第4讲 机器人动力学

1、第4章 机器人动力学机器人技术公共选修课裴忠才 唐志勇2021-10-16机器人动力学机器人技术公共选修课2021-10-160. 概述机器人技术公共选修课2021-10-163 机器人机器人是主动机械装置，原则上，它的每个自由度都具有是主动机械装置，原则上，它的每个自由度都具有单独传动。从控制的观点来看，机械手系统是冗余、多变量和单独传动。从控制的观点来看，机械手系统是冗余、多变量和本质非线性的自动控制系统，也是复杂的动力学耦合系统。每本质非线性的自动控制系统，也是复杂的动力学耦合系统。每个控制任务本身就是一个动力学任务。因此研究机器人的动力个控制任务本身就是一个动力学任务。因此研究机器人的

2、动力学问题就是为了进一步讨论控制问题。学问题就是为了进一步讨论控制问题。 为使机器人连杆加速，驱动器必须有足够大的力和力矩来驱动机器人连杆和关节，以使他们能以期望的加速度和速度运动，否则连杆将因运动迟缓而损失机器人的位置精度。因此必须建立决定机器人运动的动力学关系方程，用来计算每个驱动器所需的驱动力。0. 概述机器人技术公共选修课2021-10-164方法：方法：1 1 牛顿牛顿欧拉法；欧拉法；2 2 拉格朗日方法。拉格朗日方法。 机器人动力学机器人动力学方程可以确定机器人的运动，但实际上除方程可以确定机器人的运动，但实际上除最简单的情况外，求解机器人的全部动力学方程几乎是不可最简单的情况外，

3、求解机器人的全部动力学方程几乎是不可能的。能的。作用：作用：1 确定力确定力和力矩，以便在机器人连和力矩，以便在机器人连杆和关节上产生期望的加速度；杆和关节上产生期望的加速度；2 考察考察不同负载对机器人的影响及不同负载对机器人的影响及根据期望的加速度来考察某些负根据期望的加速度来考察某些负载的重要性；载的重要性；0. 概述机器人技术公共选修课2021-10-165 牛顿牛顿欧拉法从运动学出发求得加速度，并消去各内作用力。欧拉法从运动学出发求得加速度，并消去各内作用力。拉格朗日方法，它只需要速度而不必求内作用力，是比较直接拉格朗日方法，它只需要速度而不必求内作用力，是比较直接的方法。的方法。

4、对于对于动力学，有两个相反的问题：一是动力学的动力学，有两个相反的问题：一是动力学的正问题正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度。主要应用于仿真研究；二是动力学的加速度。主要应用于仿真研究；二是动力学的逆问题逆问题：已知机：已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、速度、加速度求各关节所械手的运动轨迹，即各关节的位移、速度、加速度求各关节所需要的驱动力或力矩。主要是实时控制的需要需要的驱动力或力矩。主要是实时控制的需要 一般一般机器人的动态方程由机器人的动态方程由6个非线性微分方程联立表示，个非线性微分方程联立表示

5、，实际上除了一些简单的情况外，不可能求得方程的一般解。实际上除了一些简单的情况外，不可能求得方程的一般解。在实际控制时往往对动态方程作出某些假设，进行简化处理在实际控制时往往对动态方程作出某些假设，进行简化处理。1. 惯性矩机器人技术公共选修课2021-10-166 首先首先，在图，在图41里通过把质点的平移运动改作回转运动的里通过把质点的平移运动改作回转运动的分析，来了解惯性矩的物理意义。分析，来了解惯性矩的物理意义。 若若将力将力F作用到质量为作用到质量为m的质点时的平移运动，看的质点时的平移运动，看作是运动方向的标量，则可作是运动方向的标量，则可以表示为：以表示为： Fxm 式中：式中：

6、 表示加速度。若把这一运动看作是质量可以忽略的棒表示加速度。若把这一运动看作是质量可以忽略的棒长为长为r的回转运动，则得到加速度和力的关系式为：的回转运动，则得到加速度和力的关系式为： x rxrNF 1. 惯性矩机器人技术公共选修课2021-10-167 式式中，中， 和和N是绕轴回转的角加速度和惯性力矩，将是绕轴回转的角加速度和惯性力矩，将 和和F F代入上式得：代入上式得： 令令 ，上式上式可以变为：可以变为： （41） Nmr 22mrI IN 式式（41）是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式，）是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式，I相当于平动时的质量，称为惯性矩。相当于平动

