高中数学课件选修4-1小结3

1、第三讲圆锥曲线性质的探讨第三讲：小结圆锥曲线性质的探讨平行射影正射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线111 定理111椭圆的性质定理2椭圆和双曲线的性质基础知识归纳1正射影(1) 点A是平面a外一点，过点4向平面a作垂线，设垂足为点,那么把点称作点4在平面a的正射影.一个图形F上的各点在平面a上的正射影也组成一个图形Ff ,则图形尸 称作图形F在平面a上的正射影.(2) 个图形在一个平面上的射影与图形和平面的位置有关， 如一条直线，当它和平面a垂直时，它在平面a上的射影是一个 点；当它和平面a斜交时，它在平面a上的射影是一条直线；它和 平面a平行时，它在平面a上的射影是一条与原直线平行的直

2、线.一个圆所在平面0与平面a平行时，该圆在a上的正射影是与原 来大小相同的圆；若0与a不平行也不垂直时，圆在久上的正射影是 一个椭圆；若0与a垂直时，圆在a上的正射影是一条与直径相等的 线段.所以一个圆在一个平面上的正射影应有三种情况.(3) 正射影是平行射影的特例.2. 平行射影(1) 设直线Z与平面相交，称直线/的方向为投影方向.过点A作 平行于/的直线(称为投影线)必交Q于一点A,称点为A沿啲方 向在平面a上的平行射影.一个图形上各点在平面a上的平行射影 所组成的图形，叫做这个图形的平行射影.(2) 对于平行射影，取不同的投影方向，同一个图形的平行射 影所组成的图形也有所不同.例如，两条

3、相交直线的平行射影不 一定是相交直线，有可能是两条相交直线或一条直线；而两条平 行直线的平行射影可以是两条平行直线，一条直线或两个点.3. 平面与柱面的截线(1) 定理1,圆柱形物体的斜截口是椭圆.(2) 圆柱面截面的焦球圆柱面的截割面的两侧各有一个焦球，若截割面是圆柱面的斜截面时，两焦球与斜截面的切点恰好是截线椭圆的焦点，这两 个焦球称Dandelin双球.(3) 设截割面与圆柱面母线所成角为0两焦球的、o2,半径为人当OV0V号时，截割面与圆柱面的截线是椭圆，其 长轴长为2a=IOQ2l= 益 ,短轴长为2b=2r,焦距2c= 2fa2b2,离心率幺=cos0.(4) 用一个平面去截圆柱面

4、，其截线有三种情况：当截面与母线垂直时，截线为圆;当截面与母线平行时,截线为两条平行直线；当截面与母线不平行、不垂直时，截线为椭圆.4. 平面与圆锥面的截线(1)定理2,在空间中，取直线Z为轴，直线厂与/相交于O点， 夹角为久厂绕/旋轴得到以o为顶点，r为母线的圆锥面.任取平 面7T,若它与轴/的夹角为0(当兀与/平行时，0 = 0)，贝！J0a,平面7T与圆锥的交线为椭圆；B=a,平面龙与圆锥的 交线为抛物线；P0时，平面兀与圆锥面的交线是椭圆.【分析】利用椭圆的定义：平面内到两定点F1，尸2的距离之和为一个定值2a(2aF1F2)J点的轨迹是椭圆.【证明】女口下图，在圆锥内部嵌入Dande

5、lin双球，一个位 于平面7T的上方，一个位于平面龙的下方，并且与平面7T及圆锥均相 切.当0z时，平面兀与圆锥的交线是一个封闭曲线.设两个球与平面兀的切点分别为F1，F2,与圆锥相切于圆S, S2在截口的曲线上任取一点P,连接PF, PF2过P作母线交S1于 01，交S2于。2，于是PF1和P01是从P到上方球的两条切线，因此 PFlPQi.同理，pf2=pq2.所以 PFi +PF2=PQi +PQ2 = QiQ2-由正圆锥的对称性，0102的长度等于两圆S1，S2所在平行平 面间的平行于母线的线段的长度，与点P的位置无关.由此可知截 口的曲线是以F1，尸2为焦点的椭圆.【例2】半径为厂的球在点光源P的照射下在球的另一方投影 出一个圆锥形阴影.若P点与球心O的距离为/I,现在圆锥阴影处 放置一平面加使OP与平面兀的夹角为，则当h=2r, 0=30。时，求球在平面兀上投影的形状及离心 率；(2)当力，r, 0满足什么条件时，球在平面龙上的投影的形状是 双曲线，椭圆？【分析】本题可以利用定理2作答.【解】画出平面示意图，如下:设OP与锥母线的夹角为久当h = 0P=2r时，sina=2, -=30-又岁=30, :.p=a.故球在平面兀上的投影为抛物线，其离心率(2)当0va时，球在平面tt上的投影是双曲线,/ 0/zsin时，球在平面兀上的投影