第14章拉氏变换

1、第14章 拉普拉斯变换14.1 拉普拉斯变换14.2 常用函数的拉普拉斯变换14.3 拉普拉斯变换的基本性质14.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型14.6 拉普拉斯变换法分析电路14.7 网络函数14.8 网络函数的极点和零点14.4 拉普拉斯反变换本章重点本章重点.常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质.复频域中的电路定律.运算阻抗和运算导纳.拉普拉斯变换法分析电路的动态响应.网络函数.14.1 14.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数数f(t)与复变函数与复变函数F(s)联系起

2、来，把时域问题通过数学变换联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。频域分析法，又称运算法。1. 1. 拉氏变换法拉氏变换法例例一些常用的变换一些常用的变换 对数变换对数变换乘法运算变换为加法运算 相量法相量法时域的正弦运算变换为复数运算拉氏变换拉氏变换F(s)(频域象函数频域象函数)对应对应f(t)(时域原函数时域原函数)ABBAABBAlglglg IIIiii2121 相量正弦

3、量2、拉氏变换、拉氏变换(Laplace transformation)的定义的定义象函数象函数(transform function) F(s) 原函数原函数(original function) f(t) t 0, )时域时域(time domain)复频域复频域 (complex frequency domain) j s复频复频 率率 (complex frequency)ttfsFstde )()(0 正正变变换换 de )(j21)(jjssFtfst 反反变变换换拉氏变换对拉氏变换对(Laplace pairs)一一 一对应一对应记号记号Lf(t)表示取拉氏变换表示取拉氏变换L-

4、1 F(s)表示取拉氏反变换表示取拉氏反变换定义式定义式(Laplace transformation)(inverse Laplace transformation)注意 积分域积分域积分下限从积分下限从0 开始，称为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换 。积分下限从积分下限从0 + 开始，称为开始，称为0 + 拉氏变换拉氏变换 。今后讨论的均为今后讨论的均为0 拉氏变换。拉氏变换。0 ,0区间区间 f(t) =(t)时此项时此项 0 象函数象函数F(s) 存在的条件：存在的条件：tetftetftetfsFstststd)(d)( d)()(0000tetfstd )(0000如果存在有限常数如

5、果存在有限常数M和和 c 使函数使函数 f(t) 满足：满足： 则则f(t)的拉氏变换式的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一总存在，因为总可以找到一个合适的个合适的s 值使上式积分为有限值。值使上式积分为有限值。下 页上 页 象函数象函数F(s) 用大写字母表示用大写字母表示, ,如如I(s)，U(s)原函数原函数f(t) 用小写字母表示，用小写字母表示， 如如 i(t), u(t)返 回), 0 )(tMetfcttMetetftctdd)(0)s (s0csM 0e1stststatatdeee L0 0)(e1 tasasas 1 0e )()(Ldtttst 0de0tst)(

6、)(. 1ttf )(e)(. 2ttfat j1e Lj st 0de )()(Ltttst )()(. 3ttf 00d)(tt = 1s1 14. .2 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换0elim stnttnttf )(. 4tttstnndeL0 stnst ed0nststntsstdee00 ttsnstnde01 LL1 nntsnt21L1stn 当当322L2stn 当当1!L nnsnt得得依次类推，依次类推，14.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质一、线性一、线性(linearity)性质性质)()(L, )()(L2211sFtfsFtf 若

7、若)()(L21tfbtfa 则则)()(21sbFsaF 证证)()( L 2211tfAtfAtetfAtfAstd )()(02211tetfAtetfAststd)(d)(022011)()(2211sFAsFA 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。相乘及加减计算。结论j1j1j21 SS22 S)ee (j21Ljjtt SA )11( ssAL A例例1)e1(L tA 例例2sinL t 例例3二、原函数的微分

8、二、原函数的微分(differentiation)0()(d)(dL fssFttfsin1022 tss 22 ss)(sindd1LcosLttt )(Lt )(ddLtt 1)(10 tss )()(LsFtf 设设：例例1例例2)0()(d)(dL)(101 knkknnnnfssFsttf三、原函数的积分三、原函数的积分(integration)(1)(L0sFsdft L t21)(Lsst )(L0 td )()(LsFtf 设设：例例四、时域平移四、时域平移(time shift)(e)()(L000sFttttfst )()(LsFtf 设设：f(t) (t-t0)tt00t

