不定积分的概念及其性质

1、2021/6/161Nove. 30 Mon. 第四章第四章 不定积分不定积分v不定积分的概念及性质；不定积分的概念及性质；v不定积分的换元法；不定积分的换元法；v不定积分的分部积分法；不定积分的分部积分法；v有理函数不定积分有理函数不定积分.2021/6/162微积分产生的原因微积分产生的原因: :1. 1. 求物体在任意时刻的速度和加速度；求物体在任意时刻的速度和加速度；2. 2. 求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向；求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向；3. 3. 求最大值和最小值：求最大值和最小值： 获得炮弹射程最大的发射角问题；获得炮弹射程最大的发射角问题； 行星离开太阳的最远

2、和最近距离问题；行星离开太阳的最远和最近距离问题；4.4.微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围 成的体积，物体重心。成的体积，物体重心。2021/6/163一元函数积分学基本问题一元函数积分学基本问题 由此引出由此引出原函数与不定积分原函数与不定积分的概念；的概念；)()()(, )(. 1xfxFxFxf ，使得，使得寻找可导函数寻找可导函数对于给定函数对于给定函数2. 2. 计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷 累加问题。累加问题。 由此引出由此引出定积分定积分的概念。的概念。2021/6/

3、164定积分定积分不定积分不定积分Newton Leibnize Newton Leibnize 公式公式(17(17世纪世纪) )一个函数的定积分可以通过计算它的原函数一个函数的定积分可以通过计算它的原函数而方便的计算出来。而方便的计算出来。原函数的存在性又可以由定积分决定。原函数的存在性又可以由定积分决定。2021/6/1651 1 不定积分的概念及其性质不定积分的概念及其性质v原函数及不定积分原函数及不定积分v不定积分的几何意义；不定积分的几何意义；v基本积分表；基本积分表；v不定积分的性质。不定积分的性质。2021/6/166一一. . 原函数原函数(primitive functio

4、n)(primitive function)与不定积分与不定积分定义：定义：( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(indefinite integral)( )( )( )Xf xF xFxf xxXdF xf x dxF xf xf xf xf x dxf xf x 在在区区间间 （有有限限或或无无穷穷）上上给给定定函函数数，若若，使使得得：，或或则则称称是是的的一一个个原原函函数数，的的全全部部原原函函数数称称为为的的不不定定积积分分，记记作作：若若存存在在原原函函数数，也也称称可可积积。2021/6/167),(,2 xxy例例31ax次次，所所以以原原函函数数应

5、应为为数数降降低低根根据据求求导导数数时时幂幂函函数数次次23ax )(3 ax2x 31 a的的一一个个原原函函数数。是是2331xxy 的的原原函函数数。也也是是任任意意常常数数且且233)(31,131xCCxx 问题：问题：(1) (1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2) (2) 若不唯一若不唯一, ,它们之间有什么联系？它们之间有什么联系？2021/6/168定理定理：为为任任意意常常数数。其其中中所所有有原原函函数数为为的的一一个个原原函函数数，则则是是设设CCxFdxxfxfxF )()()()()()()(xFCxF 证明：证明：)(xf 的的原原函函数数。为为即即对对任

6、任意意常常数数)()(,xfCxFC )()()()(xfxGxfxG 的的另另一一原原函函数数，即即为为设设再证它是全部原函数。再证它是全部原函数。0)()() )()( xfxfxFxG则则CxFxG )()(即即( )F xC任任何何一一个个原原函函数数总总可可以以由由加加一一个个常常数数得得到到。2021/6/169任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量2021/6/1610原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. .内内连连续续，在在区区间间如如果果函函数数Ixf)(都都有有使使内内存

7、存在在可可导导函函数数那那么么在在区区间间,),(IxxFI ).()(xfxF 2021/6/1611例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx2021/6/1612)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xfxxfd)( 的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族的平行曲线族.yxo0 x的的积分曲线积分曲线 . 二二. . 不定积分的几何意义不定积分的几何意义2021/6/1613。，试试求求物物体体下下落落的的规规律律，初初速速度度为

8、为时时的的位位置置为为已已知知一一物物体体自自由由下下落落，例例000vst 解：解：解解得得则则，加加速速度度为为,gdtdvg Cgtgdttv )(决定，决定，不能任意取，它由初值不能任意取，它由初值这里这里 CCgvt 000时时，0vC 0)(vgttv 0vgtvdtds 又又由由于于 dtvgtts)()(010221Ctvgt 2021/6/1614 00)()(yyxfxyxx简单的初值问题简单的初值问题(initial problem)(initial problem)：10)(0Cstst 时时，00221)(stvgtts 2021/6/1615三三. . 基本积分表基

9、本积分表实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式. .)1( 2021/6/1616由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的. .2021/6/1617基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数

10、); ););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)3( Cxxdx说明：说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx2021/6/1618 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 2021/6/1619 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)1

