第五章静电场

1、1静电场静电场(6)第5章 Static electric fieldElectromagnetic field电电 磁磁 场场2 自然界中只存在两种电荷：正电荷和负电荷。自然界中只存在两种电荷：正电荷和负电荷。 电荷具有最小单元：电荷具有最小单元：e=1.6 10-19C。 在自然界中在自然界中,带电体的电量都是这一最小电量带电体的电量都是这一最小电量e的整的整数倍：数倍： q=Ne 这个特性叫做电荷的这个特性叫做电荷的量子化量子化。 1964年年,盖尔盖尔-曼曼(M.Gell-Mann)预言：更基本的粒预言：更基本的粒子夸克和反夸克的电量应取子夸克和反夸克的电量应取e/3或或2e/3。但我

2、们。但我们至今尚未发现单独存在的夸克。至今尚未发现单独存在的夸克。 电荷间有电力的相互作用：电荷间有电力的相互作用：同号同号电荷电荷相斥相斥,异号异号电电荷荷相吸相吸。5-1 电荷电荷 电力电力3 真空中真空中,点电荷点电荷q1对点电荷对点电荷q2的作用力为的作用力为 r则表示两个点电荷之间的距离。则表示两个点电荷之间的距离。(2)公式中的系数是公式中的系数是SI制要求的。制要求的。22910941 CmNo 221210858mN/C.o 真空的介电常数真空的介电常数5-2 库仑定律库仑定律roerqqF22141 (11-1)q1q2rF图11-1re (1) er 是从点电荷是从点电荷q

3、1指向点电荷指向点电荷q2的的单位矢量单位矢量。 4 一一 .电电 场场 一个电荷要在它的周围产生电场。一个电荷要在它的周围产生电场。5-3 电场和电场强度电场和电场强度 两个电荷之间的相互作用力是通过两个电荷之间的相互作用力是通过电场来进行的。即电场来进行的。即 电场是什么？电场是一种物质。场和电场是什么？电场是一种物质。场和(由基本粒由基本粒子组成的子组成的)实物物质一样，具有能量、动量和质量。实物物质一样，具有能量、动量和质量。场和实物是物质存在的两种基本形式。场和实物是物质存在的两种基本形式。 场和实物物质的主要区别是：实物独占一定的空场和实物物质的主要区别是：实物独占一定的空间；而场

4、总是弥漫在一定的空间内，具有可叠加性。间；而场总是弥漫在一定的空间内，具有可叠加性。 电荷电荷 电场电场 电荷电荷q1q2rF图5-1re5二二.电场强度矢量电场强度矢量E 在静止电荷产生的静电场中的一场点，引入一个在静止电荷产生的静电场中的一场点，引入一个试验电荷试验电荷qo(qo的电量、几何尺度必须很小的电量、几何尺度必须很小), 它受的力它受的力为为F，于是我们定义：该点的电场强度为，于是我们定义：该点的电场强度为 (1)式式(5-2)表明表明,电场中某场点上的电场强度矢量电场中某场点上的电场强度矢量等于置于该点的等于置于该点的单位正电荷单位正电荷所所受的力受的力。 (2)电场强度矢量电

5、场强度矢量E是反映电场性质的物理量，是反映电场性质的物理量，与试验电荷与试验电荷qo无关。无关。oqFE (5-2)6 设源电荷是由设源电荷是由n个点电荷个点电荷q1, q2, qn构成构成,在该电在该电场中试验电荷场中试验电荷qo受的力为受的力为三三.场强叠加原理场强叠加原理 式式(5-4)表示表示:在在n个点电荷产生的电场中某点的电个点电荷产生的电场中某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和电场强度的矢量和,这一结果称为这一结果称为场强叠加原理场强叠加原理。 式中的式中的Ei是电荷是电荷qi单独存在时产生的电场强度。单

6、独存在时产生的电场强度。 niinFF.FFF121(5-3) nioioqFqFE1(5-4) niiE17E 的大小：的大小：24rqEo 若若q0,电场方向由点电荷沿径向指向四周；若电场方向由点电荷沿径向指向四周；若q0,则反向。即点电荷的电场具有球对称性。则反向。即点电荷的电场具有球对称性。四四.场强的计算！场强的计算！1.点电荷点电荷q的电场的电场rooerqqF241 oqFE qr.Pre图5-2(5-5)roerq24 8 由由n个点电荷个点电荷q1, q2, qn产生的电场，可利用点电产生的电场，可利用点电荷场强公式，直接由叠加原理求得荷场强公式，直接由叠加原理求得 3.带电

