电磁感应及电磁场例题

1、例例1 1 匀强磁场中，导线可在导轨上滑动，匀强磁场中，导线可在导轨上滑动，lvB解解)(ts)()(tBlsttddvBltsBldd在在 t 时刻时刻ab回路中感应电动势。回路中感应电动势。求求若若tBtBB0)(tdd)(00vtlBlsB两个同心圆环，已知两个同心圆环，已知 r1r2,大线圈中通大线圈中通有电流有电流 I ,当小圆环绕直径以当小圆环绕直径以 转动时转动时2r1rI解解202rIB大圆环在圆心处产生的磁场大圆环在圆心处产生的磁场 通过小线圈的磁通量通过小线圈的磁通量 SBcos22120rrItrrIcos22120trrItsin2dd2210例例2感应电动势感应电动势

2、求求 小圆环中的感应电动势小圆环中的感应电动势在无限长直载流导线的磁场中，有一运动的导体线框，导在无限长直载流导线的磁场中，有一运动的导体线框，导体线框与载流导线共面，体线框与载流导线共面，求线框中的感应电动势。求线框中的感应电动势。Ivabxdx解解xbxISBd2dd0通过面积元的磁通量通过面积元的磁通量 xbxIalld2d0lalIbln20tddllt/ lalt/ lIbdddd20)(20allIabv（方向顺时针方向）（方向顺时针方向） 例例3例例4在匀强磁场在匀强磁场 B 中，长中，长 R 的铜棒绕其一端的铜棒绕其一端 O 在垂直于在垂直于 B 的的平面内转动，角速度为平面内

3、转动，角速度为 B OR求求 棒上的电动势棒上的电动势解解 方法一方法一 (动生电动势动生电动势):dlAlAOilBd)(vROlBdvROlBld22BR方向方向OA 方法二方法二(法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律):d在在 dt 时间内导体棒切割磁场线时间内导体棒切割磁场线vd21d 2R B tiddtBRdd212221BR方向由楞次定律确定方向由楞次定律确定例例5在半径为在半径为R 的圆形截面区域内有匀强磁场的圆形截面区域内有匀强磁场 B ，一直导线，一直导线垂直于磁场方向以速度垂直于磁场方向以速度 v 扫过磁场区。扫过磁场区。求求 当导线距区域中心轴当导线距区域中心轴 垂直距

4、离为垂直距离为 r 时的动生电动势时的动生电动势vBrRab解解 方法一方法一 ：动生电动势动生电动势bailBd)(vldbalBdv)(abBv222rRB vO方法二方法二 ：法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律在在 dt 时间内导体棒切割磁场线时间内导体棒切割磁场线rBrRd2d22trrRBtidd2dd22222rRBv方向由楞次方向由楞次定律确定定律确定例例6 一被限制在半径为一被限制在半径为 R 的无限长圆柱内的均匀磁场的无限长圆柱内的均匀磁场 B ， B 均均匀增加，匀增加，B 的方向如图所示。的方向如图所示。RONMCD求求 导体棒导体棒MN、CD的感生电动势的感生电动势)

5、Rr(tBrEVdd2解解 方法一方法一(用感生电场计算用感生电场计算):NMVMNlEdldVE0DCVCDlEdDCVlEdcosLolrhtBrddd2hrtBhLdd2方法二方法二(用法拉第电磁感应定律用法拉第电磁感应定律): (补逆时针回路补逆时针回路 OCDO)tiddt/BLhd)2d(CDDOCDOCBtBhLdd2例例7 设一载流回路由两根平行的长直导线组成。设一载流回路由两根平行的长直导线组成。 daad 求求 这一对导线单位长度的自感这一对导线单位长度的自感L 解解 由题意，设电流回路由题意，设电流回路 IIIPr12)(2200rdIrIBPSBadadrhrdIrIa

6、dad)(2200取一段长为取一段长为 h 的导线的导线hraadIhln0aadIhLln0例例8 同轴电缆由半径分别为同轴电缆由半径分别为 R1 和和R2 的两个无限长的两个无限长同轴导体和柱面组成同轴导体和柱面组成求求 无限长同轴电缆单位长度上的自感无限长同轴电缆单位长度上的自感II解解 由安培环路定理可知由安培环路定理可知21RrRrIBr2021Rr ,Rr0BSdSBddrlrIrd2021d20RRrrlrI120ln2RRIlr120ln2RRIlLrrl1R2Rr例例9 一无限长导线通有电流一无限长导线通有电流 tIIsin0现有一矩形线现有一矩形线框与长直导线共面。（如图所