11、3(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 2021/6/1620例例 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2 2）Cxdxx 11 2021/6/1621积分表与微分表不同，不能给出基本初等积分表与微分表不同，不能给出基本初等函数的积分公式，而只给出原函数为基本函数的积分公式，而只给出原函数为基本初等函数的积分公式。初等函数的积分公式。由导数的运算法则，可得积分的运算法则由导数的运算法则，可得积分的运算法则. .2021/6/1622四四. . 不定积分的性质不

12、定积分的性质可积，可积，设设)(),()1(xgxf;)()()()( dxxgdxxfdxxgxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况） CxFdxxf)()()()(xfxF 或或 CxGdxxg)()()()(xgxG 或或 )()( xGxF)()(xgxf 有不定积分，且有不定积分，且即即)()(xgxf dxxgdxxfdxxgxf)()()()(证明：证明： 由条件由条件2021/6/1623 dxxkfxf)()()2(可积，可积，.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k CxFdxxf)()()()(xfxF 或或)( )(xFk

13、xkF )(xkf 可积，且可积，且即即)(xkf.)()( dxxfkdxxkf证明：证明： 由条件由条件2021/6/1624Nove. 13 Wed. Review1. 1. 原函数与不定积分的概念：原函数与不定积分的概念：的一个原函数。的一个原函数。为为为常数，为常数，)()()()(xfxFCCxFdxxf )()()()().2)()()()().1xfdxxfdxxfdxxfdCxFdxxfdxxfxdF 或或3. 3. 不定积分与微分的关系：不定积分与微分的关系：2. 2. 几何意义：几何意义：是积分曲线族。是积分曲线族。的积分曲线，不定积分的积分曲线，不定积分原函数称为原函数

14、称为)(xf2021/6/1625 dxxgdxxfdxxgxfkdxxfkdxxkf)()()()().)()()().2014. 4. 基本积分表；基本积分表；5. 5. 不定积分的性质：不定积分的性质：2021/6/1626；例例dxxx 211)(.解：解：dxxxx 122dxxx 21)(；dxxxx )(2121232Cxxx 1211211231211211122311Cxxx 2345223252021/6/1627；例例 dxxx212)(.解：解：dxxxx 122dxxx 21)(；dxxx )(12Cxxx |ln22122021/6/1628；例例 xdx23tan

15、.解：解：dxxx 22cossindxx 2tan；dxxx 221coscosdxx )(sec12Cxx tan2021/6/1629 ；例例xxdx224cossin.解：解： xxdx22cossin；dxxx)sincos(2211 Cxx cottandxxxxx 2222cossincossin2021/6/1630解解：315.d .1xxexe 例例求求不不定定积积分分 xeexxd113 xeexxd)(11)(12 xxeexeexxd)(12 Cxeexx 2212021/6/1631 ；例例646xxdx.解：解： 64xxdx42211(1)dxdxxxx 422

16、1111dxdxxxx 22421(1)xxdxxxCxxx arctan13312021/6/1632；例例 dxxxx325327.解：解：dxxxx 32532dxdxx )(3252Cxx )/ln()/(3232522021/6/16338.( )(0,)1(1)0(tan )( )sin2f xffxf xx 例例设设函函数数定定义义于于上上，并并且且满满足足条条件件，求求。xxf2sin1)(tan 解：解：xxcossin21 xxtan2sec2 tttftx21)(,tan2 则则令令xxtan2tan12 由题设由题设 dttttf21)(2于于是是 dtttdt1212

17、1Ctt |ln21420)1( f由由41 C0|,|ln2141)(2 xxxxf2021/6/1634。，求求设设例例 dxxxPaxaxaxaxPnnnnn11110)1()(. 9解：(1)1P xx将将函函数数在在处处展展开开得得：nnxnPxPxPPxP!)1(! 2)1()1()1()1()(2 nkkkxkP0)(!)1( dxxxPn 1)1( nknkkdxxkP01)()!)1( nknkkdxxkP01)(!)1( )2(2)02(1)(1)ln|!2(2)!kknnnkk nPxPxCkknn 2021/6/1635.,1d1d1.102222BAxxBxxAxxx

18、，求求已已知知例例 解解: 221xx22211xxAxA 21xB 2212xxABA )( 120ABA 2121BA求求导导，得得等等式式两两边边对对 x2021/6/1636小小 结结3.3.基本积分表基本积分表(1).(1).5.不定积分的性质不定积分的性质.1. 1. 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 2.不定积分的概念：不定积分的概念： CxFdxxf)()(4.求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系.HwHw：p258 1(p258 1(双双), 2), 2。2021/6/1637,ch2xxeex 2xxeex sh思考与练习思考与练习1. 1. 证明证

19、明 xexeexxxch,sh,221.shch的的原原函函数数都都是是xxex 2. 2. 若若则则的原函数的原函数是是,)(xfex d)(ln xxfx2提示提示:xe )()( xexfxeln )(ln xfx1 Cx 221提示提示:2021/6/16383. 若若)(xf是是xe 的原函数的原函数 , , 则则 xxxfd)(ln提示提示: 已知已知xexf )(0Cexfx )(01Cxxf )(lnxCxxxf021 )(lnCxCx ln012021/6/16394. 4. 若若)(xf;sin)(xA 1;sin)(xB 1的导函数为的导函数为,sin x则则)(xf的一