c2=c2,即 a2=2c2,即 e2=,故 e=.3. x2-=1解析由题意知,=2,即c=2a,则b=a.由圆的方程可知，其圆心坐标为(a

22、,0),半径r=,不妨取双曲线的一 条渐近线bx-ay=0,则有=,即=,解得a=1,则b=,故所求双曲 线的方程为x2-=1.4.2p解析由题知直线I的方程为y-0=,即y=x-p,联立直线与抛物线的方程得4x2-28px+p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=7p,所以线段AB的中点N的横坐标为=p,所以点N的纵坐标yN=x p-p=p,又因为点N与点的纵坐标相同，所以|F|=2p.备选理由例1、例2考查圆锥曲线的方程，其中例1 涉及双曲线与抛物线，例2涉及椭圆与圆，都需要结合圆锥曲 线的定义与图形的位置关系来解答；例3为求离心率范围的问题,需要构建关于a,b,c的不等式，依据b的取值范围求解 例4为一道双曲线与圆的综合题.例1配例1使用已知F1,F2分别为双曲线3x2-y2=3a2(a0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线 的一个交点，若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为 ( )A.x=-4B.x=-3c.x=-2D.x=-1 解析c 由题得双曲线的方程为-=1,所以 c2=a2+3a2=4a2,所以 c=2a,所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合由题得所以|PF2|=6-a.联立双曲线的方程和抛物线的方程得3x2-8ax-3a2=0,解得x