7、示）框与长直导线共面。（如图所示）Ia2a23a求求 互感系数和互感电动势互感系数和互感电动势解解rIB20rdr穿过线框的磁通量穿过线框的磁通量232d/a/aSB3ln20Ialn320aIMtIMddtIacos3ln200互感系数互感系数互感电动势互感电动势例例10计算共轴的两个长直螺线管之间的互感系数计算共轴的两个长直螺线管之间的互感系数设两个螺线管的半径、长度、设两个螺线管的半径、长度、匝数为匝数为212121N,N,l ,l ,R,R12解解2121RR, lll1I设设 lINB1101221221 RBN122210IRlNN2221021 RlNNM2I设设 lINB220

8、2222112 RBN2221012 RlNNMMMM2112例例11 在相距为在相距为 2a 的两根无限长平行导线之间，有一半径为的两根无限长平行导线之间，有一半径为 a的导体圆环与两者相切并绝缘，的导体圆环与两者相切并绝缘，2aaa02O求求 互感系数互感系数解解MMM2112rIIraraIB1120SSBdSSBdrrararaIaad2112220设电流设电流IIa02IM rdBHwm21解解根据安培环路定理根据安培环路定理,螺绕环内螺绕环内rNIBr20rNIH222220421rINr1R2RhrrhVd2d取体积元取体积元VmmVwWd21d2822220RRrrrhrIN1

9、222ln4RRhINI例例12 一由一由 N 匝线圈绕成的螺绕环，通有电流匝线圈绕成的螺绕环，通有电流 I ，其中充有均匀，其中充有均匀磁介质磁介质求求 磁场能量磁场能量WmO例题例题13 设有一个长直螺线管，长为设有一个长直螺线管，长为l，截面积为，截面积为S，线圈总匝，线圈总匝数为数为N，求其自感系数。，求其自感系数。解解：忽略边缘效应，当螺线管中通有电流：忽略边缘效应，当螺线管中通有电流I时，管内的磁感应时，管内的磁感应强度为强度为IlNNnIB00通过螺线管的磁通量为通过螺线管的磁通量为m0NNBSNIl则螺线管的自感系数为则螺线管的自感系数为222m0002NNLSlSnVIll

10、式中式中V=LS为螺线管的体积为螺线管的体积。rr IB2rIH2 解解：由安培环路定理可求得两筒之间距离轴线：由安培环路定理可求得两筒之间距离轴线处处(见图见图10-16)的磁感应强度与磁场强度分别为的磁感应强度与磁场强度分别为图图10-16 10-16 例题例题10-510-5用图用图 例题例题10-510-5 同轴电缆由两个同轴的圆筒型导体组成。设内外同轴电缆由两个同轴的圆筒型导体组成。设内外圆筒型导体的半径分别为圆筒型导体的半径分别为R R1 1和和R R2 2，流过内、外筒的电流均为，流过内、外筒的电流均为I I。求单位长度电缆的磁场能量，并由此计算电缆的自感系数。求单位长度电缆的磁

11、场能量，并由此计算电缆的自感系数。 考虑到考虑到B与与H方向相同，且在方向相同，且在rR1和和rR2区域内区域内B=0，单，单位长度电缆的磁场能量为位长度电缆的磁场能量为 m11d2 d22 22IIWBHVr rrr1222ln4d421RRIrrIRR 由式由式（8-20）可得电缆的自感系数为可得电缆的自感系数为12ln2RRL 一一. 问题的提出问题的提出LIlHd1S2SLIR1S2SLIR对稳恒电流对稳恒电流对对S1面面LIlHd对对S2面面LlH0d矛矛盾盾稳恒磁场的安培环路定理已稳恒磁场的安培环路定理已不适用于非稳恒电流的电路不适用于非稳恒电流的电路二二. 位移电流假设位移电流假

12、设非稳恒电路中，在传导电流中断处必发生电荷分布的变化非稳恒电路中，在传导电流中断处必发生电荷分布的变化t/qIdd极板上电荷的时间变化率等于传导电流极板上电荷的时间变化率等于传导电流 4 电磁场电磁场变化磁场变化磁场产生感生电场产生感生电场变化电场变化电场产生磁场产生磁场电荷分布的变化必引起电场的变化电荷分布的变化必引起电场的变化 t t)(tI)(tI tD电位移通量电位移通量DSDS tDD SttD tqDDIttqIdddd电位移通量的变化率等于传导电流强度电位移通量的变化率等于传导电流强度位移电流位移电流( (电场变化等效为一种电流电场变化等效为一种电流) )SDDSDttIdddd

