高一数学教案：苏教版高一数学等差数列的前n项和1

1、第五课时 等差数列的前n项和(一)教学目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识教学重点：等差数列前n项和公式的推导、理解及应用 .教学难点：灵活应用等差数列前 n项公式解决一些简单的有关问题 .教学过程： I 复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：(1) an an-1 = d(n 1), d 为常数.(2) 若a, A, b为等差数列，则(3) 若 m+ n = p + q,贝V am+ an= ap+ aq.(其中 m, n, p, q 均为正整数) n 讲授新课随着学习数列的

2、深入，我们经常会遇到这样的问题例：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔这是一堆放铅笔的 V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意 图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系， 而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数那么，这个 V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决 呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1 + 2+ 3 + 100 = ?对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是

3、怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1+ 100 = 101，第2项与倒数第2项的和：2+ 99 = 101，第3项与倒数第3项的和：3+ 98 = 101，第50项与倒数第50项的和：50 + 51= 101，于是所求的和是 10仁亏 =5050.这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3,n,的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差 数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解设等差数列an的前n项和为Sn,

4、即卩Sn= a1 + a2+ a*把项的次序反过来，Sn又可写成Sn= an+ a.-1+玄1 + 2Sn= (a1+ an) + (a2+ an- 1)+ + (an+ a1)又t a2+ an1 = a3+ an2= a4 + an3 = = an+ a1 - 2Sn = n( a1 + an)即: Sn= n ( a1+ an)若根据等差数列an的通项公式，Sn可写为： Sn=a1+(a1+d)+ +a1+( n 1)d，把项的次 序反过来，Sn又可写为：Sn=an+(an d)+心.一(n 1)d，把、两边分别相加，得n个_,2Sn= (a1an) 1 an)亠 亠 an) = n(a

5、1 + an)由此可得等差数列an的前n项和的公式Sn=(引+即: Sn= n ( a1+ an).2 也就是说，等差数列的前 n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半又T an= a1+(n 1)d,c n (a1 + an) Sn=用这个公式来计算1 + 2+ 3+ - + 100 =?我们有S100= 100 ( 丁 100)= 5050.na1 + a1+( n 1) d) n (n 1)=na1+2 d小 n (a1 + an)-2 * * Sn=2有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决? 分析题意可知，这个 V形架上共放着120层铅笔，可记为an，其

6、中 a1 = 1, a120= 120, n = 120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列an，其中n ( n 1)或 Sn= na1 +2 d且自上而下各层的铅笔成等差数列,n = 120, ai = 1, ai20= 120.则：S120= 120 (吁 120)= 726054?(2)已知 a6= 20,求 Sii.ai, ai6, d,但由等差数分析：(1)由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出列的性质，可以直接利用条件求出ai+ ai6的和，于是问题得以解决(2)要求Sii只需知道ai + an即可，而ai与的等差中项恰好是a6,从而问题获解解：(i)T a2 + ai5=

7、85+ ai2= ai + ai6= i8i6 (ai + ai6)2=8X i8= i44.(2ai + aii= 2a6(ai + aii)2=iia6= iix 20= 220.例2有一项数为2n+ i的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比分析一：利用Sn = nai +n (n i)2d解题.解法一：设该数列的首项为ai，公差为d,奇数项为 ai, ai + 2d，其和为 S|，共n+ i项；偶数项为ai + d, ai + 3d,ai + 5d,，其和为S2,共n项.分析二：利用 Sn=n (ai+ an)解题. SiS2(n+ n (ai + d) + 2 n ( n i)

8、2d ai + 2 (n+ i) (n+ i) i2d n + i解法二：由解法一知:Si=(ai + a2n +1)2n (a2+ a2n)2._.Sin + i-ai+ a2n+i = a2+ a2n/= 、S2n例3若两个等差数列的前n项和之比是(7n + i)： (4n+ 27)，试求它们的第ii项之比分析一：利用性质 m + n = p + q= am+ an= ap+ aq解题.解法一：设数列an的前n项和为Sn,数列5的前n项和为Tnai+ a2iibi+ b2i则：aii2,bii =2，ai + a2iai + a2i.aii22 2iS2i7 X2i + i4bii bi+

