Ch8 参数估计ppt课件

1、1第八章第八章 参数估计参数估计2 根据样本提供的信息根据样本提供的信息, 对总体分布的某些未知值作对总体分布的某些未知值作 在本章中所讨论的总体分布为离散型或连续型的在本章中所讨论的总体分布为离散型或连续型的.统计推断是数理统计的基本内容之一统计推断是数理统计的基本内容之一. 统计推断的形式统计推断的形式包括两大类包括两大类参数估计与假设检验参数估计与假设检验. 本章介绍两种本章介绍两种主要的参数估计方法主要的参数估计方法点估计和区间估计点估计和区间估计.3一、参数估计问题一、参数估计问题 在数理统计中在数理统计中, 总体总体 的分布一般是未知的的分布一般是未知的, 因而因而 的的XX当总体

2、当总体 时时, 在在 未知的情况下未知的情况下, 与与 2,XN , 故故 的二阶原点矩的二阶原点矩X222E X中包含未知参数中包含未知参数.数字特征往往是未知的数字特征往往是未知的, 这些未知值通常称为参数这些未知值通常称为参数. 例如例如都是参数都是参数. 如果如果 已知而已知而 未知未知, 则则 是参数而是参数而 不是参数不是参数. 4 总体参数总体参数 设总体为设总体为 总体的分布为总体的分布为 其中的其中的 称为待称为待,X,f x 总体参数的取值范围称为参数空间总体参数的取值范围称为参数空间, 记作记作.估参数估参数. 这类未知参数称为总体参数这类未知参数称为总体参数. 例如当例

3、如当 未知时未知时, 正态总体正态总体 中有两个中有两个2, 2,N 总体参数总体参数. 例如例如, 总体总体 ,XP则相应的参数空间为则相应的参数空间为0,. 5 点估计的意义点估计的意义: 根据样本根据样本, 构造估计量构造估计量 由样本对总体中的未知参数进行估计称为参数估计由样本对总体中的未知参数进行估计称为参数估计. 参数估计分为点估计和区间估计参数估计分为点估计和区间估计.通过样本观测值通过样本观测值12,nh XXX12,nx xx所对应的估计值所对应的估计值 12,nh x xx作为总体参数的估计值作为总体参数的估计值.记作记作12,.nh x xx6 区间估计的含义是区间估计的

4、含义是: 依据样本来估计未知参数的某一依据样本来估计未知参数的某一 点估计的意义点估计的意义: 在数轴上表示一个点在数轴上表示一个点. 区间估计的具体实现区间估计的具体实现:再由观测值再由观测值范围范围.由样本构造两个统计量由样本构造两个统计量: 112212,nnhXXXhXXX12,nx xx得到具体的区间得到具体的区间112212,nnh x xxhx xx以此区间作为未知参数的区间估计以此区间作为未知参数的区间估计.7 下面讨论两种常用的点估计方法下面讨论两种常用的点估计方法: 矩估计和极大似然矩估计和极大似然估计估计. 二、两种常用点估计二、两种常用点估计8 1.矩估计矩估计 矩估计

5、的基本思想是矩估计的基本思想是: 用样本原点矩替换同阶总体用样本原点矩替换同阶总体原点矩原点矩, 而并不需要知道总体的具体分布而并不需要知道总体的具体分布.91,2, kkkE X 矩估计的意义矩估计的意义:如果未知参数如果未知参数定义定义 设设 是取自总体是取自总体 的样本的样本, 记记12,nXXXX12,m 则称则称1,mAA为为 的矩估计量的矩估计量. 其中其中11.nkkiiAXn以样本的原点矩替换总体的原点矩以样本的原点矩替换总体的原点矩.10定理定理 设设 是取自总体的一个样本是取自总体的一个样本, 12,nXXX2,E XD X其中其中 未知未知, 2, 是未知参数是未知参数

6、的矩估计的矩估计;X 是未知参数是未知参数 的矩估计的矩估计, 是未知参数是未知参数 的矩估的矩估2nS2nS计计.22,nXS即即11例例1 设总体设总体 求总体参数求总体参数 的矩估计的矩估计.1,XBpp解解 总体的分布为总体的分布为01,1XPpp设设 为来自总体的样本为来自总体的样本, 则由上面的说明则由上面的说明,12,nXXX未知参数未知参数 的矩估计为的矩估计为:p11,niipXXn若若 为观察值为观察值, 则相应的估计值为则相应的估计值为21,nx xx1.1niipxxn12例例2 设有一批同型号灯管设有一批同型号灯管, 其寿命（单位其寿命（单位: 小时）服从小时）服从1

