第6章 计算全息课件

1、第六章第六章 计算全息计算全息第六章第六章 计算全息计算全息什么叫计算全息什么叫计算全息 借助参考光，利用光的干涉原理，可以将物光的复振幅借助参考光，利用光的干涉原理，可以将物光的复振幅（振幅和相位）以干涉条纹的形式记录下来。我们可以称之（振幅和相位）以干涉条纹的形式记录下来。我们可以称之为为光学编码的方法光学编码的方法。 如果不用光学的方法而是用如果不用光学的方法而是用人工的方法人工的方法进行编码制作全息进行编码制作全息图，这图，这就是计算全息图就是计算全息图（Computer-generated Hologram)。概述概述 计算全息图不仅可以全面地记录光波的振幅和相计算全息图不仅可以全面

2、地记录光波的振幅和相位，而且能综合出复杂的，或者世间根本不存在的位，而且能综合出复杂的，或者世间根本不存在的物体的全息图，因而具有独特的优点和极大的灵活物体的全息图，因而具有独特的优点和极大的灵活性。从光学发展的历史来看，计算全息首次将计算性。从光学发展的历史来看，计算全息首次将计算机引入光学处理领域，计算全息图成为机引入光学处理领域，计算全息图成为数字信息数字信息和和光学信息光学信息之间有效的联系环节，为光学和计算机科之间有效的联系环节，为光学和计算机科学的全面结合拉开了序幕。学的全面结合拉开了序幕。 计算全息的主要应用范围：计算全息的主要应用范围： 二维和三维物体像的显示二维和三维物体像的

3、显示 在光学信息处理中用计算全息制作各种空间滤波器在光学信息处理中用计算全息制作各种空间滤波器产生特定波面用于全息干涉计量产生特定波面用于全息干涉计量 激光扫描器激光扫描器 数据存贮数据存贮计算全息图的制作和再现过程的主要步骤计算全息图的制作和再现过程的主要步骤： 抽样：得到物体或波面在离散样点上的值抽样：得到物体或波面在离散样点上的值 计算：计算物光波在全息平面上的光场分布计算：计算物光波在全息平面上的光场分布 编码：把全息平面上光波的复振幅分布编码成全息图的透过率编码：把全息平面上光波的复振幅分布编码成全息图的透过率变化变化 成图：在计算机控制下，将全息图的透过率变化在成图设备上成图：在计

4、算机控制下，将全息图的透过率变化在成图设备上成图。如果成图设备分辨率不够，再经光学缩版得到实用的全成图。如果成图设备分辨率不够，再经光学缩版得到实用的全息图息图 再现再现一般计算全息的制作过程分为五步一般计算全息的制作过程分为五步（1）抽样（）抽样（2）计算（）计算（3）编码（）编码（4）绘制和缩小（）绘制和缩小（5）再现）再现以下是傅里叶变换全息图的制作流程以下是傅里叶变换全息图的制作流程物的数学函数物的数学函数抽样得离散抽样得离散样点分布样点分布离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变离散傅里叶变换谱换谱编码编码全息透过全息透过率函数率函数绘图绘图照相缩版照相缩版计算全息图计算全息图再现再

5、现像像计算全息的优点：计算全息的优点： 记录物理上不存在的实物，只要知道该物体的数学表达式就记录物理上不存在的实物，只要知道该物体的数学表达式就可能有计算全息记录下这个物体的光波，并再现该物体的像可能有计算全息记录下这个物体的光波，并再现该物体的像。这种性质非常适宜于信息处理中空间滤波的合成，干涉计。这种性质非常适宜于信息处理中空间滤波的合成，干涉计量中产生特殊的参考波面，三维虚构物理的显示等。量中产生特殊的参考波面，三维虚构物理的显示等。 计算全息制作过程采用数字定量计算，精度高，特别是计算全息制作过程采用数字定量计算，精度高，特别是二元二元全息图全息图，透过率函数，透过率函数只有二个取值只

6、有二个取值，抗干扰能力强，噪声小，抗干扰能力强，噪声小，易于复制。，易于复制。6-1 计算全息原理（抽样定理）计算全息原理（抽样定理） 光学图象信息往往具有连续分布的特点，但是在实现信息光学图象信息往往具有连续分布的特点，但是在实现信息记录、存贮、发送和处理时，由于物理器件有限的信息容量，记录、存贮、发送和处理时，由于物理器件有限的信息容量，一个连续函数常常用它在一个一个连续函数常常用它在一个离散点集上离散点集上的函数值，即的函数值，即抽样值抽样值来表示。已知一个函数为来表示。已知一个函数为f (x)，则其抽样值为，则其抽样值为)()(0 xntfnf 1, 1 , 0 Nn式中：式中：0t为

7、抽样起始点，为抽样起始点，n为抽样点序号，为抽样点序号，x 是抽样间隔是抽样间隔)(nf是是抽样值抽样值或抽样值序列。直观上，抽样间隔越小，则抽样或抽样值序列。直观上，抽样间隔越小，则抽样序列越准确反映原来的连续函数。序列越准确反映原来的连续函数。但是抽样间隔越小，对于信息检测、传送、存贮和处理都提但是抽样间隔越小，对于信息检测、传送、存贮和处理都提出了更高的要求。如何选择一个合理的抽样间隔，以便做到出了更高的要求。如何选择一个合理的抽样间隔，以便做到既不既不 丢失信息，又不对检测、处理等过程提出过分的要求，丢失信息，又不对检测、处理等过程提出过分的要求，并由这样的值恢复一个连续函数呢？这些正