9、f(t-t0) (t-t0)t00f(t) (t)t0f(t) (t)f(t-t0) (t-t0)平移平移f(t) (t-t0)不是平移不是平移例例1 求图示函数的拉氏变换式求图示函数的拉氏变换式)()()(Ttttf sTsssF e11)()()()(Tttttf )()()()()(TtTTtTttttf sTsTsTsssF ee11)(22例例2 求图示函数的拉氏变换式求图示函数的拉氏变换式1Ttf(t)0TTf(t)0五、五、 复频域平移复频域平移(frequency shift)()(e L sFtft)()(LsFtf 设设：cose Ltt 22)( ss2)(1 seLtt

10、 sine Ltt 22)( s例例1例例2例例3六、尺度特性六、尺度特性)(1)(LaSFaatf)()(LsFtf 设设：七、初值七、初值(initial-value)定理和终值定理和终值(final-value)定理定理)(lim)(lim)0(0ssFtffst 初值定理初值定理若若Lf(t)=F(s)，且，且f(t)在在t = 0处无冲激，则处无冲激，则存在时存在时)(limtft )(lim)(lim0ssFtfst 终值定理终值定理f(t)及其导数及其导数f (t)可进行拉氏变换，且可进行拉氏变换，且例例111lim)(0 sstst 例例22215)( sssI3)/212/1

11、15(lim)2215(lim)0( sssssissstL1)( 例例3111e1 L)( sssI-t1)111(lim)(0 ssstist返回目录返回目录14.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换一、由象函数求原函数一、由象函数求原函数(1)利用公式利用公式0de )(j21)(jj tssFtfst (2)经数学处理后查拉普拉斯变换表经数学处理后查拉普拉斯变换表)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 象函数的一般形式：象函数的一般形式：)( )()()(11011021mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm 二、将二、将F(s)进行部分分

12、式展开进行部分分式展开(partial-fraction expansion)f(t)=L-1F(s)较麻烦较麻烦nsssF，有不等实根有不等实根120)(. 1 nnssksskssksF 2211)( nitsiiktf1e)(1)()(11sssFssk 2)()(22sssFssk nssnnsFssk )()()(1ss )(1ss )(1ss )(1ss 等式两边同乘等式两边同乘(s-s1)=0)()()(lim211sFsFsssFissi )()(21iisFsF )()(21iiisFsFk ki也可用也可用分解定理分解定理求求 nitsiiisFsFtf121e)()()(

13、)()(lim21sFsssFkissii nniissksskssksFsFsF 1121)()()()(iss )(iss )(iss )(iss 等式两边同乘等式两边同乘(s-si)(iss ，应用洛比达法则求极限，应用洛比达法则求极限0021321 sksksk5 . 2)(01 SssFk0e5 . 1e55 . 2)(2 ttftt)2)(1(52 sssss例例1)23(5)(22 ssssssF5)1)(12 SssFk5 . 1)2)(23 SssFk例例252)(2 ssF用分解定理用分解定理0e7e3e)()(e)()()(3233 -s2122 -s21 tsFsFsF

14、sFtftttt6554)(2 ssssF)()(21iiisFsFk 3221 ss21122 ss0ee2)(2)(2 tttftt )2)(1(32 sss例例323772)(22 sssssFm n，用长除法，得，用长除法，得有有共共轭轭复复根根)(. 22sF jskjsksF 21)(k1 , k2也是一对共轭复数也是一对共轭复数)eeee()()j(j)j(jttkktf ee e)( j)( j tttk0)cos(e2 ttkt js 2, 1假设只有两个根假设只有两个根 jkke1 jkk e2可据前面介绍的两种方法求出可据前面介绍的两种方法求出 k1 , k2设设52)(

15、2 ssssF2j11 s6 .26559. 041j2124 j22j1222j11 Sssk6 .26559. 041j2124 j22j1222j12 Sssk)6 .262cos(e559. 02)( ttft0)6 .262cos(e12. 1 ttt例例2j12 s法一：法一：部分分式展开，求系数部分分式展开，求系数法二：法二：522 sss22222)1(12)1(1 sss02sine212cose)( ttttftt0)6 .262cos(e12. 1 ttt即即222)1( ss将将F2(s)改写为改写为(s )2 + 2222)1(11 ss有有相相等等的的实实根根（重重

