131　单调性与最大(小)值(1)

1、1.3.1单调性与最大(小)值(1)学习目标：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.合作学习：一、设计问题,创设情境德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,18501909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每

2、次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.时间间隔t0分钟20分钟60分钟89小时1天2天6天一个月记忆量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?二、信息交流,揭示规律记忆量y

3、随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.问题1:如图所示为一次函数y=x、二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?问题2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?问题3:如何理解图象是上升的?问题4:在数学上规定:函数y=x2在区间(0,+)上是增函数.谁能给出增函数的定义?1.

4、增函数的定义问题5:增函数的定义中,把“当x1x2时,都有f(x1)x2时,都有f(x1)f(x2)”,这样行吗?问题6:增函数的定义中,“当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?问题7:类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?2.减函数的定义减函数的几何意义:问题8:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?三、运用规律,解决问题【例1】如图是定义在区间-5,5上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?【例2】物理学中的玻意耳定律p

5、=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.【例3】(1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象;(2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-,1上是增函数;(3)当函数f(x)在区间(-,m上是增函数时,求实数m的取值范围.四、变式演练,深化提高1,已知函数f(x)是R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数;(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.2.(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(3)定义在-4,8上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.3.已知f(x)是定义在(0,+)上的减函数,若f(2a2+a+1)f(3a2-4a+1)成立,则a的取值范围是.五、反思小结,观点提炼1.本节课你有哪些收获?函数的单调性概念明白了吗?常用的判断