8、是抽样定理所要并由这样的值恢复一个连续函数呢？这些正是抽样定理所要回答的问题。回答的问题。6-1 计算全息原理计算全息原理6-1 计算全息原理计算全息原理 但是抽样间隔越小，对于信息检测、传送、存贮和处理都提但是抽样间隔越小，对于信息检测、传送、存贮和处理都提出了更高的要求。出了更高的要求。 如何选择一个合理的抽样间隔，以便做到既不丢失信息，又如何选择一个合理的抽样间隔，以便做到既不丢失信息，又不对检测、处理等过程提出过分的要求，并由这样的值恢复不对检测、处理等过程提出过分的要求，并由这样的值恢复一个连续函数？这些正是抽样定理所要回答的问题。一个连续函数？这些正是抽样定理所要回答的问题。 抽样

9、是制作计算全息图的一个重要的不可少的步骤，而抽抽样是制作计算全息图的一个重要的不可少的步骤，而抽样定理是计算全息技术中的重要理论基础之一。样定理是计算全息技术中的重要理论基础之一。1 1、函数的抽样、函数的抽样先看函数的抽样和复原的图解分析过程先看函数的抽样和复原的图解分析过程x)(xf函数频谱_)(F )(xxcomb xx x 2x x 2xx 1x 2x 1x 2 x)2(sin2xBcBxx)2/(xBrect x抽样函数_)(xfsx x 2x x 2抽样函数的频谱_)(sF xBxB x)(xxcomb x)(xfsx x 2x x 2xx 1x 21x 1x 21)( sF x)

10、2(sin2xBcBxx)2/(xBrect )( F x)(xf )()(mxxcomb 梳状函数的一些性质梳状函数的一些性质 )()(xmxxxxcomb )()( combxcomb)()( xxcombxxcomb 利用梳状函数对连续函数利用梳状函数对连续函数 f (x, y)抽样，得抽样函数抽样，得抽样函数)(xfs它是由它是由 函数的阵列构成函数的阵列构成),()()(),(yxfyycombxxcombyxfs nmymyxnxymxnfyx),(),( 利用卷积定理得抽样函数的频谱利用卷积定理得抽样函数的频谱),()()( Fycombxycombx ),(),( Fymxnn

11、m nmymxnF),( 结论：函数在空间域被抽样，导致函数频谱结论：函数在空间域被抽样，导致函数频谱),( F的周期性重复。的周期性重复。在频域在频域),()()(),( FyycombxxcombFs 6-1计算全息原理计算全息原理 nmSymxnFF),(),(结论：函数在空间域被抽样，导致函数频谱结论：函数在空间域被抽样，导致函数频谱),( F的周期性重复。的周期性重复。在频域在频域空间域空间域 的抽样间隔是的抽样间隔是x 和和y , ,空间频谱被重复的频谱中空间频谱被重复的频谱中心间距为心间距为x 1y 1和和x)(xfs)( sF x 1x 21x x 26-1 计算全息原理计算全

12、息原理设设f (x, y)是有限带宽函数，其频谱在空间频域的一个有限区域是有限带宽函数，其频谱在空间频域的一个有限区域上不为零。上不为零。 ,方向上的谱的宽度分别为方向上的谱的宽度分别为xB2yB2由抽样过程示意图可知当由抽样过程示意图可知当xBx21 yBy21 xBx21 yBy21 ),( sF中的各个频谱就不会出现中的各个频谱就不会出现混叠混叠现象，这样就有可能用现象，这样就有可能用滤波的方法从滤波的方法从),( sF中分离出原函数的频谱中分离出原函数的频谱),( F再由再由),( F恢复原函数。恢复原函数。xx 1x 2x 1x 2)( sF xBxB 6-1 计算全息原理计算全息原

13、理因而能由抽样值还原原函数的条件是因而能由抽样值还原原函数的条件是（1 1）),(yxf是限带函数是限带函数（2 2）在在 x 方向和方向和 y 方向抽样点最大允许方向抽样点最大允许 间隔为间隔为yB21xB21xx 1x 2x 1x 2)( sF xBxB yB21xB21和和称为称为奈魁斯特间隔奈魁斯特间隔。 抽样定理的另一种表达为：抽样定理的另一种表达为：一个有限带宽的函数，它没有频率在一个有限带宽的函数，它没有频率在xB2yB2以上的频谱分量，则该函数可以由一系列间隔小于以上的频谱分量，则该函数可以由一系列间隔小于yB21xB21和和的抽样值的抽样值唯一唯一地确定。地确定。2、函数的还

14、原、函数的还原将抽样函数作为输入，加到一个低通滤波器上，只要抽样函数将抽样函数作为输入，加到一个低通滤波器上，只要抽样函数 的频谱不产生混叠，总可以选择一个适当的滤波函数，使的频谱不产生混叠，总可以选择一个适当的滤波函数，使),( sF中，中，n=0, m=0的项无畸变地通过，而滤去其它各项，这时滤波的项无畸变地通过，而滤去其它各项，这时滤波器的输出就是复原的原函数，这一过程可由下面框图示意器的输出就是复原的原函数，这一过程可由下面框图示意。),(yxf),( F ),(yxfs)()(yycombxxcomb 低通滤波器低通滤波器),(yxh),( H),(),(),(yxhyxfyxfs

15、),( sF),(),( sFF ),( H若选矩形函数为滤波函数若选矩形函数为滤波函数)2()2(),(yxBrectBrectH 则则),(),( sFF )2()2(yxBrectBrect 这一频域的滤波过程，可以等效于空域中的卷积运算这一频域的滤波过程，可以等效于空域中的卷积运算),(),(),(yxhyxfyxfs ),(),(),(ymyxnxymxnfyxyxfs ),(yxh )2()2(yxBrectBrect )2(sin)2(sin4yBcxBcBByxyx ),(),(),(yxhyxfyxfs nyxmyxymyBcxnxBcymxnfyxBB)(2sin)(2si

