实变函数复习思考题

1、实变函数复习思考题、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题后的括号内.）1. E是实数全体，则 E是（）.A.可数； B.不可数；C. 有限集； D.不可测集2. 有限个可数集的并集是（ ）.A.可数； B. 不可数； C. 有限集； D.以上都不对3. 若A是有限集或可数集,B是不可数集,则（）.A. A B是可数；B. A B是不可数；C. A B=c ； D.A -B.4. 设f （x）是定义在E: n上的实函数，则下列式子不成立的是（ ）.二 1 : 1A. E f _a 7 E f a -一 ； B. E f a儿 E f _ a -心 nn

2、m nQOOOC. Efi$二 Ef n ； D. Ef_a二 E lim mEn ；B.mlUEn=lim mEn；IZ丿n_sc丿n_scZooXf oCC. mn En lim mEn;D.mnEn=lim mEn. lim mEn ；B.muEn=lim mEn;2 丿nCw丿n&C/oOf QOC. mn En lim mEn ；D.mEn=lim mEn.丿丿nSC15.设ERn, mE , ffn(x)?在E上几乎处处收敛于 f(x).则().A . : fn(x)?在E上处处收敛于f(x);B.fn (x)?在E上依测度收敛于f(x);C. Cfn(x)?在E上一致收敛于f(x

3、)；D. 存在fn(x)1的子列n/x)?,使得在E上一致收敛于f(X).16. 设f (x)是可测集E上的可测函数，则对任意的实数 a,有()A E f _a是闭集；B E f a是开集；C. E f = a是零测集；D 以上都不对17. 设 f(x)是定义在 E 上的实值函数令 f (x)=maxff(x),O?, f n(x)=mi nf(x),O?,则下述哪个说法不成立的是( )A. f (x)与f-(x)都是定义E上的非负函数；B. f (x) = f x) f(x) ,f(X)= f +(x) +f-(x)；C. E f _ 0 E f-_ 0 =;D. f (x)在E上可测二f

4、(x)与f -(x)都在E上可测.18. 设:fn (x) ?是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，则下述命题中是()错误的.A . SUpfn(X)1是可测函数；B.in f 1fn(X)1是可测函数；nnC.若 fn(x)= f(x),则 f (x)是可测的；D 若 fn(x)= f(x),则 fn(x)； f (x).19. 设在可测集 E 上 fn(x)= f(x), fn(x)= g(x).则().A. f (x) =g(x), x E ;B.f (x) = g(x), x E ;C. f (x)二 g(x) a.e.于 E ;D.f (x)d e g(x)dx .20.设f (x)

5、是可测集E上的可测函数,则f (x)是().A. Lebesgue可积函数；B.f (x)在E上几乎处处连续C.存在简单函数列 Wn(x)使n(x)T f(x) a.e于 E ； d. mEf =咼=0.21. 设f (x)是可测集E上的非负可测函数，则f(x)().A 是E上的连续函数；B 是E上的勒贝格可积函数；C.是E上的简单函数；D 在E上的积分确定.22. 设f (x)是可测集E上的有界可测函数，则().A.存在简单函数列 ：n(x)使在E上一致收敛于f (x) ; B . f(x)是E上的勒贝格可积函数C. f (x)是E上的黎曼可积函数；D . f(x)在E上的积分确定.、填空题

6、1. 设 A =1 J,11 - i =12.则U A =IL i ii42. 设 A = 0,1 J $ i =1,2,.则 n a=.3.es/ O0、U An=,eSZ O0、n An2 丿g 丿4. 设是Rn中任意一列集合,则lim An二 , lim A二.n_sc5. 设 A. = 0,1 , n = 1,2.则 lim A 二 n56. 设；*是一列集合冷Bn =oOoO则：BJ是一列互不相交的集合，且AnBn.nn7. 给出（-1,1）与（：）之间的一一对应关系 .8. 设E Rn,x0Rn,则称X是E的内点是指9.设ERn,xRn,则称X是E的外点是指10.设ERn, x0