7、体的电场带电体的电场 对电荷连续分布的带电体对电荷连续分布的带电体,可划分为无限多个电荷可划分为无限多个电荷元元dq(点电荷点电荷), 用点电荷的场强公式积分：用点电荷的场强公式积分：2.点电荷系的电场点电荷系的电场以上内容的学习重点：以上内容的学习重点：用积分的方法求电场。用积分的方法求电场。 niioirireqE124 (矢量和) (5-6) 带带电电体体24redqEor (5-7)9 例题例题5-1 有一均匀带电直线，单位长度上的电量为有一均匀带电直线，单位长度上的电量为 ，求离直线的距离为，求离直线的距离为a的的P点处的场强。点处的场强。 解解 此类题可按下列步骤求解此类题可按下列

8、步骤求解: (1)建立适当的坐标系，如图建立适当的坐标系，如图5-3所示。所示。 (2)将直线分为长为将直线分为长为dx的无限多个电荷元的无限多个电荷元dq= dx(视视为点电荷为点电荷)，并写出一个有代表性，并写出一个有代表性(位置用变量位置用变量x表示表示)的电荷元在的电荷元在P点产生的电场：点产生的电场：24rdxdEo 由于不同位置的电荷元在由于不同位置的电荷元在P点产生的场强点产生的场强dE方向不同方向不同,故应将故应将dE向向x轴和轴和y轴方向投轴方向投影影,于是有于是有(3)分析问题的对称性。分析问题的对称性。dExdEyoPaxy图5-3 xdqdxrdE10dEx=dEcos

9、 (4)统一积分变量统一积分变量,定积定积分限分限,完成积分完成积分,得到所求场得到所求场强分量式强分量式 21cos42xxoxrdxE 21sin42xxoyrdxEr=a/sin , x=-a.ctg ,dx=ad /sin2 )sin(sin412ao 21sin4daEoydEy=dEsin 1 2 21cos4daEox)cos(cos421ao dExdEyoPaxy图5-3 xdqdxrdE11 (1)对无限长带电直线对无限长带电直线, 讨论讨论:aEoy 2, 0 xE)sin(sin412aEox )cos(cos421aEoy 记住！记住！ (2)对平面、柱面等形状对平面

10、、柱面等形状,可利用带电直线公式积分。可利用带电直线公式积分。 1=0和和 2= ；代入得；代入得 1 2dExdEyoPaxy图5-3 xdqdxrdE12 例题例题5-2 求均匀带电的无限大平面外任一点的场求均匀带电的无限大平面外任一点的场强强(设平面单位面积上的电量为设平面单位面积上的电量为 )。 解解 分为若干长直导线积分。分为若干长直导线积分。 由对称性可知，平面外由对称性可知，平面外P点的电场方向是垂直于点的电场方向是垂直于平面向上的平面向上的(即即y方向方向)，所以，所以完成积分得完成积分得:oE 2 (11-8) = .1dx222xadxao dxcos aEo 2 E=2o

11、rdx1xy图11-4oaP.xdxrdEdEE13(匀强电场匀强电场)oE 2 oE 2 E=0E=0OE 2OE 23 oE 2 OE 23 记住无限大记住无限大平面电场！平面电场！+-14 例题例题5-3 一均匀带电一均匀带电Q的圆弧，半径为的圆弧，半径为R、圆心角、圆心角为为 ，求圆心，求圆心o处的电场。处的电场。 解解 由对称性可知，圆心由对称性可知，圆心o点点的电场是沿角的电场是沿角 的平分线的平分线(y轴轴)方方向的。向的。 将圆弧划分为若干电荷元将圆弧划分为若干电荷元dq(点电荷点电荷)，利用点电荷公式积，利用点电荷公式积分：分： 222sin22 RQoE24Ro dQ co