16、n),(4惠特克惠特克香农（香农（Whittaker-Shannon)抽样定理抽样定理xBx21 取取yBy21 ),(yxf nyyxxyxmBmyBcBnxBcBmBnf)2(2sin)2(2sin)2,2(它表明了只要抽样间隔满足它表明了只要抽样间隔满足xBx21 yBy21 则在每一个抽样点上放置一个以则在每一个抽样点上放置一个以抽样值为权重的抽样值为权重的sinc函数函数 为内插函数，由这些加权的为内插函数，由这些加权的sinc函数的线性组合可复原原函数的线性组合可复原原函数。函数。由以上讨论可知，由抽样函数还原原函数有两条途径由以上讨论可知，由抽样函数还原原函数有两条途径（1 1）

17、频域滤波）频域滤波（2 2）空域插值）空域插值严格说来，频带有限的函数在物理上并不存在，一个有限严格说来，频带有限的函数在物理上并不存在，一个有限宽度的函数，其频谱范围总是扩展到无穷。但表征大多数宽度的函数，其频谱范围总是扩展到无穷。但表征大多数物理物理量量的函数，其频谱在频率高到一定程度时总是大大减的函数，其频谱在频率高到一定程度时总是大大减小，以致于略去高频分量所引入的误差是可以允许的。实小，以致于略去高频分量所引入的误差是可以允许的。实际上，信号的检测、传递过程采用的仪器都是际上，信号的检测、传递过程采用的仪器都是有限通频带有限通频带宽宽的。所以很多物理量函数都可视为有限带宽函数，从而的

18、。所以很多物理量函数都可视为有限带宽函数，从而可用离散的抽样序列代替。可用离散的抽样序列代替。上述抽样定理的过程可以用下面的光学过程来说明上述抽样定理的过程可以用下面的光学过程来说明xy如图，物函数如图，物函数 f (x, y)是透明片是透明片T字的透过率函数，在傅里叶变字的透过率函数，在傅里叶变换平面上换平面上T字的谱是一组衍射斑点。对于字的谱是一组衍射斑点。对于f (x, y)抽样，相当于在抽样，相当于在T字处加一个光栅，光栅间距应满足抽样定理。这时在谱面上字处加一个光栅，光栅间距应满足抽样定理。这时在谱面上出现许多组的衍射斑点。如果在谱面上加一个单缝，只允许中出现许多组的衍射斑点。如果在

19、谱面上加一个单缝，只允许中间一组通过，则像面上的间一组通过，则像面上的T字没栅格，与原物相同。字没栅格，与原物相同。空间滤波之网络水演示。空间滤波之网络水演示。6-2 计算全息的离散傅里叶变换计算全息的离散傅里叶变换一般计算全息的制作过程分为五步一般计算全息的制作过程分为五步（1）抽样（）抽样（2）计算（）计算（3）编码（）编码（4）绘制和缩小（）绘制和缩小（5）再现）再现以下是傅里叶变换全息图的制作流程以下是傅里叶变换全息图的制作流程物的数学函数物的数学函数抽样得离散抽样得离散样点分布样点分布离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变离散傅里叶变换谱换谱编码编码全息透过全息透过率函数率函数绘图

20、绘图照相缩版照相缩版计算全息图计算全息图再现再现像像 在这种全息图中，被记录的复数波面是物波函数在这种全息图中，被记录的复数波面是物波函数的傅里叶变换。由于这种全息图再现的是物波函数的的傅里叶变换。由于这种全息图再现的是物波函数的傅里叶谱，所以要得到物波函数本身，必须通过变换傅里叶谱，所以要得到物波函数本身，必须通过变换透镜再进行一次逆变换，这与光学傅里叶变换全息图透镜再进行一次逆变换，这与光学傅里叶变换全息图的基本原理是一致的。的基本原理是一致的。 对复数波面进行编码可以采用上节介绍的两种方对复数波面进行编码可以采用上节介绍的两种方法。一种是迂回相位编码方法，直接对抽样点上复数法。一种是迂回

21、相位编码方法，直接对抽样点上复数波面的振幅和相位进行编码。另一种是修正离轴参考波面的振幅和相位进行编码。另一种是修正离轴参考光编码方法，将全息函数造成实的非负函数。从而只光编码方法，将全息函数造成实的非负函数。从而只对振幅进行编码。对振幅进行编码。一、抽样点数与空间带宽积一、抽样点数与空间带宽积设平面物体的大小为设平面物体的大小为yx 在在x, y方向方向的抽样间距为的抽样间距为xy根据抽样定理根据抽样定理 1x 1y取等号，有取等号，有 1x 1yyx 一个抽样单元一个抽样单元制作一个全息图所需的抽样点数为制作一个全息图所需的抽样点数为 yxyyxxSWyxByBx 4 dddxdy称为空间

22、带宽积称为空间带宽积它是物体所具有的它是物体所具有的信息量信息量的量度，利用它可以方便地确定的量度，利用它可以方便地确定制作计算全息图时所需要的抽样点的总数。如图像的尺寸制作计算全息图时所需要的抽样点的总数。如图像的尺寸是是40mm 40mm，最高空间频率，最高空间频率mmBmmByx/10,/10 图像的空间带宽积图像的空间带宽积yxBByxSW 4 2800101040404 对这样的图像制作全息图时，其抽样点数是对这样的图像制作全息图时，其抽样点数是2800下面以傅里叶变换全息图为例加以讨论下面以傅里叶变换全息图为例加以讨论设平面物体的大小为设平面物体的大小为yx ，在在x, y方向的抽