9、 b2ibi + b2iT2i=4 X2i + 27 =322 2i分析二：利用等差数列前n项和Sn = An2+Bn解题.解法二：由题设，令 Sn= (7n+ i) nk, Tn= (4n+ 27) nk 由 an= Sn Si -1 = k(i4n 6)，得 aii= i48k, n2 bn= Tn Tn-i= k(8n 23),得 bii= iiik, n2,2 a11bn评述：对本例,则：148k _ 4iiik =3 .般性的结论有：已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和G ,(1)anS2n-1am2n 1bn T2n-1 ； (2) bn 2m - 14等差数列an的前m项

10、和为B.170S2m 1T2n 1 .30,前2m项和为100，则它的前 3m项和为C.210D.260 答案：C例A.30分析一：把问题特殊化，即命m=1来解.解法一：取 m= 1，贝V a1 = S1 = 30, a? = S2 S| = 70- d = a2 a1 = 40, a3= a2+ d= 70 + 40= 110, S3 = a1 + a2 + a3= 210 分析二：利用等差数列的前n项和公式Sn= na1+ n (； 1 d进行求解.解法二：由已知，得m (m1)Sm = ma1+d = 3022m ( 2m 1)S2m= 2ma1+d = 100解得a1 = +马,d =

11、玛mm m S2m= 3mai + 3m( 3m 1)d= 210.分析三：借助等差数列的前n项和公式Sn=n (ai + an)及性质 m+ n= p+am+ an=ap + aq 求解.ym (ai+ am)= 60 m (a1 + a2m )= 100解法三：由已知得m丄am)2S3m (a1 + a3m)= 2S3m a3m a2m= a2m am由一及一结合，得S3m = 210.分析四：根据性质：“已知an成等差数列， (k 2)成等差数列”解题.解法四：根据上述性质，知Sm, S2m Sm,故 Sm+ (S3m S2m) = 2( S2m Sm),-S3m = 3(Sm Sm)

12、= 210.分析五：根据 Sn= an2 + bn求解.解法五： a.为等差数列，设 0 = a 们2 + b ,2 2 Sm= am + bm = 30, S2m= 4m a+ 2mb= 100 得 a 20 h 10得 a=2 , b=mm则 Sn, En Sn, 3n En,，Skn S(k-1)n ,S3m Em成等差数列. S3m= 9m a+ 3mb= 210.分析六：运用等差数列求和公式，Sn= nai + n1）d的变形式解题解法六：由 Sn= nai + “（门? 1）d，即学=ai + d由此可知数列哼也成等差数列，也即詈，Sm，S3m成等差数列. 由 Sm = m + S

13、m，Sm= 30, S2m= 100 - S3m= 21.评述：一般地，对于等差数列 am中，有Sp- 4p- qSp+ qp+ q(p 丰 q).10个数的和., X10, b成等差10a+ b11- S= 10x1 +10 X92d= 10 10a + b1110 9+ 2b a11=5(a + b)例5在a, b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这 分析：求解的关键有二：其一是求和公式的选择；其二是用好等差数列的性质 解法一：设插入的10个数依次为X1,X2,X3,，X10,贝ya,X1 ,X2,数列.令S= x1 + x2+ x3+ x10,需求出首项 x1和公差d.t

14、b = a12= a1 + 11db ab a-d=7T，x1 = a+ IT解法二：设法同上，但不求d.依x1 + x10= a+ b10 (X1+ X10)2=5(a+ b)解法三：设法同上，正难则反S= S12 (a+ b)=12 (a+ b)2(a + b) = 5(a + b)评述：求和问题灵活多变，要注意理解和运用.5 的等差数列,且最小角是例6在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为 120,试问它是几边形？解：设这是一个n边形，则“n( n 1)0,、0Sm= nX1200+ 50=( n-2) X18001200+( n 1)5v 180f 2n2 25n+ 144= 0活V 13所以这是一个九边形 川.课堂练习课本P42练习1, 2, 3, 4.IV 课时小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前Sn =n (ai + a*)2=n ai +n (n 1)2n项和公式：d及其获取思路v 课后作业课本P45习题 1, 2, 32答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.下面我们再来看一例题：等差数列一10, 6, - 2, 2,前多少项