12、sxoy图5-5RdqdEdRoQyxE15 例题例题5-4 一半径为一半径为R的圆环，的圆环，电荷线密度电荷线密度 = ocos , 其中其中 o为为常量常量,求圆心求圆心o点的场强。点的场强。 解解 将圆环分为若干个点电将圆环分为若干个点电荷荷dq积分。积分。 xERoo 4 2020sin4cosRRdEooy 20 Rdocos cos24Ro d R图5-6xyodqdE16 例题例题5-5 一圆环半径为一圆环半径为R、均匀带电、均匀带电q，求轴线，求轴线上一点的场强。上一点的场强。 解解 由对称性可知，轴线上的由对称性可知，轴线上的电场方向是沿轴线向上的。电场方向是沿轴线向上的。r

13、qocos42 即即注意：注意： 任何均匀带电的旋转体任何均匀带电的旋转体(如圆形、球形、柱形如圆形、球形、柱形)用圆环公式积分求电场最为方便。用圆环公式积分求电场最为方便。2/322)(41RxqxEo E 环24rdqo cospoR图5-7xqrdqdEdEE17 例题例题5-6 一均匀带电的薄圆盘，半径为一均匀带电的薄圆盘，半径为R、面电、面电荷密度为荷密度为 ，求圆盘轴线上一点的场强。求圆盘轴线上一点的场强。 解解 分为若干园环积分。分为若干园环积分。图5-8xpE2/322)(41RxxqEo Eo 412/322)(rx x. 2 rdrR01222Rxxo 当当R(xR)时时,

14、oE 2 这正是无限大平面的电场。这正是无限大平面的电场。drrR18 例题例题11-7 一均匀带电的半球面，半径为一均匀带电的半球面，半径为R，电，电荷面密度为荷面密度为 ，求球心，求球心o处的电场。处的电场。 解解 图中圆环产生的电场：图中圆环产生的电场：2/322)(41rzdqzdEo dq= .2 r.Rd z2+r2=R2,z =Rcos 202sin4dEoo2/322)(41RxxqEo Eo 4 o图11-9d zRr19 一一.电场线电场线(电力线电力线) 为了形象地描绘电场在空间的分布为了形象地描绘电场在空间的分布,按下述规定按下述规定在电场中画出的一系列假想的曲线在电场

15、中画出的一系列假想的曲线电场线：电场线： (1)曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向向; (2)通过垂直于电场方向单位面积上的电场线条通过垂直于电场方向单位面积上的电场线条数等于该点电场强度的大小。数等于该点电场强度的大小。 d e 通过通过ds的电场线条数的电场线条数dsdEe (5-9)5-4 高斯定理高斯定理！dsEEE图11-1020(a)正电荷正电荷(b)负电荷负电荷图5-1121静电场电场线的特点：静电场电场线的特点： (1)电场线起自正电荷电场线起自正电荷,止于负电荷止于负电荷,或延伸到无穷或延伸到无穷远处。远处。 (2)电场线电场线不不

16、形成闭合曲线。形成闭合曲线。 (3)在没有电荷处在没有电荷处,两条电场线不会相交两条电场线不会相交,也不会中也不会中断。断。(c)一对等量正电荷一对等量正电荷(d)一对等量异号电荷一对等量异号电荷22 电通量电通量通过电场中任一给通过电场中任一给定曲面的定曲面的电场线总数电场线总数。 二二 .电电 通量通量ds 从图从图11-12可以看出，通可以看出，通过面元过面元dS的电通量和通过投影的电通量和通过投影面面dS的电通量是一样的。因的电通量是一样的。因此通过此通过dS的电通量为的电通量为 上式可以写为上式可以写为dsdEe dSEEdsde cos(5-11)d e=E dS=Edscos (

17、5-10)Eds图5-12ne23 对一个任意曲面对一个任意曲面S(图图5-13), 通过的电通量应为通过的电通量应为(5-12)dSEEdsdecos ssedSEcosEds (5-13)图5-13en24 通过一个封闭曲面通过一个封闭曲面S的电通量的电通量(图图5-14)可表示为可表示为图5-14S 对于闭合曲面对于闭合曲面,规定规定由内向外由内向外的方向为各处面元的方向为各处面元法向的正方向法向的正方向。 由由d e=E dS=Edscos 知知 当电场线从面内当电场线从面内穿出穿出时时, d e 为正为正; 当电场线由面外当电场线由面外穿入穿入时时, d e 为负为负。 因此，式因此