23、样间距为方向的抽样间距为x y 抽样单元分别为抽样单元分别为 j 个和个和 k 个。个。 这样离散的物光波函数可以写成这样离散的物光波函数可以写成),(ykxjffjk kj,为单元的序数为单元的序数)(xj)( yk01231 2 3 1231 2 3 )x( j)y(k01031 2 3 1231 2 3 取取 1 x 1 y xxxJ yyyK yxSWJK 在确定了抽样数和抽样间距以后，需要将在确定了抽样数和抽样间距以后，需要将),(F 计算出来。为此，我们要将连续傅里叶变换，变成离散的傅里叶计算出来。为此，我们要将连续傅里叶变换，变成离散的傅里叶变换。变换。 dxdyyxjyxfF)

24、(2exp),(),( )(xf jxxx)Bjx(Bcsin)Bj(f222在一维的情况下在一维的情况下 jjxcjf sin)(空域插值空域插值代入上式得代入上式得 dxxjxfF)2exp)()( 12 j dxxjxfF)2exp)()( dxxjjxcjfFj )2exp()(sin)()( 利用利用 )(1)(sincrectccxc 和平移不变定理和平移不变定理dxxjjxc )2exp()(sin )2exp()(1 jjrectdxxjjxc )2exp()(sin 代入上式代入上式 )(F )2exp()()(1 jjrectjfj12 j )(F )2exp()()(1

25、jjrectjfj)2exp()(1122 jjjfJJj22 在谱平面上的抽样情况与物面上类似，其抽样间隔可分别取为在谱平面上的抽样情况与物面上类似，其抽样间隔可分别取为x 1 y 1 )(m )(n 01231 2 3 1231 2 3 对于一个抽样点来说对于一个抽样点来说 m )( F )( mF)xm(F )2exp()(1122 xjmjjfJJj)2exp()(1122JjmjjfJJj )yn,xm(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(1122122对于二维情况对于二维情况 有有 )n,m(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(1122122不考虑前

26、面的常系数，则不考虑前面的常系数，则 )n,m(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(122122这就是离散傅里叶变换。每作一次变换涉及到大量计算。这就是离散傅里叶变换。每作一次变换涉及到大量计算。 1965年库列年库列图基图基(Cooley-Tukey)提出矩阵分解提出矩阵分解 的新算的新算法，也就是法，也就是快速傅里叶快速傅里叶(FFT)变换算法变换算法，大大缩短了计算时间，大大缩短了计算时间，才使二维图形的离散傅里叶变换在实际上成为可能，快速，才使二维图形的离散傅里叶变换在实际上成为可能，快速傅里叶变换算法的程序可以各种语言版本中找到，使用时直傅里叶变换算法的程序可以各种语

27、言版本中找到，使用时直接调用相应的库函数就可以了。接调用相应的库函数就可以了。)n,m(F通常是复数，可以记为通常是复数，可以记为)n,m(jI)n,m(R)n,m(F )n,m(jexp)n,m(A)n,m(F )n,m(I)n,m(R)n,m(A22 )n,m(R)n,m(Iarctg)n,m( ( (请用请用MATLABMATLAB编写二维编写二维FFTFFT） “编码编码”在通信中与指把输入信息变换为信道上传送的信在通信中与指把输入信息变换为信道上传送的信号的过程。在计算全息中输入信息是待记录的光波的复振幅，号的过程。在计算全息中输入信息是待记录的光波的复振幅，而中间的传递介质是全息图

28、，而中间的传递介质是全息图，其信息特征是全息图上的透过率其信息特征是全息图上的透过率的变化的变化，因此将二维光场复振幅分布变换为全息图的二维透过，因此将二维光场复振幅分布变换为全息图的二维透过率函数分布的过程，称为率函数分布的过程，称为计算全息的编码计算全息的编码。 由于成图设备的输出大多只能是实值非负函数，因此编码由于成图设备的输出大多只能是实值非负函数，因此编码问题归结为将问题归结为将二维离散二维离散复值函数变换为二维复值函数变换为二维离散实值函数离散实值函数问问题。而且这种转换能够在再现阶段完成其逆转换，从二维离题。而且这种转换能够在再现阶段完成其逆转换，从二维离散实值函数恢复二维复值函

29、数。散实值函数恢复二维复值函数。 将复值函数变换为实值非负函数的编码方法可以归纳为两大类将复值函数变换为实值非负函数的编码方法可以归纳为两大类 第第一种方法是把一个复值函数表示为两个实值非负函数一种方法是把一个复值函数表示为两个实值非负函数，例，例如用如用振幅振幅和和相位相位两个实参数表示一个复数，分别对振幅和相位进两个实参数表示一个复数，分别对振幅和相位进行编码。行编码。 第二种方法是第二种方法是仿照光学全息仿照光学全息的办法，如引入离轴参考光，通的办法，如引入离轴参考光，通过和物光波的干涉产生干涉条纹的强度分布，成为实值非负函数过和物光波的干涉产生干涉条纹的强度分布，成为实值非负函数，因此

30、每个样点都是实的非负值，可以直接用实参数来表示。，因此每个样点都是实的非负值，可以直接用实参数来表示。1、迂回相位编码方法、迂回相位编码方法（1）罗曼型）罗曼型 对光波的振幅进行编码比较容易，它可以通过控制全对光波的振幅进行编码比较容易，它可以通过控制全息图上抽样单元的透过率或开孔面积来实现。对于光波息图上抽样单元的透过率或开孔面积来实现。对于光波的相位编码则比较困难，虽然原则上可以使光波通过一的相位编码则比较困难，虽然原则上可以使光波通过一个具有二维分布的个具有二维分布的相位板相位板，但这在技术上十分困难。罗，但这在技术上十分困难。罗曼根据不规则光栅的衍射效应，成功地提出了迂回相位曼根据不规