7、10,184,145,122,165,143,78,129,62,140,168,试用矩估计方法估计试用矩估计方法估计 的值的值.解解 设总体设总体 ,XE因因 1,E X由前面讨论知由前面讨论知: 设设 为来自总体的样本为来自总体的样本,12,nXXX参数为参数为 的指数分布的指数分布, 今随机抽取其中的今随机抽取其中的11只只, 测得其寿测得其寿命数据如下命数据如下:13则指数分布中的参数则指数分布中的参数 的矩估计为的矩估计为11,niinXX对观察值对观察值 相应的估计值为相应的估计值为21,nx xx11,niinxx对已知数据对已知数据, 因因1130.55,1niixxn14所以

8、所以, 未知参数的矩估计为未知参数的矩估计为: 1110.0077.130.55niinxx15例例3 设总体服从参数为设总体服从参数为 的几何分布的几何分布, 求参数求参数 的矩的矩pp解解 因总体服从几何分布因总体服从几何分布, 故有概率函数故有概率函数:1,1 1,2,01kP Xkppkp从而有从而有:111kkE Xkpp1211,111kkppppkp估计估计.16设设 为来自总体的样本为来自总体的样本, 则相应的矩估计为则相应的矩估计为12,nXXX11,niinpXX对观察值对观察值 相应的矩估计量为相应的矩估计量为21,nx xx11.niinpxx17例例4 设总体有均值及

9、方差设总体有均值及方差, 现有现有6个随机样本的个随机样本的2, 1.20,0.82,0.12,0.45, 0.85, 0.30,求未知参数求未知参数 的矩估计的矩估计. 2, 解解 设设 是来自总体的样本是来自总体的样本, 由于由于12,nXXX22,D XE XEX故可取相应的均值的矩估计为故可取相应的均值的矩估计为:11,niiXXn观察数据为观察数据为:18及方差的估计为及方差的估计为2221111,nniiiiXXnn由已知数据由已知数据, 得相应的估计值分别为得相应的估计值分别为:110.16,niixxn 22211110.50.nniiiixxnn19例例5 设设 是取自于总体

10、的一个样本是取自于总体的一个样本, 其中其中12,nXXX0,XR因因 1,2E X因此因此 的矩估计为的矩估计为122.X20密度函数为密度函数为 例例6 设设 是取自于总体的一个样本是取自于总体的一个样本, 的的12,nXXXX 1, 01,0,xxf x其它其它.求求 的矩估计的矩估计. 这里这里1. 解解 因因11011d,2E Xxxx从而有从而有1121,121由此得到所求参数的矩估计由此得到所求参数的矩估计:21.1XX22例例7 设一升自来水中含有的大肠杆菌个数设一升自来水中含有的大肠杆菌个数 ,XP果果, 从消毒过的水中随机地抽取了从消毒过的水中随机地抽取了 次次, 每次一升

11、每次一升, 化化50大肠杆菌个数大肠杆菌个数/V 01234出现的次出现的次 172010210其中其中 为未知参数为未知参数. 为了检查自来水消毒设备的效为了检查自来水消毒设备的效验得到每升水中大肠杆菌个数如下验得到每升水中大肠杆菌个数如下:23试估计平均每升自来水中大肠杆菌个数试估计平均每升自来水中大肠杆菌个数.解解 因因 ,XP又又 ,E X故相应的矩估计为故相应的矩估计为 ,X又又:10 171 202 103 24 11,50 即平均每升自来水中约有一个大肠杆菌即平均每升自来水中约有一个大肠杆菌.24 2.极大似然估计极大似然估计 极大似然估计的意义极大似然估计的意义 极大似然估计是

12、求总体未知参数点估计的另一重要方极大似然估计是求总体未知参数点估计的另一重要方 一个口袋里装有黑白两种棋子，且两种棋子的比例一个口袋里装有黑白两种棋子，且两种棋子的比例 法法. 我们以下面的例子来说明极大似然估计的具体意义我们以下面的例子来说明极大似然估计的具体意义.为为1：4，但不知道是黑：白是，但不知道是黑：白是1：4还是白：黑是还是白：黑是1：4。现有放回地取现有放回地取2次，每次次，每次1个，发现取出的个，发现取出的2个棋子都是个棋子都是黑子，问是黑：白是黑子，问是黑：白是1：4还是白：黑是还是白：黑是1：4？25 极大似然估计的意义极大似然估计的意义 设设 是来自总体是来自总体 的样

13、本的样本, 总体的分布总体的分布12,nXXXX记为记为 .L若有若有 使上式取极大使上式取极大12,nx xx值值, 即即121,.nniiL x xxf x 12max,nLL x xx,f x为为 其中其中 为待估参数为待估参数, 构造似然函数构造似然函数:26称称 为参数为参数 的极大似然估计量的极大似然估计量. 而观察而观察12,nXXX值值 对应的值为参数对应的值为参数 的极大似然估计值的极大似然估计值.21,nx xx27 求极大似然估计量的方法求极大似然估计量的方法: 由总体的分布由总体的分布 构造似然函数构造似然函数:,f x 关系式两边取对数关系式两边取对数: 上式两边对上