18、，式(5-14)中表示的通过整个中表示的通过整个封闭曲面的电通量封闭曲面的电通量 e,就等于穿出与穿就等于穿出与穿入该封闭曲面的电场线的代数和入该封闭曲面的电场线的代数和(净通净通量量)。 sedSE (5-14)EenEen25 点电荷点电荷q位于一半径为位于一半径为r的的球面中心，则通过这球面的电球面中心，则通过这球面的电通量为通量为24rqo ooqrrq 2244三三 .真空中的高斯定理真空中的高斯定理 球球面面 cosEdSe )s(isoqSdE内内 1(5-15) 球球面面dSErq (a)图5-15球面球面26 对包围点电荷对包围点电荷q的任意形的任意形状的曲面状的曲面S来说来

19、说, 显然显然 如果闭合面如果闭合面S不包围点电荷不包围点电荷q, 如图如图5-15(c)所示所示,则则oqdSE S曲面00 odSE S曲面Erq (b)图5-15球面球面sqE图5-15(c)soiq 27 设封闭曲面设封闭曲面S内内有有n个点电荷个点电荷q1,q2,qn，这就是高斯定理。这就是高斯定理。q1qiqnQ1QjQms图5-15(d) 封闭曲面封闭曲面S外外有有m个个点电荷点电荷Q1,Q2,Qm, 则任一点的电则任一点的电场为场为 mjjniiEEE11 mjsjsnisiedSEdSEdSE11 )s(isoqSdE内内 1oiq ni1+028 (1)高斯定理表明高斯定理

20、表明:在真空中的静电场内在真空中的静电场内,通过任意通过任意封闭曲面封闭曲面(高斯面高斯面)的的电通量电通量等于等于该封闭曲面所该封闭曲面所包围包围的的电荷的电量的代数和电荷的电量的代数和(净电荷净电荷)乘以乘以1/ o倍倍 。 这就是说，通过一任意封闭曲面的电通量完全由这就是说，通过一任意封闭曲面的电通量完全由该封闭曲面所包围的电荷确定该封闭曲面所包围的电荷确定,而与面外的电荷无关。而与面外的电荷无关。 (2)高斯定理表达式左方的场强高斯定理表达式左方的场强E是空间是空间所有电荷所有电荷(既包括封闭曲面内，又包括封闭曲面外的电荷既包括封闭曲面内，又包括封闭曲面外的电荷)共同共同产生产生的场强

21、的矢量和。的场强的矢量和。 (3)高斯定理还表明高斯定理还表明:正电荷是发出电场线的源头正电荷是发出电场线的源头,负电荷是吸收电场线的闾尾。负电荷是吸收电场线的闾尾。 即即:静电场是一个有源场。静电场是一个有源场。 )s(isoqSdE内内 1(5-15)29问题：问题：1.如果高斯面上如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷处处为零，则该面内必无电荷。如果高斯面上如果高斯面上E处处为零，则该面内必无净电荷。处处为零，则该面内必无净电荷。2.如果高斯面内无电荷，则高斯面上如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零。处处为零。如果高斯面内无电荷，则高斯面上如果高斯面内无电荷，则高斯面上E不一定为零

22、不一定为零。3.如果高斯面上如果高斯面上E处处不为零，则该面内必有电荷。处处不为零，则该面内必有电荷。如果高斯面上如果高斯面上E处处不为零处处不为零,则该面内不一定有电荷。则该面内不一定有电荷。4.高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的场强一定为零。场强一定为零。 高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上的场高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上的场 强强不一定处处为零。不一定处处为零。 )s(isoqSdE内内 1(5-15)305-5 高斯定理的应用高斯定理的应用 用高斯定理计算场强的步骤：用高斯定理计算场强的步骤： (1)分析场强分布的对称

23、性，找出场强的方向和分析场强分布的对称性，找出场强的方向和场强大小的分布。场强大小的分布。 (2)选择适当的高斯面，并计算出通过该高斯面选择适当的高斯面，并计算出通过该高斯面的电通量。的电通量。 (3)求出高斯面所包围的电量。求出高斯面所包围的电量。 (4)按高斯定理求出场强。按高斯定理求出场强。 高斯定理大约能求解三类问题：高斯定理大约能求解三类问题： (a)球对称球对称，如均匀带电的球体、球面、球壳。，如均匀带电的球体、球面、球壳。 (b)轴对称轴对称，如均匀带电的长直柱体、柱面。，如均匀带电的长直柱体、柱面。 (c)平面型平面型，如均匀带电的无限大平面、平板。，如均匀带电的无限大平面、平

