2019-2020学年江苏省南京市高一下期末数学试卷((有答案))

1、江苏省南京市高一第二学期期末考试数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. （ 5分）直线y=:；x-2的倾斜角大小为.2. （5分）若数列an满足ai=1，且an+i=2an, n N*，则a6的值为.3. （5分）直线3x-4y- 12=0在x轴、y轴上的截距之和为 .4. （5分）在厶ABC中，若a出，b=J，A=120,贝U B的大小为.5. （5分）不等式（x- 1） （x+2）v 0的解集是.6. （5分）函数y=sinx- cosx的最大值为.7. （5分）若函数y=x+丄，x （-2，+1，则该函数的最小值为宜+28. （5分）如图，若正四棱锥 P- ABCD

2、的底面边长为2，斜高为一 ，则该正四棱锥的体积孚，耳L），贝U cos B的值为10. （5分）已知a，b，c是三条不同的直线，a，丫是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 若a丄c, b丄c，贝U a II b ； 若a丄yB丄Y贝U all B； 若a丄a, b丄a，则al b； 若a丄a， a丄B,贝U all11. （5分）设等比数列an的公比q,前n项和为& .若9, 9, 成等差数列，则实数q的 值为.12. （5分）已知关于x的不等式（x- 1） （x-2a） 0 （a R）的解集为A,集合B=（2, 3）.若B? A,贝U a的取值范围为.13. （5 分）已知数列an满

3、足 a1=1，且 an+1- an=2n, n N*，若+19y 0,且+=1,则x+y的最小值为二、解答题(共6小题，满分90分)15. ( 14 分)已知 sin a=，a(=, n).52(1 )求 sin (一- a)的值；&(2 )求tan2 a的值.16. (14分)如图，直三棱柱 ABC- A1B1C1中，CA=CB M , N, P分别为AB, A1C1, BC的中点. 求证：(1) GP/平面MNC;(2)平面MNC丄平面ABB1A1.17. (14分)已知三角形的顶点分别为 A (- 1 , 3), B (3, 2) , C (1 , 0)(1 )求BC边上高的长度；(2)

4、若直线I过点C,且在I上不存在到A , B两点的距离相等的点，求直线I的方程.18. (16分)如图,在圆内接厶ABC, A , B , C所对的边分别为a , b , c ,满足acosC+ccosA=2bcosB(1 )求B的大小；(2)若点D是劣弧上一点,AB=3, BC=2, AD=1 ,求四边形ABCD的面积.19. (16分)某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画.如图，该电梯的高AB为4米,它所占水平地面的长 AC为8米.该广告画最高点E到地面的距离为10.5米.最低点D到地面的距离6.5米.假设某人的眼睛到脚底的距离 MN为1.5米,他竖直站在此电梯上观看

5、DE的视角为9.(1) 设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离;(2) 此人到直线EC的距离为多少米，视角9最大？ED4GBHCA20. (16分)已知等差数列an和等比数列bn,其中an的公差不为0设Sn是数列an的前n项和.若ai, az, a5是数列bn的前3项，且$=16.若数列为等差数列，求实数t;(1 )求数列an和bn的通项公式;(2)(3)构造数列 a1, b1, a2, b1, b2, a3, b1, b2, b3,，ak, b1, b2,，bk,，若该数列前 n项和Tn=1821，求n的值.江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共

6、14小题，每小题5分，满分70分）1. （5分）直线y=；x- 2的倾斜角大小为 60.【解答】解：由题意得：直线的斜率是：k=；,设倾斜角等于a,贝U 0 0 y=x+=x+2+ - - 22- 2=6- 2=4,当且仅当 x=1 时取等号,k+2w+2K+2故该函数的最小值为4,故答案为：48. （5分）如图，若正四棱锥 P- ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为【解答】解：如图，正四棱锥的高PO,斜高PE,则有 PO= $ ： 1-正四棱锥的体积为v丄二卜.1=2 ； 7 ： ?:rJ1I故答案为:C9.(5分)若 sin (5，旺（辛，晋），则cos。的值为丄磐【解答】

7、解:13利用和与差构造即可求解. 9(TT，), cos 十.那么：cos 0 =cQs (肝 )-=cos ()333亠X丄湮X卫空竺1321326.兀cos3+sinsin ( 0+故答案为：-.10. （5分）已知a, b, c是三条不同的直线，a, B, 丫是三个不同的平面，那么下列命题中正 确的序号为.若a丄c, b丄c,贝U a/ b；若a丄y 肚y贝U all B;若 a丄a, b丄a,贝U a / b；若 a丄a, a丄 B 贝U all B【解答】解：由a , b , c是三条不同的直线，a , B 丫是三个不同的平面，知：在中，若a丄c , b丄c ,则a与b相交、平行或异

8、面，故错误；在中，若a丄Y B丄Y则a与B相交或平行，故错误；在中，若a丄a, b a,则由线面垂直的性质定理得 a/ b,故正确； 在中，若a丄a , a丄B则由面面平行的判定定理得 all B故正确.+19W 3n对任意n N*都+19W 3n,化为：/WW=f (n).1+ an幕+19W3n对任意n C N*都成立？庄f(n)min，=2n- 1.故答案为：.11. (5分)设等比数列&的公比q,前n项和为S 若3,，S4成等差数列，则实数q的 值为 -2.【解答】解：T S3, S2, S成等差数列，二29=S3+,. 2a3+a4=0,可得q= - 2.故答案为：-2.12. (5

