数学分析讲义

1、数学分析讲义第一章第一章 函数函数1.1 函数 一、函数概念 二、函数的四则运算 三、函数的图象 四、数列1.2 四类具有特殊性质的函数 一、有界函数 二、单调函数 三、奇函数与偶函数 四、周期函数1.3 复合函数与反函数 一、复合函数 二、反函数 三、初等函数数学分析讲义 1.1 函数函数 函数是整个高等数学中最基本的研究对象，可以说数学分析就是研究函数的，因此我们对函数的概念以及常见的一些函数有一个清楚的认识。一、函数概念一、函数概念 例1.真空中自由落体，物体下落的时间 t 与下落的距离 s 互相联系着.如果物体距地面的高度为 h ，都对应一个距离 s . 已知 t 与 s 之间的对应关

2、系是其中g是重力加速度，是常数.2,0ght 221gts 数学分析讲义 1.1 函数函数 例2.在气压为101.325 kPa 时，温度 T 与水的体积 V 互相联系着 . 实测如下表：T/10002468101214V/cm310099.9999.98799.9999.998100.012100.032100.057对0,2,4,6,8,10,12,14中每个温度 T 都对应唯一一个体积 V ，已知 T 与 V 的对应关系用上面的表格表示.xyyxxyRxsin,sin3.对应关系是：之间的与即都对应唯一一个数例数学分析讲义 1.1 函数函数l函数的定义数学分析讲义 1.1 函数函数l关于

3、函数概念的几点说名f( )xf(x )Sin( )xSin(x)数学分析讲义 1.1 函数函数数学分析讲义 1.1 函数函数二、函数的四则运算数学分析讲义 1.1 函数函数三、函数的图象三、函数的图象 010001sgnxxxxy当当当当当当符号函数符号函数:1-1xyo 是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo狄利克雷函数狄利克雷函数:数学分析讲义 1.1 函数函数四、数列四、数列数列的定义数列的定义:数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数 一、有界函数一、有界函数 数学分析讲义1.2 四类具有特殊性

4、质的函数四类具有特殊性质的函数 y=sin(x)1020304050-1-0.50.51数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数-6-4-20246-1.5-1-0.500.511.5xatan(x)arctgx 图图 像像数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数1234) 10(aayx) 10(logayxa数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数二、单调函数二、单调函数,)(DIDxf 区区

5、间间的的定定义义域域为为设设函函数数;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒恒有有)( xfy )(1xf)(2xfxyoI数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数)( xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数三、

6、奇函数与偶函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy 数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数偶函数偶函数yx)(xf ox-x)( xf数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数四、周期函数四、周期函数2l 2l23l 23l2l 2l23l 23l数学分析讲义1.2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数数学分析讲义1.3 复合函数与反函数复合函数与反函数一、复合函数一、复合函数数学分析讲义1.3 复合函数与反函数复合函数与反函数数学分析讲义1.3 复合函数与反函数复合函数

7、与反函数二、反函数二、反函数数学分析讲义1.3 复合函数与反函数复合函数与反函数0 x0yxyDW)( xfy 函函数数o0 x0yxyDW)( yx 反反函函数数o数学分析讲义1.3 复合函数与反函数复合函数与反函数)( xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函数数数学分析讲义1.3 复合函数与反函数复合函数与反函数三、初等函数三、初等函数1、幂函数、幂函数)(是是常常数数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 数学分析讲义1.3 复合函数与反函数复合函数与反函数2、指数函数、指数函数)1,0( aaayxxey )1,0( aaayx1数学分析讲义1.3 复合函数与反函数复合函数与反函数3、对数函数、对数函数)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 数学分析讲义1.