14、式两边对 求导求导, 并令其为零并令其为零, 即有即有: dln0,dL 1,.niiLf x 1lnln,niiLf x28从中解出从中解出 一般一般 为为 的函数的函数, 即即:,12,nx xx12,nxxx由此得到未知参数由此得到未知参数 的极大似然估计量的极大似然估计量:12,.nXXX29例例10 设总体设总体 求参数求参数 的极大似然估计的极大似然估计.1,XBpp解解 因总体因总体 总体的分布为总体的分布为1,XBp故对样本故对样本 可得似然函数为可得似然函数为:12,nXXX1,1,0,1xxf x pppx12,nL x xxp111,1,nniiiixnnxiif xpp

15、 取对数后得取对数后得:0,1;1,2,ixin30 11lnlnln 1,nniiiiL pxpnxp110,1nniiiixnxpp解之解之, 得得即即:1110,nniiiipxp nx对对 求导求导p3110niixnp11,niipxn由此得极大似然估计量为由此得极大似然估计量为:11,niipXXn和相应的估计值和相应的估计值11.niipxxn注意到这和矩估计的结果是一致的注意到这和矩估计的结果是一致的.32例例11 总体服从参数为总体服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 求求 的极大似然估的极大似然估解解 因总体因总体 总体的分布为总体的分布为 ,XP故对样本故对样本 可得似然函

16、数为可得似然函数为:12,nXXX,e 0,0,1,2,.!xf xxx 111,e.!niixnniniiiLf xx 计计.33取对数后得取对数后得 11lnlnln!.nniiiiLxnx对对 求导并令其为零求导并令其为零, 则有则有 1dln0,dniixLn即即11.niixn34由此得参数的估计量由此得参数的估计量:11.niiXXn和对应的估计值和对应的估计值:11.niixxn35例例12 设总体服从参数为设总体服从参数为 的几何分布的几何分布, 求参数求参数 的极的极pp解解 因总体服从几何分布因总体服从几何分布, 故有总体分布故有总体分布:1,1 1,2,01xP Xxpp

17、xp故对样本故对样本 可得似然函数为可得似然函数为:12,nXXX 11,niixnnL ppp取对数后得取对数后得: 1lnlnln 1,niiL pnpxnp大似然估计大似然估计.36对对 求导并令其为零求导并令其为零, 则有则有p 1dln0,d1niixnL pnppp即有即有110,niinppxn解之得解之得:11,niipxn37由此得参数由此得参数 的估计量和估计值为的估计量和估计值为p11,niinpXX11,niinpxx38例例13 设总体设总体 求求 的极大似然估的极大似然估2, ,XN 2, 解解 因总体的分布为因总体的分布为:22221, ,e,2xf x 对样本对

18、样本, 得相应的似然函数得相应的似然函数: 12,nXXX221221,e2niixnL 计计.22112222eniinx39注意到似然函数中有两个未知参数注意到似然函数中有两个未知参数, 取对数后有取对数后有:22ln,ln2ln22nnL 2211,2niix分别对参数分别对参数 求偏导求偏导, 并联立方程组并联立方程组:2, 2122241ln10,ln10,22niiniiLxLnx 40由此得方程之解为由此得方程之解为:11,niixxn及及:2211,niixxn41所以所以, 参数参数 的极大似然估计为的极大似然估计为:2, 11,niiXXn2211.niiXXn相应的估计值

19、为相应的估计值为:11,niixxn2211.niixxn42例例14 设总体设总体 为连续型随机变量为连续型随机变量, 密度函数为密度函数为X101, 0 xxf x其它其它求参数求参数 的极大似然估计的极大似然估计.解解 设设 为来自总体的样本为来自总体的样本, 则似然函数为则似然函数为12,nXXX 112,01nniLx xxx 1lnln1ln,niiLnx取对数后有取对数后有:43上式对上式对 求导求导, 并令其为零并令其为零, 则有则有1dlnln0,dniiLnx解之得解之得1,lnniinx 由此得估计量和估计值为由此得估计量和估计值为1,lnniinX 1.lnniinx

20、44 对总体未知参数的估计对总体未知参数的估计, 存在多种方法存在多种方法, 不同方法下不同方法下三、估计量的评选标准三、估计量的评选标准所得到的估计量可能各不相同所得到的估计量可能各不相同, 由此自然产生问题由此自然产生问题: 对对同一个未知参数的不同估计量同一个未知参数的不同估计量, 究竟哪个更好点究竟哪个更好点. 为此为此建立下面的几个评选标准建立下面的几个评选标准.45 无偏性无偏性 设总体设总体 , 总体的分布总体的分布 中包含未知参数中包含未知参数 若若X,f x,12,nXXX则我们自然考虑估计量与真值的偏差如何则我们自然考虑估计量与真值的偏差如何, 由此需要考由此需要考的分布情