31、则光栅的衍射效应，成功地提出了迂回相位编码的方法。编码的方法。ddk k 方向上相邻光线的光程差为方向上相邻光线的光程差为 ksindk 相位差为相位差为 k2k级衍射波级衍射波这时在这时在k 方向上方向上观察光栅的衍射光波，是一个平面波，观察光栅的衍射光波，是一个平面波，可以认为波面上各点光波振动的相位相可以认为波面上各点光波振动的相位相同，设为同，设为0 问题：如果光栅的栅距有误差，如问题：如果光栅的栅距有误差，如在某一位置处栅距增大了在某一位置处栅距增大了 这时在这时在k 方向观察的衍射波是否方向观察的衍射波是否还是平面波？还是平面波？相邻光线的光程差为相邻光线的光程差为kd sin)(

32、 k 方向的衍射光波在该方向的衍射光波在该位置处引入的相应相位延迟位置处引入的相应相位延迟kkksindsin)d( 22 ksin 2 ddk k级衍射波级衍射波d d ksindk dk2 迂回相位迂回相位迂回相位的值与栅距的偏移量和衍射级次迂回相位的值与栅距的偏移量和衍射级次成正比，而与入射光波的波长无关。成正比，而与入射光波的波长无关。设光栅透光位置用标号设光栅透光位置用标号 i 标示，则标示，则iidk 20 ddk k级衍射波级衍射波d d迂回相位效应给予我们的提示：迂回相位效应给予我们的提示：通过通过局部改变光栅栅距局部改变光栅栅距的的办法，可以在某个衍射方办法，可以在某个衍射方

33、向得到我们所需用要的相向得到我们所需用要的相位调制。位调制。不考虑均匀相位延迟不考虑均匀相位延迟0 iidk 2 下面对一复值函数进行振幅和相下面对一复值函数进行振幅和相位编码位编码假定全息图共假定全息图共m n个抽样单元，待记录的复振幅的样点值为个抽样单元，待记录的复振幅的样点值为)exp(mnmnmnjAf 式中式中10 mnA是归一化振幅是归一化振幅)( xm)( yn01031 2 3 1231 2 3 ),(nm第第单元单元y x xW yLmn 如图，首先在全息图每个抽样单元内放置一个如图，首先在全息图每个抽样单元内放置一个矩形矩形通光孔，通通光孔，通过改变光孔径的面积来编码复数波

34、面的过改变光孔径的面积来编码复数波面的振幅振幅，其次改变通光孔，其次改变通光孔径径中心中心与抽样与抽样单元中心单元中心的位置来编码相位。设矩形的宽度的位置来编码相位。设矩形的宽度xW 不变，矩形孔径的高度是不变，矩形孔径的高度是yLmn xPmn 与归一化振幅成正比。与归一化振幅成正比。xPmn 是孔径中心与抽样单元中心的距离，与抽样点的相位成正比是孔径中心与抽样单元中心的距离，与抽样点的相位成正比因此，孔径参数与复值函数的关系如下因此，孔径参数与复值函数的关系如下mnmnAL mnmndk 2xPxkmnmn 2 kPmnmn 2 根据上面方法确定了每个单元开孔尺寸和位置后，就可根据上面方法

35、确定了每个单元开孔尺寸和位置后，就可以用计算机控制以用计算机控制绘图仪绘图仪产生产生原图原图，再经过，再经过缩版缩版得得到计算全息到计算全息图图。由于在迂回相位编码方法中，全息图的透过率只有。由于在迂回相位编码方法中，全息图的透过率只有0和和1两个值，故制作简单，噪声低，抗干扰能力强，并可多次复两个值，故制作简单，噪声低，抗干扰能力强，并可多次复制而不失真，因而应用较为广泛。制而不失真，因而应用较为广泛。绘制全息图绘制全息图 计算全息图的再现方法计算全息图的再现方法与光学全息相似，仅在某个特定的与光学全息相似，仅在某个特定的衍射级次上才能再现我们所期望的波前。下图是计算傅里叶变衍射级次上才能再

36、现我们所期望的波前。下图是计算傅里叶变换全息图的再现光路，当用平行光垂直照明全息图时，在透射换全息图的再现光路，当用平行光垂直照明全息图时，在透射光场中沿某一特定衍射方向的分量波将再现物光波的光场中沿某一特定衍射方向的分量波将再现物光波的傅里叶变傅里叶变换换，而直接透过分量具有平面波前，并且在另一侧的衍射分量，而直接透过分量具有平面波前，并且在另一侧的衍射分量将再现物谱的共轭光波。于是经过透镜将再现物谱的共轭光波。于是经过透镜L进行逆傅里叶变换后进行逆傅里叶变换后，输出平面中心是一个亮点，两边是正、负一级像和，输出平面中心是一个亮点，两边是正、负一级像和高级次的高级次的像像。 xy 书上书上P

37、175P175给出了迂回相位编码的计算傅里叶变换全息图。给出了迂回相位编码的计算傅里叶变换全息图。clc;clearA=zeros(128);A(45:50,50:70)=1;A(45:80,50:55)=1;A(75:80,50:70)=1;A(60:65,50:65)=1;b=A;imshow(b,notruesize)%0 1间的随机化矩阵间的随机化矩阵 a = rand (128, 128) ;aa = exp( i*2*pi*a) ;AA = double (b).*aa;Afft2 = fftshift(fft2(AA) ;% 将变换后的高频移至中心将变换后的高频移至中心A1 =

38、abs(Afft2); %物函数图的傅立叶变换后的频谱的幅值物函数图的傅立叶变换后的频谱的幅值B2= angle (Afft2) / (2*pi) ;% 得到归一化的频谱的相位得到归一化的频谱的相位A1max =max(A1(:) ; %得到了归一化的频谱幅值得到了归一化的频谱幅值A1 =A1 /A1max;%s=128;N=128; % 绘图尺寸设置绘图尺寸设置swidth=s/N;sheight=swidth; %设置抽样单元的宽度与高度设置抽样单元的宽度与高度rwidth=swidth/2; %对每一个抽样单元编码，设置抽样单元内放置的矩形孔径的尺寸对每一个抽样单元编码，设置抽样单元内放