16、根根）)(.32sF21211211)()()()(sskssksssFsF 1)()(212SSsFssk 1)()(dd211SSsFsssk 21121)()(kssksssF 等式两边乘等式两边乘21)(ss 0ee)(1121 ttkktftsts221)1()1( SkSk2)1(52)( sssF3)1()1(521222 Ssssk2)52(dd11 Sssk0e3e2)( tttftt例例132322221)2()2()2( sksksk32)2(22)( ssssF例例22)2()2(42233223 Sssssk等式两边乘等式两边乘3)2( s23222213)2()2(

17、)2)(kskskssF 122dd21)2()2()22(dd21223322221 sssssssssk0ee2e)(2222 ttttfttt2)22()2()2(22dd2233222 sSssssssk22213)2(2)2)(ddkskssFs 32)2(2)2(2)2(1)( ssssF23222213)2()2()2)(kskskssF 213222)2)(ddkssFs )()(1110nmmmssasasasF nnnnsskssksskssksF)()()()(111121211 一般多重根情况一般多重根情况1)()(1SSnnsFssk 1)()(dd11SSnnsFs

18、ssk 1)()(dd211222SSnnsFsssk 1)()(dd)!1(11111SSnnnsFsssnk 返回目录返回目录一、电路元件的运算形式一、电路元件的运算形式(operator form)电阻电阻Ru = R i)()(sGUsI )()(sRIsU 14.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型复频域中的电路定律、电路元件与模型+ u - -i(t)R+ U(s) - -I(s)R取拉氏变换取拉氏变换电感电感LtiLuLLdd )0()()0()()( LLLLLLissLIissILsUsisLsUsILLL)0()()( iL+ uL -L+ - -sL)0( LLiUL(

19、s)IL(s)- -+取拉氏变换取拉氏变换)0(d10 LtLLituLisL+ - -UL(s)IL(s )siL/ )0( 电容电容C susIsCsUCCC)0()(1)( )0(d10 CtCCutiCu)0()()( CCCCussCUsI+ uC -iCIC(s)1 1/ /sCuC(0-)/sUC(s)+-+ 1 1/ /sCCuC(0- -)IC(s)UC(s)-+取拉氏取拉氏变换变换tuCiCCdd tiMtiLutiMtiLudddddddd12222111 )0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsISLSUMissMI

20、iLsISLSU互感互感M 取拉氏取拉氏变换变换ML1L2i1i2+u1- -+u2- -+U2(s)- -+- -I1(s)sL1sL2sM+-+ - - -U1(s)I2(s)0(11 iL)0(22 iL)0(1 Mi)0(2 Mi+-1211uuRiu )()()()(1211sUsURsIsU 受控源受控源+- -U1(s)+- - RI1(s)U1(s)+- -U2(s)+u1- -+u2- -Ri1 u1+- -二、电路定律的运算形式二、电路定律的运算形式 0 KVL 0 KCL ui 0)(sU 0 )( sI ttiCtiLiRu0d1dd)(1)()()(sIsCssLIR

21、sIsU +u- -iRLC设电路无初始储能设电路无初始储能+U(s)- -I(s)RsL1/sC)1)(sCsLRsI sCsLRsZ1)( )()()(sIsZsU )()()(sUsYsI )(1)(sZsY 运算形式的欧姆定律运算形式的欧姆定律运算阻抗运算阻抗(operational impedance)运算导纳运算导纳(operational admittance三、运算电路模型三、运算电路模型1. 电压、电流用象函数形式电压、电流用象函数形式2. 元件用运算阻抗或运算导纳元件用运算阻抗或运算导纳3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示电容电压和电感电流初始值用附加电源表示时域电路

