数学建模方红教学课件12.模糊集

1、第一讲第一讲 模糊集合及其运算模糊集合及其运算 一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集合：集合：具有某种特定属性的对象集体。具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母通常用大写字母a、b、c等表示。等表示。论域：论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母通常用大写字母u、v、x、y等表示。等表示。论域论域u中的每个对象中的每个对象u称为称为u的的元素元素。在论域在论域u中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合a，则必有，则必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：au au ),

2、( 1 , 0:uuuaa 其中其中 auauua , 0 , 1)( 函数函数 称为集合称为集合a的特征函数。的特征函数。a 二、模糊集合及其运算二、模糊集合及其运算美国控制论专家美国控制论专家zadeh教授正视了经典集合描述的教授正视了经典集合描述的“非此即彼非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是概念并非都是“非此即彼非此即彼”那么简单，而概念的差异常以那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼亦此亦彼”的模糊现象。的模糊现象。基于此，基于此，1965年，年， zadeh教授在教授在i

3、nformation and control杂志上发表了一篇开创性论文杂志上发表了一篇开创性论文“fuzzy sets”,标志着模糊数学的诞生。标志着模糊数学的诞生。1、模糊子集、模糊子集定义：定义：设设u是论域，称映射是论域，称映射1 , 0)( ,1 , 0: xxuaa 确定了一个确定了一个u上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 称为称为 隶属函隶属函aa a数数， 称为称为 对对 的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。)(xa xa模糊子集模糊子集 由隶属函数由隶属函数 唯一确定，故认为二者唯一确定，故认为二者aa 是等同的。为简单见，通常用是等同的。为简单见，通常用a来表示

4、来表示 和和 。aa 模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）zadeh表示法表示法nnxxaxxaxxaa)()()(2211 这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集a的隶属度是的隶属度是 。iixxa)(ix)(ixa如如“将一将一1,2,3,4组成一个小数的集合组成一个小数的集合”可表示为可表示为4032 . 028 . 011 a可省略可省略（3）向量表示法）向量表示法)(,),(),(21nxaxaxaa （2）序偶表示法）序偶表示法)(,( ,),(,(),(,(2211nnxaxxaxxaxa 若论域若论域u为无限集，其上的模糊集表示为：为

5、无限集，其上的模糊集表示为： uxxxaa)(2、模糊集的运算、模糊集的运算定义：定义：设设a，b是论域是论域u的两个模糊子集，定义的两个模糊子集，定义相等：相等：uxxbxaba ),()(包含：包含：uxxbxaba ),()(并：并：uxxbxaxba ),()()(交：交：uxxbxaxba ),()()(余：余：uxxaxac ),(1)( 表示取大；表示取大； 表示取小。表示取小。 3、模糊矩阵、模糊矩阵定义：定义：设设 称称r为为模糊矩阵模糊矩阵。, 10 ,)( ijnmijrrr当当 只取只取0或或1时，称时，称r为为布尔（布尔（boole）矩阵）矩阵。ijr当模糊方阵当模糊

6、方阵 的对角线上的元素的对角线上的元素 都为都为1时，时，nnijrr )(ijr称称r为为模糊自反矩阵模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间的关系及运算）模糊矩阵间的关系及运算定义定义：设：设 都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义nmijnmijbbaa )(,)(相等：相等：ijijbaba 包含：包含：ijijbaba 并：并：nmijijbaba )(交：交：nmijijbaba )(余：余：nmijcaa )1(例：例：则则设设,2 . 03 . 004 . 0,3 . 02 . 01 . 01 ba 3 . 03 . 01 . 01ba 2 . 02 . 004 . 0ba 7 . 08

7、. 09 . 00ca 8 . 07 . 016 . 0cb（2）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：定义：设设 称模糊矩阵称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbbaa nmijcba )(为为a与与b的合成，其中的合成，其中 。1)max(skbackjikij 例：例：则则设设,6 . 04 . 02 . 05 . 03 . 01 . 0,3 . 06 . 02 . 05 . 01 . 04 . 0 ba 3 . 03 . 06 . 05 . 0ba 5 . 05 . 04 . 03 . 03 . 03 . 02 . 02 . 01 . 0ab（3）模糊矩阵的转置）模糊矩阵的转置定义：定

8、义：设设 称称 为为a的的,)(nmijaa nmtijtaa )(转置矩阵，其中转置矩阵，其中 。jitijaa （4）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵 定义：定义：设设 对任意的对任意的 称称,)(nmijaa ,1 , 0 nmijaa )()( 为模糊矩阵为模糊矩阵a的的 截矩阵，其中截矩阵，其中 ijijijaaa , 0 , 1)(例：例：则则设设,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 01 a 11001100001100115 . 0a 11001100001000018 . 0a三、隶属函数的确定三、隶

9、属函数的确定1、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素：（1）论域）论域u；（2）u中的一个固定元素中的一个固定元素;0u（3）u中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合;*a（4）u中的一个以中的一个以 作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集a，*a制约着制约着 的运动。的运动。 可以覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖*a*a,0u,0u致使致使 对对a的隶属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。0u特点：在各次试验中，特点：在各次试验中， 是固定的，而是固定的，而 在随机变动。在随机变动。0u*a模糊统计试验过程：模糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出nauau的次数的次数的隶属频率的隶属频率对对*00 （2）随着）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nauuan的次数的次数*00lim)( 0u对对a的隶属度：的隶属度：2、指派方法、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。3、其它方