21、况的分布情况. 注意到注意到 是随机变量是随机变量, 自然会考察自然会考察.E 有估计量有估计量:察量察量 46定义定义 若未知参数若未知参数 的估计量的估计量 12,nXXX则称该估计量是则称该估计量是 的无偏估计的无偏估计. 若若 满足满足则称该估计量为参数则称该估计量为参数 的渐近（无偏）估计的渐近（无偏）估计. ,E lim,nE满足满足 ,E且且47例例15 设总体设总体 2,XN 12,nXXX是来自是来自总体的样本总体的样本, 则则当当 未知而未知而 已知时已知时, 的矩估计和极大似然估计都的矩估计和极大似然估计都2是是 且且 是是 的无偏估计的无偏估计;,XX当当 已知但已知但

22、 未知时未知时, 的极大似然估计的极大似然估计222211niiXn为无偏估计为无偏估计;48当当 与与 均未知时均未知时, 的极大似然估计分别为的极大似然估计分别为22, 2,nX S前者是无偏估计前者是无偏估计, 而后者是渐近无偏估计而后者是渐近无偏估计.49例例16 设设 是来自总体的样本是来自总体的样本, 12,nXXX0,XR其中其中 未知未知, 证明证明 的矩估计为无的矩估计为无0偏估计偏估计.证证 因因22E XX是参数是参数 的矩估计的矩估计.又又1222.niiEXEXE Xn即即 2X是参数是参数 的无偏估计的无偏估计.50例例17 设总体设总体 已知已知, 则则 的极大似

23、然的极大似然2,XN 22211niiXn估计估计为为 的无偏估计的无偏估计.2证证 因因22221111,nniiiiEEXE Xnn所以所以 是是 的无偏估计的无偏估计.2251 前面讨论的关于估计量的无偏性前面讨论的关于估计量的无偏性, 它反应的是估计量它反应的是估计量与待估参数的偏离程度与待估参数的偏离程度. 但某种情况下但某种情况下, 同一个参数的同一个参数的两个不同的估计量与真值的偏离值是相同的两个不同的估计量与真值的偏离值是相同的, 考察下面考察下面的例子的例子.52例例18 设设 是来自总体是来自总体 的容量的容量 的样本的样本,123,XXXX3n 1123111,236XX

24、XX则则1,E XE XE X即即 均为均值的无偏估计均为均值的无偏估计.1,X X构造估计量构造估计量53 3.估计量的有效性估计量的有效性*定义定义 设设 为待估参数为待估参数 的无偏估计的无偏估计, 若若,则称估计量则称估计量 比比 更有效更有效.* D*,D54例例19 设设 是来自总体是来自总体 的容量的容量 的样本的样本,123,XXXX3n 1123111,236XXXX则则1,E XE XE X即即 均为均值的无偏估计均为均值的无偏估计. 此时此时,1,X X21,3D X2211117,493618D X构造估计量构造估计量55即即 是比是比 有效的估计有效的估计.X1X 进

25、一步地进一步地, 我们有下面的结论我们有下面的结论.56例例20 设设 是来自总体是来自总体 的样本的样本, 期望期望12,nXXXX1niiic X为均值为均值 的无偏估计的无偏估计11,niic且当且当 为无偏估计时为无偏估计时,取取 所得到的估计是最有效的估计所得到的估计是最有效的估计.1icn证证 因因11nniiiiiiEc XE c XE X12,nc cc存在存在, 为非负常数为非负常数,57111,nnniiiiiiic E Xcc若若 为无偏估计为无偏估计, 则有则有11,niic反之显然反之显然.又又, 若若 为无偏估计为无偏估计, 因因 2211,nniiiiiDDc X

26、c58则则 为最小且为最小且21niic111.niiiccn 59四、区间估计四、区间估计 上节讨论了未知总体参数上节讨论了未知总体参数 的点估计的点估计. 注意到点估计注意到点估计12,nx xx仅是未知参数的一个近似估计仅是未知参数的一个近似估计. 而真值而真值12,nXXX往往又是不知道的往往又是不知道的. 无论估计量无论估计量 如如何选取何选取, 我们很难估计真值与近似值之间的误差我们很难估计真值与近似值之间的误差. 在实际在实际问题中问题中, 我们不仅需要知道近似值我们不仅需要知道近似值, 而且还需要知道该而且还需要知道该近似值的精确性与可靠程度近似值的精确性与可靠程度.60 1.

