参赛队员选拔与组队问题

1、我校数学建模竞赛参赛队员选拔与组队 摘要全国大学生建模竞赛参赛队员的的选拔是赛事成败的关键，本文所建立的模型正是为了解决如何选拔优秀参赛队员实现合理组队并达到获奖最优化的问题。首先对于题目所给信息进行合理量化，使数据简单明了，便于模型建立。其次，分析如何选拔队员分两个阶段：第一，运用层次分析法，建立层次结构模型，得出25名学生的综合能力排名，从而筛选出18名优秀学生参赛；第二，根据最佳组队原则，考虑队员之间各项指标的互补性，使该队三人各项权重达到最大，最大限度的保证获奖等级最高，并建立动态规划模型，结合计算机软件编程，实现最优组合，使获奖组数最多，进而得出科学合理的组队方案，关键词：层次分析法

2、 比重 最优分组 动态规划一问题重述全国大学生数学建模竞赛是由教育部发起的18项大学生创新训练项目之一，是高等院校的重要赛事。我校每年都会有一定数量的学生参加此项赛事，并取得了一定的成绩。在一年一度的竞赛活动中，任何一个参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队问题，这本身就是一个最实际而且是首先需要解决的数学模型问题。假设我校本部选拔队员主要参考如下三个环节：（1）校数学建模公选课成绩；（2）校内数学建模竞赛成绩；（3）按照一定的准则，教师组对每个学生的某些能力和素质给出一个等级评分。（具体数据见附录表1）。现有25名学生准备参加竞赛，根据上述参考的三个环节选出18名优秀学生分别组

3、成6个队，每个队3名学生去参加比赛。假设在竞赛中不考虑其他随机因素的影响，所有队员竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件，并且参赛队员都能正常发挥自己的水平。请研究下列问题：1假设环节（3）中各项能力在综合评价中地位等同，按择优录取原则，在25名学生中选择18名优秀队员参加竞赛。2根据你的理解与认识，给环节（3）中各能力素质在数学建模竞赛中的重要性排序。在考虑重要性排序的情况下，给出问题1中18名队员的组队方案，使获奖最大化。二基本假设1.假设表一给的数据绝对真实。2.假设每位参赛选手在比赛中都能正常发挥自己的水平。3.假设学生各项能力在组队中对整体水平的影响程度一致，各队的发挥是相互独立的

4、。4.假设阅卷老师的评判客观公正。三符号说明1. 最大特征值2. 一致性指标3. 随即一致性指标4. 一致性检验指标5. 准则层对目标层的特征向量6. 方案层对准则层的特征向量7. 方案层对目标层的特征向量8.，. 25名学生的编号9., 分别对“一年一度的大学生数学建模”成绩的一等奖，二等奖，三等奖进行量化得到的代号 10. 队员x的第i项水平指标四模型分析4.1 问题1的分析我校本部选拔队员主要参考如下三个环节：（1）校数学建模公选课成绩；（2）校内数学建模竞赛成绩；（3）按照一定的准则，教师组对每个学生的某些能力和素质给出一个等级评分。假设环节（3）中各项能力在综合评价中地位等同，按择优

5、录取原则，在25名学生中选择18名优秀队员参加竞赛，根据这些条件首先把表1进行数据量化，再用层次分析法选出18名优秀参赛队员。4.2 问题2的分析针对问题二，首先需确定最佳的组队，使整体竞赛技术水平最高，这显然要考虑队员之间各项指标的互补性，让该队在所有的指标中都占最大的权重，也就是找到三人让其各项权重达到最大值。其次，在保证最佳组队的前提下，考虑另外的15名队员组成5个队并使6各队的整体技术水平最高，进而最大可能性的使得在奖项等级最高的前提下获奖组数最多，实现科学合理的组队。五模型的建立与求解5.1 问题1的模型建立与求解题目要求从25名学生中选择18位参赛者，根据这25位学生的各项指标可知

6、，该问题是一个多目标决策问题，我们主要采用层次分析法，运用软件编程计算出各个指标对所有被筛选队员所占的权重，以及各队员对各指标的权重，最终根据这些权重进行排名，选择前18名参加比赛。首先我们将各个指标量化，有如下的原则：数学建模课校内赛名次按百分记，一、二、三，成功奖分别记为100、95、90、85；创新能力，编程能力，专业知识面，写作能力的A,B,C,D等级分别按100、95、90、85分表示。表（1）25名学生量化分数表学生数学建模课成绩数学建模校内赛名次教师组对学生各类能力及素质的等级评分创新能力编程能力专业知识面写作能力S19590100959590S2939595959595S393

7、95958510090S4921001009510095S591951001009595S690100951009090S79095100909590S88990959595100S9889590959095S10858595909585S1184951001008595S128390909510090S1383909510010095S1480100959085100S15808590959590S16791001009090100S17789090958595S18789095959090S19779095909090S20778590958590S217795951009090S2275