39、置的矩形孔径的尺寸,rwidth=w*swidth,rheight=A1*sheight, 孔径中心与单元中心距离为孔径中心与单元中心距离为dextra=B2*swidth/k,k为衍射级数，为衍射级数，取为取为1 %从左上角建立坐标系，设置抽样单元起始纵横坐标从左上角建立坐标系，设置抽样单元起始纵横坐标swidth/2;sheight/2;figure;set(gcf,color,w)axis(0 N 0 N);hold on;for j=1:N sy0=sheight/2+(j-1)*sheight;% 抽样单元纵坐标抽样单元纵坐标 for i=1:N sx0=swidth/2+(i-1)

40、*swidth;% 抽样单元横坐标抽样单元横坐标,是以抽样单元中心为该单是以抽样单元中心为该单 rheight=A1(j,i)*sheight; dextra=B2(j,i)*swidth; if abs(dextra)1/4*swidth rx0=sx0+dextra-rwidth/2;rx1=sx0+swidth/2;ry0=sy0-rheight;ry1=sy0+rheight/2; fill(rx0 rx0 rx1 rx1,ry0 ry1 ry1 ry0,k); rx00=sx0-swidth/2;rx11=sx0+dextra+rwidth/2-swidth; fill(rx00 r

41、x00 rx11 rx11,ry0 ry1 ry1 ry0,k); else rx0=sx0-swidth/2;rx1=sx0+dextra+rwidth/2;ry0=sy0-rheight;ry1=sy0+rheight/2; fill(rx0 rx0 rx1 rx1,ry0 ry1 ry1 ry0,k); rx00=sx0+dextra-rwidth/2+swidth;rx11=sx0+swidth/2; fill(rx00 rx00 rx11 rx11,ry0 ry1 ry1 ry0,k); end end end end axis equal axis off 请画出三种情况的开孔的位

42、置请画出三种情况的开孔的位置? 再现的程序再现的程序?%saveas(gcf,e.bmp);x=imread(e.bmp);figure,imshow(log(abs(fftshift(fft2(x),)作业作业6-16-1，6-36-3，6-4 6-4 查文献，编写有关程序查文献，编写有关程序（2 2）四阶）四阶迂回相位编码方法迂回相位编码方法 01jeF22 jeF jeF3234 jeF),(nm第第单元单元)exp(mnmnmnjAf 23432201 jjjjeFeFeFeF 如图将一个全息图的单元沿如图将一个全息图的单元沿x x方向分为四等分，各部分的相位方向分为四等分，各部分的相

43、位分别是分别是0， ， ，2 23 这样，一个样点的复振幅用四个子样点发出这样，一个样点的复振幅用四个子样点发出的分量波合成来表示。的分量波合成来表示。)exp(mnmnmnjAf 23432201 jjjjeFeFeFeF 对于一个样点，对于一个样点，4321FFFF四个分量中只有两个分量为非零值四个分量中只有两个分量为非零值因此，要描述一个样点的复振幅，只需要在两个子单元中用开孔因此，要描述一个样点的复振幅，只需要在两个子单元中用开孔大小或灰度等级来表示就行了。大小或灰度等级来表示就行了。0je2 je je23 je1F2F修正离轴参考光的编码方法修正离轴参考光的编码方法 迂回相位编码方

44、法是用抽样单元矩形孔的两个结构参数，分迂回相位编码方法是用抽样单元矩形孔的两个结构参数，分别编码样点处的振幅和相位。如果别编码样点处的振幅和相位。如果模拟光学离轴全息模拟光学离轴全息的方法，的方法，在计算机中实现光波复振幅分布与一虚拟的离轴参考光叠加，在计算机中实现光波复振幅分布与一虚拟的离轴参考光叠加，使全息图平面上待记录的复振幅分布转换成强度分布，就避免使全息图平面上待记录的复振幅分布转换成强度分布，就避免了相位编码问题。这时只要在全息图单元上用了相位编码问题。这时只要在全息图单元上用开孔面积开孔面积或或灰度灰度变化来编码这个实的非负函数，即可完成编码。变化来编码这个实的非负函数，即可完成

45、编码。 设待记录的物光波复振幅为设待记录的物光波复振幅为 f (x, y)，离轴的平面参考光波为，离轴的平面参考光波为R(x, y)，即，即),(exp),(),(yxjyxAyxf 2exp),(0 xjRyxR 修正离轴参考光的编码方法修正离轴参考光的编码方法 在线性记录条件下，并忽略一些不重要的常数因子，光学离在线性记录条件下，并忽略一些不重要的常数因子，光学离 轴全息的透过率函数为轴全息的透过率函数为2),(),(),(yxRyxfyxh ),(cos),(),(yxxyxARyxAR 220220 在透过率函数在透过率函数 所包含的三项中，第三项通过对余弦型条所包含的三项中，第三项通

46、过对余弦型条纹的纹的振幅和相位振幅和相位调制，记录了物光波的全部信息。第一、调制，记录了物光波的全部信息。第一、二项是这种光学全息方法不可避免地伴生的，除了其中均二项是这种光学全息方法不可避免地伴生的，除了其中均匀偏置分量使匀偏置分量使h(x, y)为实的非负函数的目的外，它们只是为实的非负函数的目的外，它们只是占用信息通道，占用信息通道，从物波信息传递的从物波信息传递的角度来说，角度来说，完全是多余完全是多余的。的。 从光学全息形成的过程来看从光学全息形成的过程来看, ,第一、二项是不可避免地伴第一、二项是不可避免地伴生的，但是计算机制作全息图的灵活性，使得在做计算全息生的，但是计算机制作全

