高三数学辅助角公式在高考三角题中的应用专题辅导

1、高三数学辅助角公式在高考三角题中的应用柳毓对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：y=as in x=bcosx.a2 b2 (si n x .a2ab2cosx b 、a2 b2）。由于上式中的 Va2 b2ba2b2的平方和为1,故可记a=cos 0 ,2 ,2 .a bbnt=sin 0,贝U 2 2.a by .a2 b2 (s in xcos 、.a2 b2 sin(x )。由此我们得到结论：cosx sin )2 2asin x+bcosx= . a b si n(x),(*)其中B由a、a2 b2cosbsin 来2 ,2.a b确定。问题，最终化为通常称式子（*

2、）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数y=Asin（ x ）+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。.求周期例1（ 2020年上海卷选）求函数 y2cos(x ) cos(x ). 3sin2x的最小正周3sin2x）+k的形式，是求周期的主要途径。期。解: y 2 cos(x )sin(x )44sin(2x)、3sin 2x2、3s in2x cos2x2si n(2x -)所以函数y的最小正周期T= n。评注：将三角式化为 y=Asi n（ x.求最值OQ，求f（x）的例2.（2020年北京市）已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin

3、4x。若 x最大值和最小值。解：f(x)=(cos 2x+si n2x)(cos2x-si n-si n2x=cos2x-s in 2x=、2s in(2x)。4由 0 w xw -w 2xw 3。2444当2x -,即x=0时，sin (2x)最小值2 ;当 2x，即 x 34442428时sin(2x-)取最大值1。从而f(x)在0,才上的最大值是1，最小值是,2。三.求单调区间x x例3. (2020年江西省)已知向量 T (2cos,tan(),a224T ,求函数f(x)在0,n 上的单调区间。 btan)，令 f (x)24解：f (x) t atan(2 4)吨 4)x sin2

4、cosx)2 2xx1 tan tan 12.2xx tan 1 tan 2112sin xcosx 2 cos2 1 2 2sinx cosx 2s in(x )o先由0wxw反之再由一wx4一 w 0w xw424w xw。4上单调递减。所以f(x)在0,上单调递增，在,但最终仍要归评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，结为三角式的变形问题。而化为y=Asin( 3 x+ )+k的形式，是求单调区间的通法。例4.求函数f(X)cos(也32x)cos(生32x)2 3sin(2x)(x R,k Z)的值域。解:f(x) cos(2k3 2x) 2 3sin( 2x)

5、2 cos(32x),-3叫2x)4si n(32x)cos cos(632x)5in64si n(2x)。2x) cos(2 k2所以函数f(x)的值域是-4 , 4。五画图象2例5. (2020年新课程)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，画出函数y=f(x)在区间上的图象。解: y f (x) 2si n2x 2sin x cosx1 cos2x sin 2x1、. 2 sin(2x)。453由条件 一w x 2x - ,43)1。4,3。2 32cos( a + )= -。34sin a =sin(-)-33=sin ()coscos(331 1 ,32)sin332）

6、，则241 3.5=。8评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sin a时，巧用凑角法:a = （a + ），并且判断出a + 的范围，进而求出3 33过程方向明确，计算简捷。COS（a +-）的确切值，使整个求值九.求系数例9.（ 2020年重庆）若函数f（x）=丄出空4si n( x)2xasin cos(2-）的最大值为2,试确2定常数a的值。解: f(x)=2cos2 x4cosxxasin cos2a . Sin x21=cosx2sin(x42其中角由sin :1a 来确定。,cos12 a1 a2由已知有12 a4 ,解得a=v.15。44=),十解三角不等式例10. (2020年全国川)已知函数f(x)=sin仪+sin2x , x 0,2 ，求使f(x)为正值的x的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+2sin(2x)。由