24、板。31 例题例题5-8 一均匀带电一均匀带电q的球体，半径的球体，半径R，求球内外，求球内外的场强。的场强。 解解 由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。 sEdS cosE.4 r2 内内qo1取半径取半径r的球面为高斯面，的球面为高斯面，由高斯定理由高斯定理R图5-16rr是场点到球心的距离。是场点到球心的距离。 内内qrEo 142于是于是球球对称中的高斯定理可写为对称中的高斯定理可写为24rqEo 内内即即内q是以是以r为半径的球面内电荷的代数和。为半径的球面内电荷的代数和。32rR :qR图5-16r24rqEo 内内33 例题例题5-9 电荷

25、体密度为电荷体密度为 的球体内有一球形空腔，的球体内有一球形空腔，两球心相距两球心相距a,如图如图5-17所示。求空腔中任一点所示。求空腔中任一点P的电的电场。场。 解解 空间任一点的电场可看作是带电空间任一点的电场可看作是带电的两个的两个实心球体电场的叠加。实心球体电场的叠加。+=or1po-r2porE 3由上题的结果，球体内：由上题的结果，球体内：图5-17 aooP34大小：大小：,3oaE 方向：由方向：由o指向指向o 。空腔中任一点空腔中任一点P的电场为的电场为r1-r2aooorE 31 or 32 )(321rro oa 3 +=or1po- r2porE 3 图5-17 ao

26、oP35 例题例题5-10 两同心均匀带电球面，半径为两同心均匀带电球面，半径为R1和和R2，分别带电分别带电q1和和q2, 求空间电场分布。求空间电场分布。 解解 由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。24rqEo 内内;4:221rERrRo 224:rERro q1q1+q2rR1:由球对称中的高斯定理由球对称中的高斯定理24rEo 0=0;R1R2oq1q2图5-1836 例题例题5-11 一带电球体，半径一带电球体，半径R，电荷体密度为，电荷体密度为 = o(1-r/R), o为常量；求为常量；求:(1)球内外的电场；球内外的电场；(2)场场强的

27、最大值及相应的半径。强的最大值及相应的半径。 解解 (1)由高斯定理由高斯定理:rR: E2.4 r2 =,drrRrRoo204)1(1 23212rREoo 内内qrEo 142)1 (Rro343ro 1,rqEo24 内内)1 (Rro drr24 r0R图5-19rdr37 场强最大值出现在球内：场强最大值出现在球内：得得: :32Rr ooRE 9max, 01 drdE由由(2)场强的最大值及相应的半径。场强的最大值及相应的半径。rR: 23212 rREoo R图5-1938 例题例题5-12一均匀带电的无限长直柱体，半径为一均匀带电的无限长直柱体，半径为R，电荷体密度为电荷体

28、密度为 ，求柱内外的场强。，求柱内外的场强。 解解 由对称性知由对称性知,电场方向垂直轴电场方向垂直轴线指向四周线指向四周, 如图如图5-20所示。所示。 scosEdS rlqEos 2 内内即即 选同轴选同轴封闭封闭柱面柱面为为高斯面高斯面, 由高斯定理有：由高斯定理有： 内内soq 1 cosEdScosEdS 側側面面上上下下底底面面lrE 2 底面半径为底面半径为r,高为高为l的的柱面内柱面内电荷的代数和电荷的代数和内sq图5-20RrEo 2 rlE39rR: rRo 22 图5-20RrlErlqEos 2 内内rlEo 2 rlEo 2 lr2 底面半径为底面半径为r,高为高为

