2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题5-2平面向量的基本定理及坐标表示

1、专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示【考情分析】1了解平而向量的基本左理及英意义：2掌握平面向量的正交分解及英坐标表示；3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4理解用坐标表示的平而向量共线的条件.【重点知识梳理】知识点一平面向量基本定理如果创2是同一平而内的两个不共线向量，那么对于这一平而内的任意向量a,有且只有一对实数疵, 加，彳吏 a=Aiei+z22.英中，不共线的向量创，勺叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.知识点二平面向量的坐标运算运算坐标表示和（差）已知 a=(xi yi). b=(X2,旳)，则 a+b=(xi+x2, 丁1+旳)，ab=(xiyiy2)数乘已知a=（

2、xi，n）,则za=（；ai，初）,其中2是实数任一向疑的坐标已知 A(x9 vi) B(x2t yi) 则 AB =(X2xi, V2vi)知识点三 平面向量共线的坐标表示设 a=（x“ yi）, b=（X2，旳），英中 bR,贝9 a/Zbox=（1）基底创，必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底：（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；Ai “1 （3）如果对于一组基底如 勺，有&=几1勺+22勺=“11+“202，则可以得到八1久2=“2知识点四必备结论1. 若a与b不共线,且2a+“b=0,则2=“=0.2. 已知P为线段曲的中点，若川），Bg yi）,则P点坐标刈 弓

3、三，咛弓.3. 已知ABC的顶点Mg,”）, B（x2,y2）, C（x3,v3）,则曲C的重心G的坐标为（二土土M 耳土晋土竺）4. .4（X1，yi）. B（X2，2） C（X3，3,3）三点共线的充要条件为（X2Xl）（y3y】）一（X3Xi）02Jj） = O,或一 X1）（V3 一旳）=（X3 X2）（2 yi）t 或（X3 Xl）（l3 yi） =（X3 X2）3 一1）【典型题分析】髙频考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】(2020 -Jb京101中学模拟)在hABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN=2AB+/MC,贝IJ2+”的值为()-2A.1 _3B1 -

4、4C【答案】A【解析】因为M为边BC上任意一点,所以可= xAB +yA C(x +y = 1).因为N为的中点， 1 1 1 所以刃FC=2JP+心 C.所以 2+“=|(.y +y)=g 故选 A o【方法技巧】平而向疑基本左理的实质及解题思路(1) 先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.(2) 在基底未给岀的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平而几何的一些性质上理.【变式探%(2020 -湖北襄阳四中质检)如图，已知平行四边形zLBCD的边EC, CQ的中点分别试用创，勺表示员，CD 24 所以BC =罗1+了勺.4242

5、同理可得，=一尹+討，即CD=乎i +了俎高频考点二 平面向量的坐标运算【例2】2020 天津卷】如图，在四边形ABCD中，ZB = 60,AB = 3, BC = 6,且=而砸=一二，则实数兄的值为,若是线段3C上的动点，且I顾1=1,2则而而的最小值为113【八】-:(2). y【解析】而=2说，qD/BC，ZBAD = 180 -上8 = 120，ABAD = 2BCAS = 2|bc|ab|cos120/（ 13=Zx6x3x - =一9几=一一.I 2）2解得宀：，6B为坐标原点.BC所在直线为轴建立如下图所示的平而血角坐标系工8$，/ BC = 6,. C(6,0), |AB| =

6、 3, ZABC = 60。， A 的坐标为 A.又V AD = 1bC,piijDDM =DM谅=333）x,2 2丿= x2_4x + = （x-2）2+,2 2，设 M（圮 0）,则 7V（x+l,0）（其中 0 %5）,13所以，当尤=2时，万雨而取得漱小値一2【变式探究】(2020 辽宁大连一中模拟)已知A(-2, 4), B(3, T)，C(一3, -4).设乔=e BC=b、CA=c,且CM=3e, CN=-2b ,(1) 求 3a+b 3c：(2) 求M, N的坐标及向量怎啲坐标.【解析】由已知得”=(5, 5), 5=(-6, -3), c=(l, 8).(1) 3a+b 3

7、c=3(5, 5)+(6, 3)3(1, 8)=(15-6-3, 一15324)=(6, -42).(2) 设 O 为坐标原点，9：CM=OM-OC=3c.：.ONl=3c+OC=(3. 24)+(3, 一4)=(0, 20).20).又9：CN=ON-OC=2b.：.ON=-2b-OC=(12. 6)+(3, 4)=(9, 2),N(9, 2), 必=(9, -18).【方法技巧】求解向疑坐标运算问题的一般思路向量问题坐标化向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧 密结合起来，通过建立平而直角坐标系，使几何问题转化为数量运算.(2)巧借方程思想

8、求坐标向疑的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先 求出向量的坐标.求解过程中要注意方程思想的运用.(3) 妙用待立系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向疑的坐标，再用待泄系数法求岀系【变式探(2020-吉林实验中学模拟)已知M(3, 2), N(5, 1),且詡=*亦?，则P点的坐 标为()A. (8,1)Bl、一 1, 一|)C(l, |)D. (8, -1)解【答案】B【解析】设 P(x, y), KljNff = (x-3, y+2),而*而=*(-& 1)=(-4,X= 1, 得 3 所以 P(T，-I).高

9、频考点三 向量共线的坐标表示【例 3】(2018 全国卷III)已知向量 a=(l,2), b=(2, 一2), c=(l, x).若 c(2a+b),则 2=。【解析】因为 2a+b=(4,2), c(2a+b),所以42=2,解得久【答案】*【方法技巧】如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若m), b=(M,旳)，则ab的充要条件是32=巧1“解题比较方便.【变式探究】(2020 河南平顶山一中模拟)已知4=(1, 0), b=(2, 1).(1) 当*为何值时，ka-b与“+2b共线；(2) 若益=2a+3b, BC=a+nib,且B, C三点共线，求加的值.【解析】(1)1=

10、(1, 0), b=(2, 1),:.ka-b=k(, 0)-(2, 1)=仇一2, 1),“+2b=(l, 0)+2(2, 1)=(5, 2),: kab -与 a+2b 共线，2 伙一 2)(一 l“5 = 0,:k=_3(2远=2(1, 0)4-3(2, 1)=(8, 3),ic=(b 0)+加(2，1)=(2加 + 1,加)/, B, C三点共线，:.AB/BC,/. 8 加3(2加+1)=0,【变式探究】(2020-河北邯郸一中模拟)已知点2(4, 0), 5(4, 4), C(2, 6),则2C与OB的交点P的坐标为.【解析】方法一由0, P、B三点共线.可设砂=2励=(4几4小则寸=前一鬲=(424, 4z).又花=次?一刃=(一2, 6),由R与花共线，得(424)x64(一2)=0