27、区间估计的一般意义区间估计的一般意义 设总体设总体 分布为分布为 其中其中 为待估参数为待估参数, ,X,f x12,nXXX是估计量是估计量, 对一个较小的值对一个较小的值 和和 使得使得 01 ,1.P 为为 通过对通过对 的控制的控制, 我们可使得相应的概率在事我们可使得相应的概率在事1,先控制的范围中先控制的范围中. 通过下面的例子来进一步地说明该问通过下面的例子来进一步地说明该问 上式的意义是真值落在随机区间上式的意义是真值落在随机区间 的概率的概率,61题题.62例例21 为了考察某厂生产的水泥构件的抗压强度（单位为了考察某厂生产的水泥构件的抗压强度（单位:到到25个数据个数据 并

28、由此算得并由此算得 1225,x xx2511415,25iixx（该值为水泥构件平均抗压强度平均值的点估计）（该值为水泥构件平均抗压强度平均值的点估计）. 从从是参数是参数 的一个较优的点估计的一个较优的点估计, 因此一个较为因此一个较为 415x 千克力千克力/平方厘米）平方厘米）, 随机抽取了随机抽取了25个样品进行测试个样品进行测试, 得得,400 ,XN历史数据中知历史数据中知, 抗压强度抗压强度 其中其中 为未为未知知, 现希望根据已知的数据得到现希望根据已知的数据得到 的一个区间估计的一个区间估计. 由于由于63合理的区间是合理的区间是 对应的概率为对应的概率为,xd xd.P

29、xdxd设来自总体的样本为设来自总体的样本为 则区间则区间12,nXXX,Xd Xd是一个随机区间是一个随机区间. 反映区间估计可靠程度的量是这个随反映区间估计可靠程度的量是这个随.P XdXdP Xd机区间覆盖未知参数机区间覆盖未知参数 的概率的概率:64由于由于 其中其中 因此上述概率因此上述概率2,Xn2400,25,nXndPn 21,ccc 其中其中: 54 ,20nddcdc为为: 65我们希望这个概率至少为我们希望这个概率至少为 其中其中 是近于是近于 的正数的正数, 1,0 211,c 解得解得11/21.2cu 这里这里 为标准正态分布的双侧为标准正态分布的双侧 分位数分位数

30、. 12u2例如当取例如当取 则则 查表得查表得:0.05,1/20.975,1/21.96.u由于由于66于是于是 所以随机区间为所以随机区间为47.84,dc,7.84,7.84 .Xd XdXX一般把这个区间估计用分位数一般把这个区间估计用分位数 表达为表达为1/2cu1/21/2,.XuXunn因为它清楚地表示了这个区间估计的可靠程度（即它覆因为它清楚地表示了这个区间估计的可靠程度（即它覆1.盖未知参数的概率）为盖未知参数的概率）为 67在上面问题中在上面问题中, 由样本观察值计算得由样本观察值计算得 代入上式代入上式415,x 1/21/2,xuxunn20204151.96,415

31、1.962525407.16,422.84 .得得 的区间估计为的区间估计为68从样本观察值提供的信息从样本观察值提供的信息, 推断出以推断出以 的可靠程度的可靠程度,95%407.16422.84 把上面问题一般化把上面问题一般化, 即得到区间估计的定义即得到区间估计的定义.保证该厂生产的水泥构件的抗压强度在保证该厂生产的水泥构件的抗压强度在（千克力（千克力/平方厘米）之间平方厘米）之间. 69定义定义 设设 是取自总体是取自总体 的样本的样本, 总体总体12,nXXXX和和 使得使得12,nXXX1212,1,nnPXXXXXX 则称区间则称区间 为参数为参数 的双侧的双侧 置信区间置信区

32、间, 称称, 11,f x分布为分布为 其中其中 为待估参数为待估参数. 对此未知参数对此未知参数, 给给01 ,12,nXXX定定 若存在两个统计量若存在两个统计量, 为置信水平为置信水平, 分别称为置信下限和上限分别称为置信下限和上限. 称为置信称为置信度度.70注注 在一般情况下在一般情况下, 置信上下限置信上下限 为随机变量为随机变量, 其具其具, ,体意义是体意义是: 对同一个参数对同一个参数 反复使用同一个置信区间反复使用同一个置信区间,尽管不能保证每一次都能使尽管不能保证每一次都能使 落在该区间内落在该区间内, 但至少有但至少有 100(1)%, 次使得次使得“ ”成立成立. 一

33、般取一般取 为接近为接近于于0的正数的正数. 71 区间估计的基本方法区间估计的基本方法 设总体设总体 总体的分布为总体的分布为 其中其中 为待估参数为待估参数, ,X,f x 寻找一个较优的点估计量寻找一个较优的点估计量 （一（一12,nXXX 以以 为基础为基础, 构造随机变量构造随机变量:12,nJJ XXX在该随机变量中包含所需要的待估参数在该随机变量中包含所需要的待估参数, 并使得相应的并使得相应的1,置信水平置信水平般取相应的极大似然估计）般取相应的极大似然估计）72分位数容易求得分位数容易求得; 设设 的的 分位数为分位数为 的分位数为的分位数为 则有则有J2, a12, b1,

