高等数学课件D6习题课

1、习题课1. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、 体积、弧长、 表面积 .物理方面物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、2. 基本方法基本方法 : 元素法元素形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.定积分的应用 第六六章 表示为niiixfu10)(lim一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 u 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) u 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量 ;二二

2、、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式xxfud)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式uxxfbad)(这种分析方法称为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 )元素元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfad)(dxxfabad)(边梯形面积为 a ,oxbay)(xfy xxdx2. 极坐标情形极坐

3、标情形,0)(, ,)(c设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2a所求曲边扇形的面积为d)(212a xo二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 ab 上任意作内接折线 ,0m1imimnm当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 ab 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iimm1ni 10lims则称oabyxsdabyxo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长

4、xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :三三、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为a(x), ,)(baxa在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxavd)(d因此所求立体体积为xxavbad)(xabxxxd)(xa上连续,例例1. 求抛物线21xy在(0,1) 内的一条切线, 与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为)1 ,(2xxm则该点处的切线方程为)(2)1 (2xxxxy它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxa) 1,0(2xb所指面积)(xsxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11mbayxo使它)(xs) 13() 1(22412xxx,33x0)( xs,33x0)( xs故为最小值点