7、Rn,则称x0是E的聚点是指11设ERn, x0 Rn,则称x0是E的孤立点是指 12.设E Rn, X。 Rn,则称x0是E的界点是指 13. 设ERn,若, 则称E是开集.14. 设ERn,若, 则称E是闭集.15. 设E,是0,1中的全部有理点，则巳在R1内的巳=, E1二，巳二16. 设 E2 =(x,y) x2 +y2 cl,求 E?在 R2 内的巳=,QE1 二 , E1 .17. 设 P表示 Cantor集,贝U P完全集；P内点;P =; mP二18. 设(X,d)是度量空间，Pn；二X ,巳 X ,则lim Pn -Po是指n_c19. 设ERn,则E的L外测度定义为：m”E

8、二其中.20. 设ERn,则称E是L可测的是指：21. 设E Rn, ffn(X)1在E上依测度收敛于f (X).则存在:fn (x) ?的子列:fni(xp，使得1 fn/x)在 E上收敛于 f(x).22. Rn中可测集的全体所成的集类是一代数.23. 设E表示(0,1)中的无理数构成的点集，则E =.24. 设E是平面上单位正方形0,10,1中坐标都是有理数的点组成的集合，则mE =.25. 设f (x)是定义在可测集E Rn上的广义实值函数，则称f (x)在E上是可测的是扌旨:.26. 函数f(x)=是不可测函数，其中.s27. 若(x)的定义域 E可分解为有限个互不相交的可测集合E,

9、E2,，Es, E =Ei ,且当i WEi时，(x) =, i =1,2/ ,s.则称f (x)是简单函数.28. 设mE ：fn(x*是E上一列几乎处处有限的可测函数；”耳fn(x)二f (x) a.e.于E,且 f (x)| a.e.于 E .则 F帝：0,三Eu E,使得 mE,而 0 ,则E是一定含有一个区间.()14.若A为可测集，且mA = 0 ,则A 一定是可数集或有限集()15.若E为R1的无界可测子集,则E的测度必为+=.()16.设A为可数集,B为有限集.则A B为可数集.()17若E是有界可测集,则mE ：;.()18.两个简单函数的代数和仍是简单函数.()19.两个简

10、单函数的积仍是简单函数.()20.设E为R1的可测子集，若mE = 0,则mE = 0 .()21.实直线上至少含有一个内点的集的外测度一定大于零()22. mE =0= E是有限集或可数集.()23.由直线上互不相交的开区间所成之集是可数集()24.任何集合上的常量函数均可测.()25.若开集g1是开集G2的真子集，则mG ： mG2.()26.设f(x), g(x)是可测集E上的可测函数，则f(x) g(x)也是E上的可测函数.()27.任何集合上的连续函数一定是可测函数.()28.函数的几乎处处相等关系是等价关系.()29.设f(x), g(x)是可测集E上的可测函数，则f(x)g(x)

11、也是E上的可测函数.()30. f (x)在E上可测：=| f (x) |在E上可测.()31.若f (x)是可测集E上的L可积函数，则f (x)是E上的有界函数.()32.零测集上的任何函数都可积，其积分值为零.()33.设f (x)是可测集E上的L可积函数，g(x)二f (x),a.e.于E,则g(x)也是E上的L可积函数，且 *g(x)dx 二 * f (x)dx .()34.设f (x), g(x)是可测集E上的可积函数，则f(x)g(x)也是E上的L可积函数.四、证明题：1. 证明：(u A 丸-B=U (AB)；(门 aJB= (AB).)7私l)虽 )朋2. 设f (x)是定义在

12、ERn上的实函数.则閃一门 Ef -al E f a ;n4 1n3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.00 -11 E f .a =； E f _a ;nA 1nQO E f = ： = E f . n;n 4f oO Ef a U E la w f ca + n】|UEf =址.2丿证明：由直线上某些互不相交的开区间作为集A的元素贝U A至多是可数集.证明:若A是有限集或可数集，B是可数集,则A B是可数集.0 证明闭包与开核之间的关系：痧E = E;SE = ( E).证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集必是可数个闭集的和集.设f