34、P aJb 变换不等式变换不等式“ ” 使其具有表达式使其具有表达式aJb, 则则 即为所求的估计区间即为所求的估计区间., 1212,nnXXXXXX 在区间估计中在区间估计中, 也有单侧的情形也有单侧的情形.73定义定义 设设 是取自总体是取自总体 的样本的样本, 对于未对于未12,nXXXX12,nXXX使得使得12,1,nPXXX 则称区间则称区间 为参数为参数 的单侧的单侧 置信区间置信区间, 称称,11为置信水平为置信水平, 称为单侧置信下限称为单侧置信下限.给定给定 若存在统计量若存在统计量,01 ,知参数知参数 类似可以定义单侧置信上限类似可以定义单侧置信上限.74五、正态总体

35、下未知参数的置信区间五、正态总体下未知参数的置信区间75 1.一个正态总体的情形一个正态总体的情形 设总体设总体 服从正态分布服从正态分布, 求参数求参数 和和 的置信区间的置信区间.X276 未知时但未知时但 已知已知2 如例如例21中的讨论中的讨论, 令令11niiXXn为为 的极大似然估计的极大似然估计, 构造构造,XJn则则 再由标准正态分布的再由标准正态分布的 的分位数的分位数 0,1 ,JN1212,u/21/2,uu 并且并且77因此因此1/21/2PuJu1/21/2XPunu1/21/2P XuXunn1. 由此得由此得 的双侧的双侧 的置信区间为的置信区间为1781/21/

36、2,XuXunn相应的单侧相应的单侧 置信区间分别为置信区间分别为11,Xun和和1,.Xun79例例22 设设 抽取容量为抽取容量为9的样本的样本, 2,0.21,XN 的的 的置信区间的置信区间;95% 的的 的置信区间的置信区间.99%解解 此时此时 查表得查表得0.05,1/20.9751.96,uu代入式代入式, 得置信区间为得置信区间为:1.96,1.9633xx20.01,x 且样本均值为且样本均值为 求求8020.01 0.7 1.96,20.01 0.7 1.96.18.636,21.382置信水平为置信水平为 则则 再由再由99%,0.9951/22.575,uu2.575

37、,2.57533xx20.01 0.7 2.575,20.01 0.7 2.575.18.2074, 21.812581例例21 求上例中求上例中 的单侧的单侧 的置信区间的上限及下限的置信区间的上限及下限.95%解解 因因 由式由式, 易得置信区间的上易得置信区间的上限为限为10.951.645,uu0.95204151.645421.58,25xun95%其具体意义是其具体意义是: 我们可以有我们可以有 的把握可保证该厂生的把握可保证该厂生421.58产的水泥构件的平均抗压强度至多只有产的水泥构件的平均抗压强度至多只有 （千克力（千克力/平方厘米）平方厘米）. 82再由式得置信下限为再由式

38、得置信下限为:0.95204151.645408.42.25xun83 已知已知 未知未知2 当当 未知时未知时, 仍取均值的极大似然估计仍取均值的极大似然估计 并构造并构造:,X222211.niinJX此时此时 2,Jn与的建立过程相仿与的建立过程相仿, 得到得到 的双的双21侧侧 的置信区间的置信区间 2211221/2/2,.nniiiiXXnn84及单侧的及单侧的 置信上限和下限置信上限和下限:1 221/,niiXn 2211/.niiXn85 与与 均未知均未知2 未知参数未知参数 的极大似然估计为的极大似然估计为,XJnS注意到注意到 1 ,Jt n且且/2 11/211 ,t

39、ntn 由此得到由此得到 的双侧的双侧 置信区间为置信区间为11/21/2,SSXtXtnn86而相应的单侧置信区间的上限及下限分别为而相应的单侧置信区间的上限及下限分别为:11,SXtnn11.SXtnn87 当当 未知时未知时, 的极大似然估计为的极大似然估计为222221111.nnniliiSXXXXnn因因22222111 ,nniinSJXXn仿上面讨论有仿上面讨论有:8822/21/211PnJn222/21/2211nnSPnn1, 由此得到由此得到 的双侧的双侧 的置信区间为的置信区间为:2122221/2/2,11nnnSnSnn89再由再由2222111,nnSPnJPn

40、 及单侧的及单侧的 置信上限和下限置信上限和下限:1221/1 ,niiXXn2211/1 .niiXXn90例例22 为估计一批钢索所能承受的平均张力为估计一批钢索所能承受的平均张力, 从中随机从中随机又张力服从正态分布又张力服从正态分布, 求平均张力的置信水平为求平均张力的置信水平为 的的95%解解 注意到注意到, 该问题是该问题是 未知的置信区间求解问题未知的置信区间求解问题. 此此 0.97592.2622,t由式由式, 得平均张力的得平均张力的 置信区间为置信区间为:95%*220,6720,xs抽出抽出10个样品作试验个样品作试验, 由试验数据知由试验数据知置信区间置信区间.*22

