理科附加题第4讲随机变量及其分布列

1、课后自测诊断及时查漏补缺备考不留死角1. 某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3 的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1) 设“选出的2人参加义工活动次数之和为4”为事件A,求事件A发生的概 率；(2) 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布 列和数学期望.解：(1)由已知，有P(A)=盂=彳所以事件A发生的槪率为g(2)随机变董X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0) =cj+cj+g_4 现=0P(X=1) =cicl+cicl a;=_TPCC 4p(x=2)=_ar=i5-所以随机变量X

2、的分布列为X()12P474151515474随机变量X的数学期望E(X)=0X+1X+2X=1.2. 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市凡 已知从城 市E到城市F有两条公路.统计表明：汽车走公路I堵车的概率为讦，不堵车的932概率为诵；走公路II堵车的概率为自不堵车的概率为彳，若屮、乙两辆汽车走公 路【，第三辆汽车丙山于其他原因走公路I【运送水果，且三辆汽车是否堵车相互 之间没有影响.(1) 求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；(2) 求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率.解：记“汽车甲走公路I堵车”为事件A,汽车乙走公路I堵车”为事件3,“汽车丙走公路II堵车”为事件C.(

3、1) 甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的槪率为19919Pi=p(a b)+p( a 5)=joxTo+ToxTo=5o-(2) 甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为Pi = P(ABC)+P(ABC)+P(A BC)+P(ABC)= xx2.xx3 3 1 3 = 9_10 10 5十 10 10 510 10 5十10 10 5_500-3. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽 样的方法从中抽取7人，进行睡岷时间的调查.(1) 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2) 若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3

4、人做进一步的身体检查. 用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数 学期望； 设A为事件“抽取的3人中，既有睡岷充足的员工，也有唾眠不足的员工”， 求事件A发生的概率.解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3 ： 2 ： 2,由于采用分 层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3 人，2人，2人.(2)随机变量X的所有可能取值为0,123.所以 p(x=o)=豊=, p(x=l)=詈=|,clc 18Cj 4P(X=2)=r = 35, P(X=3)=35，所以随机变量X的分布列为X()123P11218435353535随机变量

5、X的数学期望E(x)=ox+ix|+2x|+3x=y.设事件3为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2 人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1 人，则A=BUC,且B与C互斥.由知 P(B) = P(X=2), P(C)=P(X=1),故 P(A)=P(B U C) = P(X= 2)+P(X= 1)=|.所以事件A发生的槪率为号.4. 某排球比赛采用五局三胜制，现按照以下规则进行积分：在比赛中以大比 分3： 0或者3： 1获胜的球队积3分，失败的球队积0分；在比赛中以3：2获胜 的球队积2分，失败的球队积1分.在甲队对乙队的比赛中，每局甲队获

6、胜的概2 1率都为亍 在甲队对丙队的比赛中，每局屮队获胜的概率都为7(1) 求屮队经过两轮比赛后积6分的概率；(2) 已知甲队对丙队的比赛中甲队积2分，求甲队经过两轮比赛后积分r的分 布列和数学期望.解：(1)记“甲队经过两轮比赛后积6分”为事件A, “甲队以大比分3 : 0或 3 : 1胜乙队”为事件艮 “甲队以大比分3 ： 0或3 : 1腔丙队”为事件C.旦=西27 = 27,p(O=c(i)+c(x(i4xi=4故 P(A) = P(B)P(C)寿X詁寺.P(x=2)=cx(l-|x|(2”己甲队对乙队的比赛中甲队的积分为X,则Y=X+2. 由知 P(X=3)=P(B)=看;苗；P(x=

7、 D=c(i-|)2 X (I) X (1_D=普; p(x=o)=c(|Xi -分+C x(lX (1所以X的分布列为X3210P1616812781819故积分X的数学期望为E(X) = 3X黑+2X普+1X普+0乂=罟.184346由 y=X+2,可得 E(Y)=E(X)+2 = +2 = 厂.5. 某高校通过自主招生方式在江苏招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，屮、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中2的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为丁中、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的.(1) 求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；(2) 请从期望和方差的角度来分析，屮、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？解：由题意可得，所求槪率为p=WpxQx|x舟+爭lxc9x(|)ox|#(2)设学生甲答对的题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1) =g, P(X=2)= = |, P(X=3) =CjC? 1 CT=59E(X)=lx|+2x|+3x|=2,D(Y)=(1-2)2x|+(2-2)2x