7、时的质量，称为惯性矩。 求求质量连续分布物体的惯性矩时，可以将其分割成假想的质量连续分布物体的惯性矩时，可以将其分割成假想的微小物体，然后将微小物体的惯性矩加在一起，这时，微小物微小物体，然后将微小物体的惯性矩加在一起，这时，微小物体的质量体的质量dm及其微小物体体积及其微小物体体积dV的关系可用密度的关系可用密度 表示为：表示为： x dVdm1. 惯性矩机器人技术公共选修课2021-10-168那么，它的惯性矩为：那么，它的惯性矩为： dVrdmrdI22整个物体的惯性矩可用下式表示：整个物体的惯性矩可用下式表示： dVrdII2 例例4.1 4.1 求图求图4 42 2所示质量为所示质量

8、为M M，长度为长度为L L的匀质杆（粗细忽的匀质杆（粗细忽略），绕其一端回转时的惯性矩略），绕其一端回转时的惯性矩I I。 （42） 解：微小物体的质量用线密度解：微小物体的质量用线密度 （M/LM/L）表示，所以其惯性矩表示，所以其惯性矩为为 。因此将。因此将dIdI在长度方向积在长度方向积分，即可得到：分，即可得到： 20302313MLxLMdxxILL1. 惯性矩机器人技术公共选修课2021-10-169 解解：由于该杆是重心位于中：由于该杆是重心位于中心的匀质杆，因此，可先就杆的心的匀质杆，因此，可先就杆的一半来求解，然后再加倍即可。一半来求解，然后再加倍即可。假定假定x x为离杆

9、中心的距离，则得为离杆中心的距离，则得到：到： 2203202121322MLxLMdxxILLC例例4 42 2 试求上例的杆绕重心回转时的惯性矩试求上例的杆绕重心回转时的惯性矩I IC C。2. 牛顿、欧拉运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1610图图4 43 3所示的单一刚体的运动方程式可用下式来表示：所示的单一刚体的运动方程式可用下式来表示： 式式中，中，m m（标量）是刚体的质量；标量）是刚体的质量； 是绕重心是绕重心C C的惯性矩阵；的惯性矩阵；F FC C是作用于重心的平动力；是作用于重心的平动力；N N是惯性力矩；是惯性力矩；VcVc是重心的平移速度；是重心的平移速

10、度； 为为角速角速度。度。 式式（4 43 3）及式（）及式（4 44 4）分别被称为牛顿运动方程式及欧）分别被称为牛顿运动方程式及欧拉运动方程式。拉运动方程式。IcIc的各元素表示对应的力矩元素和角加速度元的各元素表示对应的力矩元素和角加速度元素间的惯性矩素间的惯性矩。 CCFvmNIICC)(33RIC（43） （44） 2. 牛顿、欧拉运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1611 下面下面我们来求图我们来求图4 44 4所示所示1 1自由度自由度机械手的运动方程式。这种场合，由机械手的运动方程式。这种场合，由于关节轴制约连杆的运动，所以可以于关节轴制约连杆的运动，所以可以把式（

11、把式（4 44 4）的运动方程式看作是绕）的运动方程式看作是绕固定轴的运动。假定绕关节轴的惯性固定轴的运动。假定绕关节轴的惯性矩为矩为I I，取垂直纸面的方向为取垂直纸面的方向为Z Z轴，则轴，则得到：得到： II000000000II 2. 牛顿、欧拉运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1612 式式中：中：g g为重力常数；为重力常数； 是在第三行第三列是在第三行第三列上具有绕关节轴的惯性矩阵，把这些公式代入（上具有绕关节轴的惯性矩阵，把这些公式代入（4 44 4），提取只有），提取只有z z分量的回转则得到：分量的回转则得到： cos00CmgLN33RI2. 牛顿、欧拉运动方