8、8585909085S23759090909595S24748585859085S257390851009595其次运用层次分析法，将从25名学生中选拔18名优秀学生看成一个目标，作为目标层。由于假设环节（3）中各项能力在综合评价中地位等同，因此我们将缓解3中的各项指标进行平均，使平均值作为一个新的指标与其他环节的指标一起作为准则层，将最终选拔优秀队员的方案作为方案层。整理后的量化表如下图所示：表（2）学生编号数学建模课成绩数学建模校内赛名次学生各类能力及素质的等级评分平均值S1959095.00S2939595.00S3939592.00S49210097.50S5919597.50S690

9、10093.75S7909593.75S88910096.25S9889592.50S10859091.25S11849595.00S12839093.75S13839097.50S148010092.50S15808592.50S167910095.00S17789091.25S18789092.50S19779091.25S20778590.00S21779593.75S22758587.50S23759092.50S24748586.25S25739093.75下面采用层次分析法进行筛选层次结构图如下：由题中所给条件可知，选择队员根据的三项条件是依次排列的，我们假设准则层的三项指标依次递

10、减，因此，确定对比矩阵为求出矩阵A的最大特征根为（运用软件进行编程，详见附录二）。相应的特征向量并作归一化为(运用软件进行编程，详见附录三）。随机一致性的指标为,根据一致性指标公式，得,则一致性比例指标为，因此，比较矩阵A是合理的。我们可以用所给数据构造方案层对准则层的对比矩阵,由于所给数据真实，所有的均为一致矩阵。由一致矩阵的性质可知：的最大特征值=N，=0，任一列向量都是的特征向量，将其归一化可得对的权重向量。记作，记为层对层的权重,且一致性比率指标为,表（3）为层的特征向量：表（3）P-CC1C2C3PA10.0456950.039130.040773PA20.0447330.04130

11、40.040773PA3O.0447330.0413040.0397PA40.0442520.0434780.041845PA50.0437710.0413041.041845PA60.043290.0434780.040236PA70.043290.0413040.040236PA80.0428090.039130.041309PA90.0423280.0413040.0397PA100.0408850.0369570.039163PA110.0404040.0413040.040773PA120.0399230.039130.041845PA130.0399230.039130.04184

12、5PA140.038480.0434780.0397PA150.038480.0369570.0397PA160.0379990.0434780.040773PA170.0375180.039130.039163PA180.0375180.039130.0397PA190.0370370.039130.039163PA200.0370370.0369570.038627PA210.0370370.413040.040236PA220.0360750.0369570.037554PA230.0360750.039130.0397PA240.0355940.0369570.037017PA250.

13、0351130.039130.040236由于标准层C对目标层O的权重为，方案层P对标准层C的权重为，则P对O的权重为：=*其组合一致性比率指标为因此，组合权重可以作为目标决策的依据，根据权重，我们可以得到25名学生的排序结果如下表所示：表（4）学生编号WA1WA2WA3W1W2W3学生综合能力S40.0442520.0434780.0418450.61540.25710.12750.043746S10.0456950.039130.0407730.61540.25710.12750.04338S20.0447330.0413040.0407730.61540.25710.12750.0433

14、47S3O.0447330.0413040.03970.61540.25710.12750.04321S60.043290.0434780.0402360.61540.25710.12750.042949S50.0437710.0413041.0418450.61540.25710.12750.170391S70.043290.0413040.0402360.61540.25710.12750.04239S90.0423280.0413040.03970.61540.25710.12750.04173S80.0428090.039130.0413090.61540.25710.12750.04

15、1672S110.0404040.0413040.0407730.61540.25710.12750.040682S130.0399230.039130.0418450.61540.25710.12750.039964S140.038480.0434780.03970.61540.25710.12750.039921S160.0379990.0434780.0407730.61540.25710.12750.039761S120.0399230.039130.0418450.61540.25710.12750.039964S100.0408850.0369570.0391630.61540.2

16、5710.12750.039656S210.0370370.0413040.0402360.61540.25710.12750.038542S150.038480.0369570.03970.61540.25710.12750.038244S180.0375180.039130.03970.61540.25710.12750.038211S170.0375180.039130.0391630.61540.25710.12750.038142S190.0370370.039130.0391630.61540.25710.12750.037846S230.0360750.039130.03970.

17、61540.25710.12750.037323S200.0370370.0369570.0386270.61540.25710.12750.037219S250.0351130.039130.0402360.61540.25710.12750.036799S220.0360750.0369570.0375540.61540.25710.12750.03649S240.0355940.0369570.0370170.61540.25710.12750.036126由上面的表格可以看出，学生17,19,20,22,23,24,25的排名靠后，所以去除这7位同学,选择其他18位同学参加比赛。5.2

18、 问题2的模型建立与求解 由题目已知及假设可得，准则层的六项指标依次递减，并认为相邻两项的差距不大，于是两两对比得如下比较矩阵：这里我们用和法来计算，以下为步骤：将的每一列向量归一化得将按行求和得将归一化得 为近似特征向量；计算最大特征值；由以上公式计算可得最大特征值。特征向量 根据一致性指标公式 可得：一致性指标CI随机一致性指标可根据表（2）查得：。表（2） 随机一致性指标的值N234567891011RI00.580.91.121.241.321.411.451.491.51根据公式得到随机一致性比率：,比较矩阵具有满意的一致性，所以通过一致性检验。根据问题所给的条件和模型的假设，队员的