47、息图的灵活性，使得在做计算全息时，可以人为地将它们去掉而重新构造全息函数，即所谓的时，可以人为地将它们去掉而重新构造全息函数，即所谓的修正型离轴全息函数。修正型离轴全息函数。 ),(cos),(.),(yxxyxAyxh 2150式中式中A(x, y)是归一化振幅。是归一化振幅。下面从频域来理解光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数的下面从频域来理解光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数的差别。差别。 yB2xB2xB4 yB4 xB3 a、物波的空间频谱、物波的空间频谱b、光学全息图的空间频谱、光学全息图的空间频谱 xB8 c、光学全息图抽样后的频谱、光学全息图抽样后的频谱yB4 图图b是光学离

48、轴全息图的空间频谱，中间的大矩形是是光学离轴全息图的空间频谱，中间的大矩形是),(2yxA的自相关频率成分。为了避免这些分量在频率域中的重叠，要求的自相关频率成分。为了避免这些分量在频率域中的重叠，要求载频载频xB3 如果直接对光学全息图函数进行抽样制作计算全息图，则根据如果直接对光学全息图函数进行抽样制作计算全息图，则根据抽样定理，其抽样间隔必须为抽样定理，其抽样间隔必须为xxB81 yyB41 其计算全息图的空间频谱如图其计算全息图的空间频谱如图c，它是，它是 光学离轴全息图光学离轴全息图 频谱的频谱的 周期性重复。周期性重复。由于修正后的全息函数已经去掉了由于修正后的全息函数已经去掉了)

49、,(2yxA项，所以在频率项，所以在频率域中自相关项的频率成分已不存在，域中自相关项的频率成分已不存在， 只有代表物波频率成分的只有代表物波频率成分的两个矩形和直流项的频率成分两个矩形和直流项的频率成分 函数。如图函数。如图d d所示。所示。 xB d、修正型离轴全息函数空间频谱、修正型离轴全息函数空间频谱 xB xB yB2 xB4 e、修正型离轴全息函数抽样后的频谱、修正型离轴全息函数抽样后的频谱 由上图可知，对修正离轴全息函数抽样制作计算全息图由上图可知，对修正离轴全息函数抽样制作计算全息图时，其抽样间隔是时，其抽样间隔是xxB41 yyB21 于是总的抽样点数就降为原为的于是总的抽样点

50、数就降为原为的1/4，这时计算全息图的频，这时计算全息图的频谱如图谱如图e。 应该指出，载频在全息图上的表现形式是余弦型条纹的间应该指出，载频在全息图上的表现形式是余弦型条纹的间距，这与光学全息是相同的，但光学离轴全息函数与我们构造距，这与光学全息是相同的，但光学离轴全息函数与我们构造的修正离轴全息函数的频谱结构不同，因此载频也不同。选取的修正离轴全息函数的频谱结构不同，因此载频也不同。选取载频的目的是保证全息函数在频域中载频的目的是保证全息函数在频域中各分量不混叠各分量不混叠。对全息函。对全息函数进行抽样是制作计算全息图的要求，抽样间隔必须保证全息数进行抽样是制作计算全息图的要求，抽样间隔必

51、须保证全息函数的函数的整体频谱整体频谱（包括各个结构分量）（包括各个结构分量）不混叠不混叠，两个概念是不，两个概念是不同的。同的。 但是由于加进了偏置分量，增加了记录的全息图的空间但是由于加进了偏置分量，增加了记录的全息图的空间带宽积，因此增加了抽样点数。一般来说，物波函数的信息带宽积，因此增加了抽样点数。一般来说，物波函数的信息容量越大，抽样点数就越多，对于任容量越大，抽样点数就越多，对于任 一种编码方法都不能一种编码方法都不能违背抽样定理的，正如前面所述，避免了对相位的编码，但违背抽样定理的，正如前面所述，避免了对相位的编码，但又以增加抽样点数为代价。又以增加抽样点数为代价。 说明：上述以

52、常量为偏置项的全息图是博奇说明：上述以常量为偏置项的全息图是博奇1966年提出年提出的，称为的，称为博奇全息图博奇全息图。由于计算机处理的灵活性，偏置项还。由于计算机处理的灵活性，偏置项还可以采用其它形式。加进偏置项的目的是使全息函数变成可以采用其它形式。加进偏置项的目的是使全息函数变成实实值值非负函数，每个样点都是实的非负值，因此不存在相位编非负函数，每个样点都是实的非负值，因此不存在相位编码问题，比同时对振幅和相位编码的方法简便。码问题，比同时对振幅和相位编码的方法简便。 由于每个样点都是实的非负值，因此在制作全息图时，只由于每个样点都是实的非负值，因此在制作全息图时，只需要在每个单元中用

53、需要在每个单元中用开孔大小开孔大小或或灰度等级灰度等级来表示这个实的非负来表示这个实的非负值就行了。值就行了。6-3 计算像面全息计算像面全息 计算像面全息与傅里叶变换全息不同之处仅在于被记录计算像面全息与傅里叶变换全息不同之处仅在于被记录的复数波面是的复数波面是物波函数物波函数本身，或者是物波的本身，或者是物波的像场分布像场分布，因此，因此只要对物波函数进行抽样和编码。同样可以采用多种方法对只要对物波函数进行抽样和编码。同样可以采用多种方法对物波函数进行编码。下图是像面全息的再现示意图。物波函数进行编码。下图是像面全息的再现示意图。xyxy ffff1 抽样 设物波（或其像）的复振幅分布为设