41、0,10,0.05,6720,nxs时时 查表得查表得:91.6562.618, 6877.381592例例23 电动机由于连续工作时间过长而会烧坏电动机由于连续工作时间过长而会烧坏. 今随机今随机39.7,x 92112.5,9niisxx并假定该种型号的电动机烧坏前连续工作时间并假定该种型号的电动机烧坏前连续工作时间2,XN 取置信水平为分别取置信水平为分别 求出求出 与与 的双侧置的双侧置10.95,2地从某种型号的电动机中选取地从某种型号的电动机中选取9台并测试它们在烧坏前台并测试它们在烧坏前的连续工作时间（单位：小时）的连续工作时间（单位：小时）, 由数据得由数据得 及及93置信区间

42、置信区间.291192.65,88niisxxs因而由公式得相应的置信区间为因而由公式得相应的置信区间为:又又0.9752.6539.739.72.04,39sxt37.66,41.74 .解解 先求均值先求均值 的置信区间的置信区间. 由已知条件由已知条件:94 再求方差的置信区间再求方差的置信区间. 由由 220.0250.97582.18,17.54,得到得到 的区间置信区间为的区间置信区间为:2 22220.9750.025,3.21,25.80 .8nnnsns95 总结总结2已知已知2未知未知0,1N1t n1/2Xun1/21Xtnn2已知已知未知未知 2n21n 2211221

43、/2/2,iiiiiiXXnn2211221/2/2,11iiiiiiXXXXnn96 2.两个正态总体的情形两个正态总体的情形 设设 是取自总体是取自总体 的样本的样本,12,mXXX211,XN 与与 独立独立, 求二总体均值差求二总体均值差12,mXXX12,nY YY12的的 的置信区间的置信区间.112,nY YY222,YN 是取自正态总体是取自正态总体 的样本的样本, 且且97 若若 已知已知, 怎由于怎由于 是是 的点估计的点估计,2212,XY12则由于则由于221212,XYNmn引入引入:1222120,1 ,XYUNmn则容易得到相应的置信区间为则容易得到相应的置信区间

44、为98222212121122,.XYuXYumnmn99若若 而而 未知未知, 则记则记22211,222111,2mnwiiiiSXXYYmn引入引入122 ,11wXYTt mnSmn则可得到置信区间为则可得到置信区间为:1001111,wWXYkSXYkSmnmn这里这里, 122 .ktmn101例例24 甲甲, 乙两台机床加工同一种零件乙两台机床加工同一种零件, 今在机床甲加今在机床甲加2.0648,2.0594,xy22120.245,0.357.ss假定零件长度服从正态分布假定零件长度服从正态分布, 求均值差的求均值差的 的置信区的置信区95%工的零件随机抽取工的零件随机抽取9

45、件件, 在乙加工的零件中随机抽取在乙加工的零件中随机抽取6件件,cm分别测得零件的长度（单位分别测得零件的长度（单位: ）, 由测量的数据可算由测量的数据可算出出:间间.102解解 在此问题中在此问题中, 219,6nn2221110.5367,2mnwiiiiSXXYYmn0.975132.16.kt110.5270,96由此可得水平为由此可得水平为0.95的均值差的置信区间的观察知为的均值差的置信区间的观察知为:0.605,0.6164 .103六、部分练习解答六、部分练习解答1048.1 设设 是取自总体是取自总体 的一个样本的一个样本, 在在12,nXXXX下列两种情形下下列两种情形下

46、, 求总体参数的矩估计和极大似然估计求总体参数的矩估计和极大似然估计. 其中其中 未知未知, 1,XBpp01;p 其中其中 未知未知, ,XE0.解解 因因1,XBpE Xp所以所以 的矩估的矩估p计为计为 .pX又似然函数为又似然函数为 111,nniiiixnxL ppp105取对数后有取对数后有 11lnlnln 1,nniiiiL pxpnxp求导后并令其为零求导后并令其为零, 则有则有110,1nniiiixnxpp即有即有1110,nniiiipxp nx106得到得到 11.niipxn由此得到参数的极大似然估计为由此得到参数的极大似然估计为11.niipXXn因因 1,XEE

47、 X所以参数所以参数 的矩估计的矩估计11.niinXX107又总体的密度函数为又总体的密度函数为 e, 0,0, 0.xxf xx因而似然函数为因而似然函数为 1e,0niixniLx取对数后有取对数后有 1lnln,niiLnx108求导后并令其为零求导后并令其为零, 则有则有 11dln0.dniniiinnLxx由此得到参数的极大似然估计为由此得到参数的极大似然估计为11.niinXX1098.2 设某厂生产的晶体管的寿命设某厂生产的晶体管的寿命 服从指数分布服从指数分布X ,E今随机地抽取今随机地抽取5只晶体管进行测试只晶体管进行测试, 测得它们的寿命测得它们的寿命（单位（单位: 小