22、时域电路0)0( 0)0( LCiuRRLCi1i2E (t)+- -运算电路运算电路RRsL1/sCI1(s)I2(s)E/s+- -uC(0- -) = 25V iL(0- -) = 5A时域电路时域电路t =0 时打开开关时打开开关例例5 2F20 10 10 0.5H50V+- -uC+ - -iL换路后换路后 运算电路运算电路0.5sUC(s)20- -+1/2s25/s2.55IL(s)+- - -解解返回目录返回目录14.6 拉普拉斯变换法分析电路拉普拉斯变换法分析电路步骤步骤 1. 由换路前电路计算由换路前电路计算uC(0- -) , iL(0- -) ；2. 画运算电路模型；

23、画运算电路模型；3. 应用电路分析方法求出待求变量的象函数；应用电路分析方法求出待求变量的象函数；4. 反变换求原函数。反变换求原函数。V100)0( Cu已知：已知：t = 0时闭合时闭合S，求，求iL，uL。例例1200V30 0.1H10 - -uC+1000 FiL+-uL+-SA5)0()1( Li(2) 画运算电路画运算电路ssL1 . 0 sssC1000101000116 V100)0( Cu200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-解解 )3(回回路路法法221)200()40000700(5)( sssssI5 . 0200)(10)1

24、 . 040)(21 ssIssIssIssI100)()100010()(1021 )(1sI)(2sI200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-)(lim)0()0(1ssFiisL 5200400)40000700(5lim222 sssss)(lim)()(01ssFiisL 5200400)40000700(5lim2220 sssss2222111)200(200)( sKsKsKsI(4)反变换求原函数反变换求原函数221)200()40000700(5)( sssssI校核初值和终值校核初值和终值01)( SssFK5200400)4000

25、0700(50222 Sssss1500)200)(200222 SssFK2222111)200(200)( sKsKsKsI0)()200(dd200221 SsFssK21)200(1500)200(05)( ssssI0A)e15005()()(2001 tttititL5 . 0)()(1 sLsIsUL2)200(30000200150 ss0Ve30000e150)(200200 tttuttL要考虑初值要考虑初值思考：思考：uL是哪两端是哪两端 的电压？的电压？200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-UL(s)+-111)( sCRsCR

26、sUC)1(11RCsCRCsR 1)()( RsCRsCsCsUsICC)1(11RCsRC 例例2 求图示电路的单位冲激响应求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC (t) 。RCuC (t)iC+- -R1/sCUC(s)1IC(s)+- -tuC(V)C10tiCRC1 )(t )0(e1/ tCuRCtC)0(e1)(/ tRCtiRCtC 返回目录返回目录14.7 网络函数网络函数(network function)一、定义一、定义零状态零状态零状态零状态)()()(L)(L)(sEsRtetrsH def单个独立源作用的线性网络单个独立源作用的线性网络零零 状状态态e(t)r(t

27、)E(s)R(s)(转移函数转移函数(transfer function)()()(SsUsUsHC sCRsC11 11 RsCRC+_+_uS例例uCR1/sC+_+_US(s)UC (s)网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关；网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关；网络函数是实系数的有理函数。网络函数是实系数的有理函数。1. 驱动点函数驱动点函数)()()(sIsUsZ )()()(sUsIsY 驱动点阻抗驱动点阻抗驱动点导纳驱动点导纳2. 转移函数转移函数(传递函数传递函数)()()(12sUsIsH )()()(12sIsUsH )()()(12sUsUsH )()()

28、(12sIsIsH 转移导纳转移导纳转移阻抗转移阻抗转移电压比转移电压比转移电流比转移电流比二、网络函数的具体形式二、网络函数的具体形式U(s)I(s)+-U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-三、单位冲激响应与网络函数的关系三、单位冲激响应与网络函数的关系零状态零状态 (t)h(t)(L)(L)(L)(thtthsH )(L)(1sHth e(t)r(t)()(sHth)()()(sHsEsR )(L)(1sRtr 若单位冲激响应若单位冲激响应h(t)已知，则任意激励已知，则任意激励e(t)产生的响应产生的响应r(t)可求。可求。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对返回目录返回目录14.8 网络函数的极点网络函数的极点(pole)和零点和零点(zero)一、复频率平面一、复频率平面 j j s)()()()()()()(110nmPsPsZsZsHsDsNsH 为为零零点点，则则称称时时若若mjZZsHZs 10)(为极点为极点，则称，则称时时若若niPPsHPs 1)(在复