13、d一般情况位移电流一般情况位移电流StDSd(以平行板电容器为例以平行板电容器为例)位移电流与传导电流连接起来恰好构成连续的闭合电流位移电流与传导电流连接起来恰好构成连续的闭合电流IRDI麦克斯韦提出全电流的概念麦克斯韦提出全电流的概念位移传导全III(全电流安培环路定理全电流安培环路定理)在普遍情形下，全电流在空间永远是连续不中断的，并且在普遍情形下，全电流在空间永远是连续不中断的，并且构成闭合回路构成闭合回路LIIIlH位移传导全dSStDId传导麦克斯韦将安培环路定理推广麦克斯韦将安培环路定理推广若传导电流为零若传导电流为零LlHdSStDd变化电场产生磁变化电场产生磁场的数学表达式场的

14、数学表达式Dj位移电流位移电流 密度密度三三. 位移电流、传导电流的比较位移电流、传导电流的比较1. 位移电流具有磁效应位移电流具有磁效应tIDddB与传导电流相同与传导电流相同2. 位移电流与传导电流不同之处位移电流与传导电流不同之处(1) 产生机理不同产生机理不同(2) 存在条件不同存在条件不同位移电流可以存在于真空中、导体中、介质中位移电流可以存在于真空中、导体中、介质中3. 位移电流没有热效应，传导电流产生焦耳热位移电流没有热效应，传导电流产生焦耳热例例 设平行板电容器极板为圆板，半径为设平行板电容器极板为圆板，半径为R ，两极板间距为，两极板间距为d,用缓变电流用缓变电流 IC 对电

15、容器充电对电容器充电CIR1P2P解解 任一时刻极板间的电场任一时刻极板间的电场0E0D 极板间任一点的位移电流极板间任一点的位移电流tDjDt 2 RIC由全电流安培环路定理由全电流安培环路定理SLCStDIlHdd1P2PCIrH1121012 rIBC222 rH22022rRIBCDIDjr22求求 P1 , ,P2 点处的磁感应强度点处的磁感应强度例例 电荷电荷 +q 以速度以速度 v 向向O点运动。在点运动。在O点处作一半径为点处作一半径为 a 的圆，的圆，圆面与速度方向垂直。圆面与速度方向垂直。求求 通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强

16、度磁感应强度？qavrSDSDd解解 在任一时刻，穿过圆面的电位移通量在任一时刻，穿过圆面的电位移通量球冠DS24 rqrh2)cos1 (2rrq)1 (222axxqxv322ddrqatIDDPODLDIlHd由全电流安培环路定理由全电流安培环路定理aH 2DI34 raqHv24sinrqv运动电荷的磁场运动电荷的磁场四四. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组1. 电场的高斯定理电场的高斯定理SiqSDd)d(VVSSDd0iq2. 磁场的高斯定理磁场的高斯定理SSBd000SSDDd)(21SSBBd)(21静电场是有源场、感应电场是涡旋场静电场是有源场、感应电场是涡旋场0dSSB传导电流

17、、位移电流产生的磁场都是无源场传导电流、位移电流产生的磁场都是无源场3. 电场的环路定理电场的环路定理LlEd0SStBdStBtlESLdddd 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律4. 全电流安培环路定理全电流安培环路定理LlHdiISStDdSLd)(dSjlHtDLlEEd)(21L21d)(lHH静电场是保守场，变化磁场可以激发涡旋电场静电场是保守场，变化磁场可以激发涡旋电场传导电流和变化电场可以激发涡旋磁场传导电流和变化电场可以激发涡旋磁场四个方程称为麦克斯韦方程组的积分形式四个方程称为麦克斯韦方程组的积分形式. .麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组能完全描述电磁场的动力学过程能完全描述

18、电磁场的动力学过程 例题例题10-6 一平行板电容器的两极板都是半径为一平行板电容器的两极板都是半径为5.0 cm5.0 cm的圆的圆导体片。设充电后电荷在极板上均匀分布，两极板间电场强导体片。设充电后电荷在极板上均匀分布，两极板间电场强度的时间变化率为度的时间变化率为dE/dt= 试求试求：(1)(1)两两极板间的位移电流极板间的位移电流I Id d；(2)(2)两极板间磁场分布和极板边缘处两极板间磁场分布和极板边缘处的磁场。的磁场。-1-113smV100 . 2 解解：(1)(1)两极板间的位移电流为两极板间的位移电流为 SStERStDttIdddddddddd20DdSD A4 . 1100 . 2100 . 514. 31085. 8132212dI(2)2)在垂直于该轴的平面上，取轴上一点为圆心，以在垂直于该轴的平面上，取轴上一点为圆心，以r r为半径为半径的圆作为积分环路。根据对称性，在此积分环路上磁场的圆作为积分环路。根据对称性，在此积分环路上磁场B B的大的大小相等