29、l的的柱柱 面面 内内电荷的代数和电荷的代数和 内内sqlR2 40 例题例题5-13 两均匀带电的同轴长直柱面，半径两均匀带电的同轴长直柱面，半径R1R2 ,单位长度的带电量分别是单位长度的带电量分别是 ，求电场分布。，求电场分布。 解解rR1: =0R1rR2: =0R1R2+ - 图5-21rlqEos 2 内内rlEo 2 0rlEo 2 l rlEo 2 l )( 41 例题例题5-15 空间的电场分布为空间的电场分布为:Ex=bx ,Ey=0, Ez=0;求图求图11-23中所示的边长为中所示的边长为a的立方体内的净电荷。的立方体内的净电荷。(a=0.1m,b=1000N/(c.m

30、) 解解 高斯定理高斯定理 内内ssoqcosEdS 1 soscosEdSq 内内= o-ba.a2= oba2=8.85 10-12C。取立方体六个面为高斯面取立方体六个面为高斯面,则立方体内的净电荷为则立方体内的净电荷为)( 左左右右上上下下前前后后 cosEdScosEdSo 左左 cosEdSo() 右右 cosEdSaaxyzo图5-23E+b(2a).a2425-6静电场的环路定理静电场的环路定理！ 在点电荷在点电荷q的电场中，的电场中， qo由由a点沿任一路径点沿任一路径L移移到到b点点,电场力对电场力对qo所作的功为所作的功为一一 .静电场的保守性静电场的保守性 环路定理环路

31、定理qrarbabL图5-24qo barroodrrqq24 由此可见由此可见,在点电荷在点电荷q的电场中的电场中,电场力的功只与电场力的功只与路径的起点和终点位置有关路径的起点和终点位置有关,而与路径形状无关。而与路径形状无关。)rr(qqbaoo114 (5-18)dlcos =dr baoEdlq cos baoabdlEqAErdrdl43 在点电荷系在点电荷系q1,q2,qn的电场中，的电场中，qo从从a点沿任一点沿任一路径路径L移到移到b点时，电场力对点时，电场力对qo所作的功为所作的功为 显然，在由点电荷系产生的电场中显然，在由点电荷系产生的电场中,电场力对电场力对qo的的功也

32、与路径无关。功也与路径无关。)rr(qqibiaioio114 )rr(qqAbaooab114 baoabl dEqA baiiold)E(q ibaiol dEq iiEE44 结论结论: 静电力的功静电力的功,仅与路径的起点和终点的位仅与路径的起点和终点的位置有关置有关,而与路径形状无关。而与路径形状无关。 所以所以, 静电场是保守力场。静电场是保守力场。显然显然 在静电场中，在静电场中，电场强度电场强度沿任意闭合路径的线沿任意闭合路径的线积分积分(环流环流)为零为零。 这就是静电场的这就是静电场的环路定理环路定理。 LdlE0(5-21)rr(qql dEqAibiaioiobao11

33、4 45二二 .电势能电势能可见，静电场力的功可写为可见，静电场力的功可写为我们定义：我们定义：wa是是qo在在a点时点时系统系统的电势能的电势能; wb是是qo在在b点点时系统的时系统的电势能。电势能。 可见：可见：电场力的功等于电势能增量的负值。电场力的功等于电势能增量的负值。 baoabl dEqA(5-22)wa-wb=-(wb-wa)rr(qqbaoo114 baoabl dEqA)rr(qql dEqAibiabaioiooab114 点电荷系点电荷系点电荷点电荷46 若取若取b点为电势能的零点点为电势能的零点(零势点零势点),则则qo在在a点的点的电势能为电势能为 上式的意义是：

34、上式的意义是：qo在场中某点在场中某点a的电势能等于将的电势能等于将qo从该点从该点a经任意路径移到零势点时电场力对经任意路径移到零势点时电场力对qo所作所作的功。的功。 baoabl dEqA(5-22)wa-wb=-(wb-wa) 零零势势点点aoaldEqw47三三 .电势和电势差电势和电势差 我们定义：场中我们定义：场中a点的点的电势电势 ：由电势能的定义式：由电势能的定义式： 电场中某点的电场中某点的电势电势等于等于单位正电荷单位正电荷在该点的在该点的电电势能；势能； 也等于也等于将单位正电荷将单位正电荷从该点经过任意路径从该点经过任意路径移到移到零势点时电场力所作的功零势点时电场力