13、 (x)是(皿,心)上的实值连续函数，则VaR, e =x f (x) Aa是一开集，而F =x f (x) 3a总是一闭集.证明：f (x)为a, b上的连续函数二R,集合E=x f(x)启c与E2=x f(x)兰c都是闭集.证明：集合E可测的充要条件是对 -A E, B Ec有m”(A B) - m (A) m (B).设ERn.若一；0,存在开集G ,使得G二E ,且m”(G - E)，则E是可测集.设E- Rp,则存在G、.型集G，使得G二E ,且mG = m”E .证明：可数点集的外测度为零.若m”E =0,则E可测.设A,B为可测集，证明：mA B m A B=mA，mB.设A ；

14、= 0,1 可测，mA =1，则对任意可测集 B5 0,11,有mB二m(A B).设mA =0 , B为任一点集，则有m*(A B)二m* B .若巳上2为任意二点集，且其中之一的外侧度有限，则有m* Q - E?) - m*巳- m* E?.若 m* (巳 - E?) = m* (E? - EJ = 0,则有m*(E1 E2)=m*(E1 E2) =m* E1 = m* E2.1设可测集E R，则E上的单调函数f(x)是可测函数.20. 可测集E上的任一连续函数 f(x)是可测函数.21. 证明：若E可测，则-； 0,恒有开集G及闭集F ,使F E G，而 m(G - E)：;,m(E -

15、F)：;.22. 设ERn,若-；0，存在闭集F E ,使得m”(E - F)：；证明E是可测集.23. 设f (x)与g(x)是E上的可测函数，证明E f g是可测集.,x = E,p,q为自然数，且P为既约分数，24. 试证，黎曼函数 R(x) = q qq0, x为0,1及0,1中的无理数，是0,11上的可测函数.25. 设E = R , f (x)是E上几乎处处有限的可测函数证明：存在R上的一列连续函数*.gn(x)?，使得 lim gn (x)二 f (x)ae 于 E .n_：二26. 设mE ：, 1 fn(x)1是E上几乎处处有限的可测函数列:、fn(xp在E上几乎处处收敛于几

16、乎处处有限的函数f(x)证明：fn(x)= f(x).27. 设函数列fn (x) (n=1,2,)在有界集E上“基本上”一致收敛于f (x)，证明：ffn(x)?a.e.收敛于f(x).28. 设E是可测集.若一 0 ,存在闭子集F：二E ,使得f (x)在F上是连续函数，且 m(E F ) ：.则f (x)是E上a.e.有限的可测函数.29. 设在E上fn(x)= f (x),而fn(x)二gn(x)在E上几乎处处成立，n =1,2,则 gn(x)= f(x).30. 设mE ：,几乎处处有限的可测函数列fn(x)和gn(x) ,n =1,2,，分别依测度收敛于f(x)和 g(x)证明：f

17、n(x) gn(x)= f (x) g(x).31. 设EURq为可测集，f(x)为E上的非负可测函数.若mE = 0, L f(x)dx = 0.32. 设EURq为可测集，f(x)为E上的非负可测函数.若JEf(x)dx = 0,则f(x) = 0a.e.于E.33. 设f (x)为E上的可积函数，如果对任何有界可测函数(x)都有f(x)半(x)dx=0，则34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.f (x) =0 ae.于 E设E u Rq为可测集，f (x)为E上的非负可测函数.若0兰L f (x)dx 址，则0 二 f (x) ： ae于 E .设ERq

18、为可测集，若f (x)在E上积分确定，且 f (x)二g(x) a.e.于E ,则g(x)在E上也积分确定且 Ef(x)dx= Eg (x)dx .设(x)为可测集ERq上的非负简单函数，An爲是E的一列可测子集，满足QOA 二 A2 二 二代二代.心 且 代=E,即imAn=E,则im (x)dx = Y(x)dx .设ERq为可测集 若f (x)在E上L可积，则 f(x) 也在E上L可积且L f(x)dx 兰 * f (x) dx.设ERq为可测集，f (x)和g(x)都是E上非负可测函数，:和都是非负实数，则e: f(x) y(x)dx, f(x)dxggdx.设ERq为可测集，f (x)在E上L可积.若A，B是E的两个互不相交的可测子集，则A B f(x)dx = :A f(x)dx B f(x)dx .设ERq为可测集，L(E)，则：一；0，。使得对任何可测集 A E，只要mA：，,就有Lf(x)dxcs即对任何可测子集 A=E,有im / f(x)dx = 0 .设 f 为在E上的非负可测函数列.若lim匸fn(x)d