9、分)已知关于x的不等式(x- 1) (x-2a) 0 (a R)的解集为A,集合B=(2, 3).若B? A,贝U a的取值范围为(-x, 1.【解答】解：关于x的不等式(x- 1) (x-2a)0 (a R)的解集为A,2a 1 时，A=(-x, 1)U( 2a, +) , t B? A,a 2al2a7 时，f (n)0.(3n-16)- 2n+1(3n-19)- 2nC3n-13? 2n 1616= 16f (n+1)- f (n)解得nWf (2) f (3) f (4) f (5)v f (6),可得 f （n） min=f （5） = - 8.则实数入的取值范围为（-8,- 8.故

10、答案为：（-8,- 8.14. （5分）若实数x, y满足xy 0,且+=1，则x+y的最小值为_丄承r 3【解答】解：实数x, y满足xy0,且+=1,MT x-F2y=-Jx-y Hzy则 x+y=(x予)十令(*y) =y (z-y)+2 (s+2y)乂阳防玄匡匸或享）oVx+2y当且仅当y亨,x詈时取等号. 故答案为：丄.3二、解答题（共6小题，满分90分）15. （14 分）已知 sin O=, a （ , n）.52（1 ）求sin （-a）的值；(2 )求tan2 a的值.【解答】解:an.-COS atan a1 1Jcos 14=1 -： ：=可得:a)(1) sin=siC

11、OS a CO sin a丄 x& 6 24+3310(2) tan2-.1 J11 -tan2 a _224716. （14分）如图，直三棱柱 ABC- A1B1C1中，CA=CB M , N, P分别为AB, A1C1, BC的中点. 求证：（1） GP/平面MNC;（2）平面MNC丄平面ABB1A1.【解答】证明：(1)连接MP,因为M、P分别为AB, BC的中点 MP/ AC, MP丄厂，又因为在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，二AC/ A1C1, AC=ACi且 N 是 A1C1 的中点，二 MP/ GN, MP=GN四边形MPGN是平行四边形，二CiP/ MN6?面 MNC,

12、MN?面 MNC,a C1P/平面 MNC;(2)在厶ABC中，CA=CB M为AB的中点，二CM丄AB.在直三棱柱ABC- A1B1C1中，B1B丄面ABC. CM?面 ABC, BB 丄 CM由因为 BB n AB=B BBi, AB?平面面 ABB1A1又CM?平面MNC,平面MNC丄平面ABBA1.17. (14分)已知三角形的顶点分别为 A (- 1 , 3), B (3, 2), C (1, 0)(1 )求BC边上高的长度；(2)若直线I过点C,且在I上不存在到A, B两点的距离相等的点，求直线I的方程.【解答】解：(1 )三角形的顶点分别为A (- 1, 3), B (3, 2)

13、, C (1, 0), BC的斜率为二一=1,故直线BC的方程为y-0=1? (X- 1),即x-y-仁0,3丄故BC边上高的长度即点A到直线BC的距离，即.Vi3+(-i)2(2)直线I过点C,且在I上不存在到A, B两点的距离相等的点，直线I垂直于线段AB,故直线I的斜率为=% -=4,故直线 I 的方程为 y- 0=4? (x- 1),即 4x-y- 4=0.18. (16分)如图，在圆内接厶ABC, A, B, C所对的边分别为a, b, c,满足acosC+ccosA=2bcosB(1 )求B的大小;由正弦定理，可得 sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB得 sinB

14、=2sinBcosBTO v Bv n, si nBM 0,二 cosB二,2即Bj .(2)在厶 ABC中，AB=3, BC=2 B丄.3兀 JaB2+BC2-AC2 +4-AC2IT3由余弦定理，cos3可得：AC=：.在 ADC中, AC= _, AD=1, ABCD在圆上, t B丄.3/ ADC .3一 -ad2+dc2-a.c2 .l+DC2-7s:2AD-DC2DC由余弦定理,AB?BC?s心=2J；3解得：DC=2 四边形 ABCD的面积 S=SABC+SADCAD?DC?si19. (16分)某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画.如图，该电梯的高AB为

15、4米，它所占水平地面的长 AC为8米.该广告画最高点E到地面的距离为10.5 米.最低点D到地面的距离6.5米.假设某人的眼睛到脚底的距离 MN为1.5米，他竖直站在 此电梯上观看DE的视角为9.(1) 设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离;(2) 此人到直线EC的距离为多少米，视角B最大？【解答】解：(1)由题意可知MG=CH=x由厶CHNA CAB可得，即丄,AB AC 48 NH仝,2 M到地面的距离 MH=MN+NH .2(2) DG=CD- CG=CD- MH=_ 兰， tan /同理EG=9-GD-5亠瓷 2 .5-xKX=2k，曲呻18-k5-s=2x26=1

16、4-5-K 5x-23rf90905x4-232x2kX tan 0 =tan( / EMG / DMG)TOvx 8， 5x+Ji=30.二，当且仅当 5x二-当x=3时，tan 0取得最大值，即0取得最大值.20. (16分)已知等差数列an和等比数列bn，其中an的公差不为0.设Sh是数列an的前n项和.若ai，a2，a5是数列bn的前3项，且=16.若数列为等差数列，求实数t;(1)求数列an和bn的通项公式;，ak， b1， b2，bk，若该数列前(2)(3)构造数列 a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3, n项和Tn=1821，求n的值.【解答】解：（1 ）设an的公差d工0.v ai, a2, a5是数列bn的前3项，且S4=16.秦二5驻即冷i+d）乙切（时显），4ai灼$d=16，解得 ai=1, d=2, -an=1+ (n - 1 )x 2=2n - 1.b1=1, b2=3,公比 q=3.bn=3n 1.咛1-1fSn-1 ft(2) Sn=*4 -1数列；二为等差数列,-v4X22-i_ 323+t