54、物波（或其像）的复振幅分布为 进一步假定物波函数在空域和频域都是进一步假定物波函数在空域和频域都是有限的因为物波面和全息图面重合，有限的因为物波面和全息图面重合，根据抽样定理的要求，可以确定在全息根据抽样定理的要求，可以确定在全息图上的抽样间距抽样后的物波函数可图上的抽样间距抽样后的物波函数可以表示为下列离散形式以表示为下列离散形式2 编码编码 对每一个样点的复数值，分解为复平面对每一个样点的复数值，分解为复平面上实轴和虚轴正负方向上的四个分量，上实轴和虚轴正负方向上的四个分量， 其中其中 在上述四个分量中，对于一个确定复数在上述四个分量中，对于一个确定复数的分解，最多只有两个分量非零将每的分

55、解，最多只有两个分量非零将每个抽样单元分成四个等距子单元，如图个抽样单元分成四个等距子单元，如图641所示当一束平行光垂直照射全所示当一束平行光垂直照射全息图观察一级衍射波形时，可以看到从息图观察一级衍射波形时，可以看到从子样点子样点F2，F3，F4发出的光线与发出的光线与F1发出的发出的光线之间的光程差分别为光线之间的光程差分别为/4，/2，3/4，相应的相位差为，相应的相位差为 四个分量波组合起来就形成四个分量波组合起来就形成 即合成了样点处的复数波前。即合成了样点处的复数波前。 如图3 全息图的绘制和再现全息图的绘制和再现 每个抽样单元所分解的四个分量，实际每个抽样单元所分解的四个分量，

56、实际上最多只有两个分量为非零值。若作成上最多只有两个分量为非零值。若作成灰阶计算全息图，则需要用成图设备控灰阶计算全息图，则需要用成图设备控制每个子单元的灰度，以扫描出一张灰制每个子单元的灰度，以扫描出一张灰阶全息图。若作成具有二元透过率的全阶全息图。若作成具有二元透过率的全息图，则需要用绘图设备控制子单元的息图，则需要用绘图设备控制子单元的开孔面积。如果成图设备的空间分辨率开孔面积。如果成图设备的空间分辨率不够高，所绘制的原图还需缩版到合适不够高，所绘制的原图还需缩版到合适尺寸，才能得到实际可用的计算全息图尺寸，才能得到实际可用的计算全息图。 再现光路如图再现光路如图642所示，用平行光垂直

57、照射全息所示，用平行光垂直照射全息图，在透镜图，在透镜L1的后焦面上产生全息图的频谱。若的后焦面上产生全息图的频谱。若在该平面上放置空间滤波器让所需的衍射级次在该平面上放置空间滤波器让所需的衍射级次通过，则在像面上得到所需的复数物波波面通过，则在像面上得到所需的复数物波波面f(x,y)，如果制作全息图时对物波的抽样不满足抽样定，如果制作全息图时对物波的抽样不满足抽样定理，则再现时谱面上将产生频谱混叠，因而不能理，则再现时谱面上将产生频谱混叠，因而不能准确地恢复原始物波。准确地恢复原始物波。图642 像面全息的再现4 四阶迂回相位编码的一个理论解释四阶迂回相位编码的一个理论解释 在这一节中，以四

58、阶迂回位相编码方法为例介在这一节中，以四阶迂回位相编码方法为例介绍了计算像全息。通过编码和再现的过程，我绍了计算像全息。通过编码和再现的过程，我们从延迟抽样的概念出发，对于四阶迂回位相们从延迟抽样的概念出发，对于四阶迂回位相全息给出另一个理论解释。全息给出另一个理论解释。 设设f(x)是一个有限带宽的函数，其抽样函数是一个有限带宽的函数，其抽样函数为为fs(x)，其抽样间隔为，其抽样间隔为dx，则，则 如果对原函数抽样时，抽样点对原点有如果对原函数抽样时，抽样点对原点有一个小的偏移量一个小的偏移量，则抽样函数可改写为，则抽样函数可改写为 然后将然后将fs(x)通过一个低通滤波器，就可以通过一个

59、低通滤波器，就可以从从fs(x)中恢复中恢复f(x)这一过程已在前面讨这一过程已在前面讨论抽样定理时给予证明。但是如果论抽样定理时给予证明。但是如果fs(x)通通过带通滤波器过带通滤波器 则该滤波器的脉冲响应为则该滤波器的脉冲响应为 由此可以得到滤波后的输出，它是抽样由此可以得到滤波后的输出，它是抽样函数函数fs(x)与滤波器脉冲响应与滤波器脉冲响应h(x)的卷积，的卷积，即即 根据抽样定理，上式中最后一个求和项根据抽样定理，上式中最后一个求和项恰好是抽样定理所描述的原函数恰好是抽样定理所描述的原函数f(x)，因，因此上式可简化为此上式可简化为 上式中第一项的线性位相表示再现像的传播方向与光轴

60、之间有一夹角。第二项是由于延迟抽样加上带通滤波所产生的附加位相。因此这种延迟抽样的概念可用来对位相进行编码。6-4 计算全息干涉图计算全息干涉图 光学记录的全息图是一种两束光的干涉条纹，如果用光学记录的全息图是一种两束光的干涉条纹，如果用人工的方法把干涉人工的方法把干涉( (指亮纹和暗纹指亮纹和暗纹) )的位置计算出来，再用的位置计算出来，再用绘图机绘制，经过精缩以后就是一幅全息图。这种黑白条绘图机绘制，经过精缩以后就是一幅全息图。这种黑白条纹，通过精缩成为透明与不透明相间的条纹胶片，就称为纹，通过精缩成为透明与不透明相间的条纹胶片，就称为计算计算二元全息图二元全息图。实际上这种二元全息图与。