12、程式机器人技术公共选修课2021-10-1613式中：式中：cosCmgLI 2CCmLII 对于对于一般形式的连杆，由于一般形式的连杆，由于I I 除第三分量以外，其它分除第三分量以外，其它分量皆不为零，所以量皆不为零，所以 I I 不是零向量。不是零向量。 I I 的第的第1 1，2 2分量成分量成了改变轴方向的力矩，但在固定轴的场合，与这个力矩平衡了改变轴方向的力矩，但在固定轴的场合，与这个力矩平衡的约束力的约束力生成，式生成，式N N的第的第1 1，2 2分量，不产生运动。分量，不产生运动。 由于由于机器人是具有分布质量的三维、多自由度机构，利机器人是具有分布质量的三维、多自由度机构，

13、利用牛顿力学建模非常困难，拉格朗日力学成为主要的动力学用牛顿力学建模非常困难，拉格朗日力学成为主要的动力学分析方法。分析方法。 （45） 3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1614 拉格朗日拉格朗日运动方程式仅仅包涵能量项运动方程式仅仅包涵能量项对系统变量和时间的微分，结构简单，因对系统变量和时间的微分，结构简单，因此多数教科书利用该方程进行动力学推导此多数教科书利用该方程进行动力学推导。 拉格朗日拉格朗日力学以两个方程为基础：一力学以两个方程为基础：一个是直线运动，另一个针对旋转运动。个是直线运动，另一个针对旋转运动。3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课20

14、21-10-1615拉格朗日运动方程式可表示为：拉格朗日运动方程式可表示为： 式式中，中，q是广义坐标，是广义坐标， 是广义力，当为直线运动时，是广义力，当为直线运动时， 为力为力的单位，当为转动时，它为力矩的单位。的单位，当为转动时，它为力矩的单位。拉格朗日运动方程式拉格朗日运动方程式也可表示为：也可表示为： qLqddLdtdPKL这里，这里，L L是拉格朗日算子；是拉格朗日算子；K K是动能；是动能；P P是势能。是势能。 （46） （47） 3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1616例：用拉格朗日运动方程式推导下图所示的单自由度系统力例：用拉格朗日运动方程式推

15、导下图所示的单自由度系统力和加速度的关系，车轮的质量忽略不计：和加速度的关系，车轮的质量忽略不计： 小车的动能为：小车的动能为：222121xmmvK小车系统的势能为：小车系统的势能为： 221kxP 拉格朗日算子为：拉格朗日算子为：222121kxxmPKL3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1617kxxL拉格朗日函数的导数为：拉格朗日函数的导数为： 因此小车系统的运动方程为：因此小车系统的运动方程为： xmxLxmxmdtd )(kxxmF 3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1618 现现就前面讲的就前面讲的1 1自由度机械手来具体求解。

16、假定自由度机械手来具体求解。假定 为广义为广义坐标，则有：坐标，则有： 由于由于 221IK sinCmgLPILsin212CmgLILcosCmgLL（48） 3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1619所以用所以用 置换式（置换式（4 46 6）的广义坐标后得到下式：）的广义坐标后得到下式： cosCmgLI 它它与前面的结果完全一致。与前面的结果完全一致。 下面下面推导图推导图4 45 5所示的所示的2 2自由自由度机械手的运动方程式。度机械手的运动方程式。 在在推导时，把推导时，把 1 1， 2 2当作广当作广义坐标，义坐标， 1 1， 2 2当作广义力求拉当

17、作广义力求拉格朗日算子，代入式（格朗日算子，代入式（4 46 6）即）即可得到。可得到。 （49） 3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1620第第1 1个连杆的动能个连杆的动能K K1 1、势能势能P P1 1可分别表示为：可分别表示为： 21111112121CCTCIppmK1111SgLmPC22122222)(2121CCTCIppmK)(1221122SLSLgmPC（410） 3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1621（411） 式中，式中， 是第是第i i个连杆质量中心的位置向量。个连杆质量中心的位置向量。 TCiyCixCip

18、pP,111CLpCxC111SLpCyC122112CLCLpCxC122112SLSLpCyC3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1622（412） 应该应该注意到各连杆的动能可用质量中心平移运动的动能和注意到各连杆的动能可用质量中心平移运动的动能和绕质量中心回转运动的动能之和来表示。绕质量中心回转运动的动能之和来表示。 由由式（式（4 41111），得到式（），得到式（4 41010）中的质量中心速度平方）中的质量中心速度平方和为：和为： 利用式（利用式（4 41010）和式（）和式（4 41212），（），（4 41313），通过下式），通过下式 212111C