35、所作的功。 零零势势点点aoadlEqw 零零势势点点aoal dEqw 零零势势点点aoaaldEqwV(5-24)48电势差电势差(电压电压)=两点电势之差两点电势之差aaqVw 得得)VV(qAbaab 得得 零零势势点点零零势势点点babadlEdlEVV(5-23)即即 babaldEVVU,dlEqwaoa 零零势势点点由由,ldEqAbaoab 由由49)(baabVVqAaaqVw (1)原则上电势零点可任意选择，视方便而定原则上电势零点可任意选择，视方便而定 。 对有限大小的带电体对有限大小的带电体,规定取无穷远为零势点规定取无穷远为零势点,于是于是 在实际问题中在实际问题中

36、,也常常选大地的电势为零。也常常选大地的电势为零。 (2)电势是相对量，随零势点的不同而不同。而电势电势是相对量，随零势点的不同而不同。而电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。差是绝对量，与电势零点的选择无关。 (3)电势是标量电势是标量,其值可正可负其值可正可负,与零势点的选择有关。与零势点的选择有关。 公公式式小小结结零势点aal dEVbabadlEVV aaldEV(5-25)50 1.点电荷点电荷q场中场中p点的电势点的电势 即点电荷的电势、电场为即点电荷的电势、电场为rqVo 4 (5-26)24rqEo dr图5-25rPq取无穷远为电势零点，由定义式有取无穷远为电势零点，由定义

37、式有rqo 4 r24rqo dldr& 零零势势点点aadlEV aaldEV ppl dEV5-7 电势的计算电势的计算512.点电荷系点电荷系(q1,q2,qiqn)场中的电势场中的电势，Ei 为为qi产生的电场。产生的电场。即即 niiaVV1式中式中: Vi代表第代表第i个点电荷个点电荷qi单独存在时在单独存在时在a点产生点产生的电势的电势。 式式(5-27)表明表明:一个一个点电荷系的点电荷系的电场中任一点的电场中任一点的电势等于每一个点电荷电势等于每一个点电荷单独存在时单独存在时在该点所产生在该点所产生的电势的的电势的代数和代数和。这一结论称作这一结论称作电势叠加原理电势叠加原理

38、。 niioirq14(5-27) iiEE因因 aiaia)ldE(ldEV52 3.带电体电场中的电势带电体电场中的电势 第第一一种方法：将带电体分为许多电荷元种方法：将带电体分为许多电荷元dq(点电点电荷荷)，利用点电荷的电势公式积分，利用点电荷的电势公式积分: 第第二二种方法：按电势的定义式进行计算：种方法：按电势的定义式进行计算： 以上内容的学习重点：以上内容的学习重点：熟练掌握求电势、熟练掌握求电势、电势差及电场力的功的方法。电势差及电场力的功的方法。(用高斯定理求电场用高斯定理求电场) 带带电电体体rdqVo 4(5-28) 零零势势点点aadlEV& aaldEV53)(baa

39、bVVqAaaqVw babadlEVV 零零势势点点aaldEV& aaldEVrqVo 4 54 例题例题5-16 (1)正六边形边长正六边形边长a，各顶点有一点电荷，各顶点有一点电荷，如图如图5-26(a)所示。将单位正电荷从无穷远移到正六边所示。将单位正电荷从无穷远移到正六边形中心形中心o点的过程中点的过程中,电场力的功为电场力的功为 解解)VV(o )(baabVVqA0 VVo=-q (oa)。 oA+1= - Vo将将uo代入功的式子，得代入功的式子，得aqAoo aqaqoo 44a+q+q+q+q+q-q图5-26(a)o55)VV(qAcaoac (2)电荷分布如图电荷分布

40、如图11-26(b)所示所示,将点电荷将点电荷qo从从a经经半园半园b移到移到c的过程中的过程中,电场力对电场力对qo的功为的功为044 RqRqooRqRqoo 4)3(4Rqo 6RqqAooac 6-qqo (6oR)。解解)VV(qAbaab aVcVRRaRo-q+qbc图5-26(b)56 (3)一点电荷带电量一点电荷带电量q=10-9C，A、B两点与点电两点与点电荷荷q的距离分别为的距离分别为10cm、20cm。若取。若取B点的电势为点的电势为零，则零，则A点的电势是多少？点的电势是多少？ABq,rqVAoA4 解解或：或：取无穷远为电势零点，则取无穷远为电势零点，则BoBrqV