19、各项条件充分地反映了每个队员的能力和水平，因此，可以利用每个队员的各项条件的比构造相应的比较矩阵,设为准则层（项条件），记，则的比较矩阵为，且均为一致阵（。由于（k=1,2,.6）的非零特征值为=18，相应的特征向量取第一列向量，即 此与向量仅差一个比例常数，显然也是的特征向量将的特征向量归一化分别可以得到方案p层对准层的权重，计算结果如下图表（5）所示：P-WW1W2W3W4W5W6S10.0612903230.0534124630.0579710140.0557184750.0563798220.053731343S20.060.0563798220.0550724640.05571847

20、50.0563798220.056716418S30.060.0563798220.0550724640.0498533720.0593471810.053731343S40.0593548390.0593471810.0579710140.0557184750.0593471810.056716418S50.0587096770.0563798220.0579710140.0586510260.0563798220.056716418S60.0580645160.0593471810.0550724640.0586510260.0534124630.053731343S70.05806451

21、60.0563798220.0579710140.0527859240.0563798220.053731343S80.0574193550.0534124630.0550724640.0557184750.0563798220.059701493S90.0567741940.0563798220.0521739130.0557184750.0534124630.056716418S100.054838710.0504451040.0550724640.0527859240.0563798220.050746269S110.0541935480.0563798220.0579710140.05

22、86510260.0504451040.056716418S120.0535483870.0534124630.0521739130.0557184750.0593471810.053731343S130.0535483870.0534124630.0550724640.0586510260.0593471810.056716418S140.0516129030.0593471810.0550724640.0527859240.0504451040.059701493S150.0516129030.0504451040.0521739130.0557184750.0563798220.0537

23、31343S160.0509677420.0593471810.0579710140.0527859240.0534124630.059701493S180.0503225810.0534124630.0550724640.0557184750.0534124630.053731343S210.0496774190.0563798220.0550724640.0586510260.0534124630.053731343由假设知，每个队中有三个队员之间具有互补性，即三个人中各单项水平标的最高者为该队的单项水平指标，最佳组队主要体现全队在各单项水平指标最高，不应有某项水平指标比其他的队低。由权重

24、可知，六项准则是按顺序依次排列的，对目标决策的影响是不同的。设表示队员x的第i项水平指标，表示由队员x,y,z组队（x,y,z）的第i项水平指标，则令，于是用表示由三人所组成的队的整体技术水平指标，最佳组队是从18名队员中选出使最高.根据组队原则，最佳组队中的队员一定是前四项水平最高者，显然，由表（4）可得为最高，于是所以队员是首先入选的队员，其次=,而而,所以,则队员4是第二个入选的队员另外而,而,所以选择的第三个队员为队员。由此可知队员所组成的队技术水平指标最高，所以，最佳组队为根据每个队员的各项水平指标表（5）和上面的假设及组队原则，假设该问题是在保证最佳队不变的前提下，考虑另外15名队

25、员组成5个队使6个队整体技术水平指标最高。首先，注意下面的基本事实：最佳组队决策方案中的每个队对目标O层的权重一定不小于全体队员对目标层权重的几何平均值，否则其组队方案就不可能是最佳的；三名队员的技术水平指标可以互补，技术水平最高者为该队的水平指标由表-4，按（k=1,2,.6）计算可求出几何平均值，且 任取三名队员x,y,z组合为一个队（x,y,z）,将对决策目标的权重定为该队的技术水平指标，即v（x,y,z）=,此处M=（），其中六个分量分别为（x,y,z）对准则层C层的权重，如果v(x,y,z)W,则对应的（x,y,z）就可能是一个组队，最后我们在所有队员的组合中确定出六个组队方案，使每

26、组技术水平指标之和最高用动态规划的方法，分决策过程为5 个阶段，按组队的原则完成，在除了队员S1、S4、S4外的15 名队员中组成5 个队， 每一阶段确定一个队。决策变量：，k=1,2,3,4,5；状态变量：Sk=(k=1,2,3,4,5)即从第k(1k5)个到第5个组队的组队方案所包含的队员，其中S1=x1,x2,x15；状态转移方程：，k=1,2,3,4；允许决策集合：=(x、y、z):x、y、z,(x、y、z)W,k=1,2,3,4,5；指标函数：表示决策（一个组队）关于状态的技术水平指标，即=；最优值函数：()表示在状态下确定的k(1k5)个组队的技术水平指标之和的最大值，则由逆序解法的基本方程： ,k=1,2,3,4.动态规划模型的求解在15队员中，共有种不同的组合方式，根据组队原则，用编程得到可能的组队方式有448种，分5个阶段求解基本方程。利用计算机首先将448种组合按权重的大小顺序排序，而后通过模