48、时）如下小时）如下:518,612,713,388,434,试求该晶体管的平均寿命的极大似然估计值试求该晶体管的平均寿命的极大似然估计值.解解 由上题知由上题知, 参数参数 的极大似然估计为的极大似然估计为11.niinXX110所以平均寿命的极大似然估计值为所以平均寿命的极大似然估计值为 511533 h .5iixx1118.3 设设 是取自总体是取自总体 的一个样本的一个样本, 12,nXXXXX的密度函数为的密度函数为 22, 0,0, xxf x其它其它.求参数求参数 的矩估计的矩估计.解解 因因 22022dd,3xE Xxf xxx112即即3,2E X从而矩估计为从而矩估计为3

49、.2X1138.4 设设 是取自总体是取自总体 的一个样本的一个样本, 12,nXXXX ,XP试求试求 与与 的极大似然的极大似然0P X 1P X 估计估计.解解 因因00ee.0!P X又又 ,XP概率函数为概率函数为,e,!xf xP Xxx由此得到样本由此得到样本 的似然函数为的似然函数为12,nXXX114 1e,!niixniLx取对数后有取对数后有 1lnlnln!,niiiLxnx上式上式 对对 求导并令其为零求导并令其为零, 则有则有 1d1ln0dniiLxn1151,niixn由此得到参数由此得到参数 的极大似然估计为的极大似然估计为1,niiXXn所以所以 的极大似然

50、估计为的极大似然估计为0P X 116ee.X而而110 ,P XP X 因而相应的极大似然估因而相应的极大似然估计为计为11 e.XP X 1178.7 设设 是取自总体是取自总体 的一个样本的一个样本, 12,nXXXXX的分布函数为的分布函数为 1, 1,0, 1. xxF xx 试求试求 的矩估计和极大似然估计的矩估计和极大似然估计.1 解解 的密度函数为的密度函数为X 1, 1,0, 1. xxf xx 118 1ddE Xxfxxxx11,11x 从而矩估计为从而矩估计为.1XX似然函数为似然函数为 11,nniLxxx 119取对数后有取对数后有 1lnln1 ln,nLnxx

51、求导后有求导后有 1dlnln0dnnLxx1.lnnnxx所以极大似然估计为所以极大似然估计为1201.lnnnXX1218.10 设设 是取自总体是取自总体 的一个样本的一个样本, 12,nXXXX1,XBp 是是 的无偏估计的无偏估计;1Xp 不是不是 的无偏估计的无偏估计;21X2p 是是 的无偏估计的无偏估计.12X X2p试证试证:证证: 1,E XE Xp所以所以 是是 的无偏估的无偏估1Xp计计.22111E XD XEX21,pppp122所以所以 不是不是 的无偏估计的无偏估计;21X2p因因 相互独立相互独立, 由期望性质由期望性质,12,XX21212,E X XE X

52、E Xp pp所以所以 是是 的无偏估计的无偏估计.12X X2p1238.12 在习题在习题8.3中中, 求求 的极大似然估计的极大似然估计, 并证明它不具有无偏性并证明它不具有无偏性;21iicX试求常数试求常数 使得使得 为为 的无偏估计的无偏估计;, c2试求试求 的矩估计的矩估计 的方差的方差;32X试求试求 的矩估计的矩估计, 并证明当并证明当 时它不时它不P X1n 具有无偏性具有无偏性.证证 似然函数为似然函数为 1222, 0,ninx xxLx124欲使上式为最大欲使上式为最大, 则可取则可取 max,inxx所以参数所以参数 的极大似然估计量为的极大似然估计量为 12ma

53、x,.nnXXXX 再求总体的分布函数再求总体的分布函数: 当当 时时, 分布函数分布函数0 x 22202dd,xxxxF xf xxx125由此得到分布函数由此得到分布函数 220, 0, 0,1, .xxF xxx从而样本的分布函数为从而样本的分布函数为:126 2*0, 0, 0,1, .nnyyFyF yyy因此样本的密度函数为因此样本的密度函数为 *2120, 0,2, 0.nnyyfyyny127相应的期望为相应的期望为 212022d,21nnnxnEE Xnxxn从而从而 不是无偏估计不是无偏估计.因因22211,iiiiE cXcEXncE X又又1282222021d,2xE Xxx21iicX从而欲使从而欲使 成为成为 的无偏估计的无偏估计, 即有即有22212.iiE cXcn 的方差为的方差为32X399,244DXD XD Xn129又因又因202