拉格朗日方程

1、理论力学理论力学分析力学分析力学拉格朗日方程拉格朗日方程(1/17)(1/17)n达朗贝尔原理达朗贝尔原理n达朗贝尔原理达朗贝尔原理n动力学方程动力学方程静力学方程静力学方程n 是因存在加速度而产生的有效力是因存在加速度而产生的有效力 ：体系在任何瞬间的主动力、约束力和因：体系在任何瞬间的主动力、约束力和因存在加速度而产生的有效力之和和等于零存在加速度而产生的有效力之和和等于零n达朗贝尔达朗贝尔- -拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程(2/17)(2/17)n例：离心调速器由套筒例：离心调速器由套筒( (A, B和和C，mA = = mB = = m) )、两拉杆、两拉杆( (长

2、长 l ) )及两弹簧及两弹簧( (系数系数 k ) )组成；已知组成；已知弹簧无拉伸时，拉杆倾斜弹簧无拉伸时，拉杆倾斜a a0，求，求拉杆倾斜拉杆倾斜 a a 时的角速度时的角速度n虚位移虚位移n主动力和因存在加速度而产生的有效力主动力和因存在加速度而产生的有效力n达朗贝尔达朗贝尔- -拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程(3/17)(3/17)n拉格朗日方程拉格朗日方程( (组组) )的基本形式的基本形式nn 个质点的力学系，个质点的力学系，k 个约束方程个约束方程n约束要吸收进方程：使用约束要吸收进方程：使用 s= =3n- -k 个广义坐标个广义坐标 q1 1, , , ,

3、 qsn符号简化约定符号简化约定n广义速度广义速度n称称 为广义速度分量，总体为广义速度分量，总体 为广义速度为广义速度n 是广义坐标是广义坐标 、广义速度、广义速度 和时间和时间 t 的函数的函数拉格朗日方程拉格朗日方程(4/17)(4/17)n有用的关系式有用的关系式n速度分量与广义速度分量的关系速度分量与广义速度分量的关系n速度分量与广义坐标的关系速度分量与广义坐标的关系n动能与广义坐标、动能与广义坐标、广义速度分量广义速度分量的关系的关系拉格朗日方程拉格朗日方程(5/17)(5/17)n逆效力的虚功的逆效力的虚功的广义坐标和速度形式广义坐标和速度形式n拉格朗日方程组拉格朗日方程组n二阶

4、常微分方程二阶常微分方程，数目等于体系的自由度，数目等于体系的自由度n没有约束力出现，避免约束力越多方程就越多没有约束力出现，避免约束力越多方程就越多n由动能的由动能的广义坐标和速度、时间形式，可得到拉格朗广义坐标和速度、时间形式，可得到拉格朗日方程组日方程组n从能量的角度研究物理问题从能量的角度研究物理问题拉格朗日方程拉格朗日方程(7/17)(7/17)n主动力主动力= =保守力保守力+ +非保守力非保守力 的拉格朗日方程组的拉格朗日方程组拉格朗日方程拉格朗日方程(8/17)(8/17)n动能的广义速度表述动能的广义速度表述nT2、T1 和和 T0 分别分别是广义速度的二次、一次和零次齐次式

5、是广义速度的二次、一次和零次齐次式拉格朗日方程拉格朗日方程(9/17)(9/17)n循环坐标和广义动量积分循环坐标和广义动量积分n循环坐标：不出现在拉氏函数循环坐标：不出现在拉氏函数 L 中的广义坐标，即中的广义坐标，即n循环积分循环积分( (广义动量积分广义动量积分) )n与与循环坐标对应的广义动量是体系的运动守恒量循环坐标对应的广义动量是体系的运动守恒量n循环坐标的多少，决定于广义坐标的选取循环坐标的多少，决定于广义坐标的选取n例：在有心力作用下的二维平面质点例：在有心力作用下的二维平面质点拉格朗日方程拉格朗日方程(10/17)(10/17)* *n广义广义能量积分能量积分n欧拉齐次函数定

6、理欧拉齐次函数定理n拉格朗日函数拉格朗日函数广义速度表述广义速度表述L2、L1 和和 L0 分别分别是二次、一次和零次齐次式是二次、一次和零次齐次式n广义能量积分广义能量积分/ /雅可比积分雅可比积分( (假设拉格朗日函数不显含时间假设拉格朗日函数不显含时间) )nE 是积分常数，对于非稳定约束，机械能不守恒是积分常数，对于非稳定约束，机械能不守恒n 称为称为广义能量广义能量拉格朗日方程拉格朗日方程(11/17)(11/17)n能量积分能量积分n能量积分能量积分( (稳定约束，假设拉格朗日函数不显含时间稳定约束，假设拉格朗日函数不显含时间) )nE 是积分常数，机械能守恒是积分常数，机械能守恒拉格朗日方程拉格朗日方程(15/17)(15/17)* *n碰撞问题碰撞问题n碰撞问题的碰撞问题的拉格朗日方程拉格朗日方程n拉格朗日方程对碰撞时间的积分拉格朗日方程对碰撞时间