19、CTCLPP)(2)(212122122122212122CLLLLppCCCTC（413） 3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1623式中：式中： 可可求出拉格朗日算子求出拉格朗日算子L L，把它代入式（把它代入式（4 46 6）的拉格朗日运）的拉格朗日运动方程式，整理后可得：动方程式，整理后可得： 2121PPKKL)(),()(gcM 22211211)(MMMMM21),(ccc21)(ggg3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1624222122212)(CCCICLLLmM1221MM222222CCILmM)2(212222121

20、SLLmcC22212221212111)2(1CCCCICLLLLmILmMC3. 拉格朗日运动方程式机器人技术公共选修课2021-10-1625 是惯性力；是惯性力； 是离心力；是离心力； 表示加在机械手上的表示加在机械手上的重力项，重力项，g g是重力加速度常数。是重力加速度常数。 对于对于多于多于3 3个自由度的机械手，也可用同样的方法推导出个自由度的机械手，也可用同样的方法推导出运动方程式，但随自由度的增多演算量将急剧增加。运动方程式，但随自由度的增多演算量将急剧增加。 2122122SLLmcC)(1221121111CLCLgmCgLmgCC12222CgLmgC )(M),(

21、c)(g4. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-1626 在分析了二连杆机械手的基础上，我们分析由一组A变换描述的任何机械手，求其动力学方程。分以下5步进行推导： （1） 计算任一连杆上任一点的速度；计算任一连杆上任一点的速度； （2） 计算各连杆的动能和机械手的总动能；计算各连杆的动能和机械手的总动能； （3） 计算各连杆的位能和机械手的总位能；计算各连杆的位能和机械手的总位能； （4） 建立机械手系统的拉格朗日函数；建立机械手系统的拉格朗日函数； （5）对拉格朗日函数求导，以得到动力学方程。对拉格朗日函数求导，以得到动力学方程。4. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2

22、021-10-1627下图表示一个四连杆机械手的结构。我们先从这个例子出发，求得此机械手某个连杆（例如连杆3）上某一点（P）的速度、质点和机械手的动能与位能、拉格朗日算子，求系统的动力学方程。然后，由特殊到一般，导出任何机械手的速度、动能、位能和动力学方程的一般表达式。4. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-1628 图中连杆3上点P的位置为：pprTr330式中， 为基坐标系中的位置矢量； 为局部（相对关节O3）坐标系中的位置矢量； T3为变换矩阵，包括旋转和平移变换。对于任一连杆i上的一点，其位置为：pr0pr3rTrii0（414） 1、速度的计算、速度的计算4. 机械

23、手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-1629点P的速度为 pppprTrTdtdrdtdv333300)()(jjjqqTdtdTT31333pjjjprqqTv33130)(对于连杆i上任一点的速度为：rqqTdtdrviijjj13)(（415） 4. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-1630P点的加速度pkjjkkjpjjjpkjjkkjpjjjpjjjppprqqqqTrqqTrqqqqTrqdtdqTrqqTdtdrTdtdvdtda331313233133313132331333133300)()()()()()()( 4. 机械手动力学方程机器人技

24、术公共选修课2021-10-1631速度的平方：对于任一机械手上一点的速度平方为（416） 4. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-1632令连杆3上任一质点P的质量为dm，则其动能为： 2、动能和位能的计算、动能和位能的计算4. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-1633任一机械手连杆i上位置矢量 的质点，其动能为ri对连杆3积分dK3，得连杆3的动能为：4. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-1634式中， 积分称为连杆的伪惯量矩阵，并记为：任何机械手上任一连杆i的动能为：（417） 4. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-1635（417） 式中，Ii为伪惯量矩阵，其表达式为：4. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-1636物体的转动惯量、矢量积以及一阶矩量为：如果令4. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-16374. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-1638于是可把Ii表示为（4.18)：4. 机械手动力学方程机器人技术公共选修课2021-10-1639具有n个连杆的机械手总的动能为：连杆i