41、4 cmrA10cmrB20取取B点为电势零点，则点为电势零点，则A点的电势：点的电势：BoAoArqrqV44 =45V 零零势势点点AAl dEV BArrodrrq24BoAorqrq 44dr57 例题例题5-17 一均匀带电直线段，长为一均匀带电直线段，长为L，电量为，电量为q;求直线延长线上离一端距离为求直线延长线上离一端距离为d的的P电报的电势。电报的电势。(取取无穷远为电势零点无穷远为电势零点) 解解 将带电直线分将带电直线分为许多电荷元为许多电荷元dq(点电点电荷荷),利用点电荷电势公利用点电荷电势公式积分：式积分：dLdLqo ln4 pV LddxdxLqo 4xPdLq

42、图5-27dxdqrqVo4 58Vo= 例题例题5-18 求圆弧圆心、圆环轴线上的电势。求圆弧圆心、圆环轴线上的电势。(取取无穷远为电势零点无穷远为电势零点)Rqo 4Rdqo 4圆弧解解qoR图5-28dqRrqo 4环rdqo 4Vp=RPxq图11-29rdq.oRqVoo 4 .o59 解解 将圆盘分为若干个圆环将圆盘分为若干个圆环,利用圆环公式积分。利用圆环公式积分。 Rorxrdr02242 rqVo 4 Rorxrdr0222 )xRx(o 222 R0 .2 rdr4odpVxP图5-30ddrr 例题例题5-19 均匀带电圆盘，半径为均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度，电荷

43、面密度为为 ，求轴线上离盘心距离为，求轴线上离盘心距离为x的的P点的电势。点的电势。(取无穷取无穷远为电势零点远为电势零点)60 例题例题5-20 一无限大平面一无限大平面, 中部有一半径为中部有一半径为R的圆的圆孔，设平面上的电荷面密度为孔，设平面上的电荷面密度为 。求通过。求通过圆孔中心圆孔中心o并与平面垂直的直线上任一点并与平面垂直的直线上任一点p的场强和的场强和电势。电势。 取取o点点的电势为零。的电势为零。 解解 将平面分为若干个圆环积分。将平面分为若干个圆环积分。 xpoRxpoRdrr Eo 412322/)rx( x 2 rdrR232241/o)Rx(xqE 圆环圆环:222

44、Rxxo 61 xpoRxpoRdrrrquo4 圆环圆环:RrPxq 取取o点的电势为零点的电势为零, 求求p点点的的电势。电势。222RxxEo oppl dEu2202Rxxdxox )xRR(o222 62 例题例题5-22 求半径为求半径为R、总电量为、总电量为q的均匀带电球面的均匀带电球面的电势分布。的电势分布。 解解 由高斯定理求出其场强分布由高斯定理求出其场强分布: ;E:Rr01 224rqE:Rro 选定无限远处的电势为零选定无限远处的电势为零, 由电由电势的势的定义式定义式，有，有r R: 内内Vr R: 外外V RrdrE1 RdrE2Rqo4 rqo4 rdrE2 r

45、l dER图5-31q63 例题例题5-21 电荷以相同的面密度电荷以相同的面密度 均匀分布在两个均匀分布在两个半径分别为半径分别为R1=10cm、R2=20cm的同心球面上，设无的同心球面上，设无穷远处为电势零点，已知球心电势为穷远处为电势零点，已知球心电势为300v，求，求: (1) =? (2)空间电势分布；空间电势分布； (3) 两球面的电势差。两球面的电势差。 解解 (1)设内外球面分别带电设内外球面分别带电q1和和q2, R1R2o图5-31 应当指出，应当指出，电势是空间坐标的连续函数。而电电势是空间坐标的连续函数。而电场一般是不连续的。场一般是不连续的。q1q2114Rqo oV224Rqo 球心电势可用带电球心电势可用带电球面球面的电势的电势叠叠加加得出：得出：64 q1= .4 R12 q2= .4 R22 101RdrE球心电势也可用球心电势也可用电势定义电势定义求得求得:R1R2o图5-31q1q2 oV114Rqo 224Rqo :Rr2 :RrR21 :01Rr 01E2124rqEo 22134rqqEo 于是得于是得)RR(Voo21 292110858m/C.RRVoo