第一章-波动方程

数学物理方程

主讲教师：王术

北京工业大学应用数理学院

wangshu@

Tel:６７３９２２１２（Ｏ）教材：《数学物理方程》（第二版）

谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、谭永基编著，

北京：高等教育出版社，2002年7月

参考书：《数学物理方程》

陈恕行、秦铁虎、周忆编著，上海：复旦大学出版社，2003年9月

姜礼尚等编，北京：高等教育出版社，１９９６年１２月引言

一、什么是数学物理方程？偏微分方程：偏微分方程的阶：

从物理、力学等实际问题中产生的函数方程，主要是偏微分方程或积分方程。含有两个或两个以上自变量和未知函数以及未知函数的偏导数的关系式。方程中所含偏导数的最高阶阶数。线性偏微分方程：

如果一个偏微分方程对于未知函数以及它的各阶偏导数都是线性的。非线性偏微分方程：

不是线性的偏微分方程。两个自变量的二阶线性偏微分方程一般形式：如果则称（0.1）为齐次方程；否则为非齐次方程。二、偏微分方程的解三、偏微分方程的研究方法一般步骤（从宇宙探星谈起）：1、将物理问题归结为数学上的定解问题；2、求解定解问题；3、对求得的解给出物理解释。四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念1、存在性2、唯一性3、稳定性如果一个定解问题的解是存在的、唯一的，而且是稳定的，则称该定解问题是适定的。五、微分方程的重要作用可以说有了微积分，就有了微分方程（微积分是17世纪为了解决物理、力学、天体问题而产生的，而这些问题多为数学物理方程）。微分方程在自然现象、军事科技和国民经济中发挥着重要的作用，现举例如下：1、导弹动力学弹道方程组其中导弹质量导弹速度弹道倾角飞行路程飞行高度推进剂秒流量分别表示发动机的推力，气体阻力，升力（飞行速度、飞行高度、导弹外形等因素确定），推力与速度的夹角在垂直平面上的投影，重力加速度注意：在弹道设计中，求解动力学弹道的目的是为了得到三个参数，以便对射程、导引方法及燃料添置等方案进行选择2、金融数学（金融工程期权定价模型）在基于股票的衍生证券市场上，欧式买入期权的行使办法是：在到期日，当股票价格（行使价格）时，则按买入股票，否则不行使股权。欧式卖出期权的行使办法是：在到期日，当股票价格（行使价格）时，则按卖出股票，否则不行使期权。1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向微分方程决定欧式期权的无套利价格：这里，对买入期权有；对卖出期权有。其中为无风险利率，为股票价格，为期权的行使价格，为基于的期权价格。3、流体力学海域潮流场模型（龙卷风、海啸模型）其中平均海平面下水深；海平面相对平均海平面的高度；垂直平均流速的分量几乎所有学科：分子扩散过程、激光诱导DNA分子动力学模型、桥梁工程设计中的力学振动问题、流体力学、量子力学、生物人口模型、最优控制论等等总水深；复习：

牛顿运动定律、质量守恒定律、动量守恒定律、热量守恒定律等基本的物理定律？

冲量、动量等概念？练习：

求解下列二阶偏微分方程本学期（数学物理方程）学习的基本内容：一、三类数理方程（弦振动方程、热传导方程和调和方程)定解问题的1、适定性2、基本求解方法3、解的性质等二、二阶线性偏微分方程的分类注：弦振动方程也叫波动方程第一章波动方程第一节方程的导出和定解条件一、方程的导出（以弦振动为例）：一根拉紧的均匀柔软的细弦，两端固定，长为，在外力作用下，弦在平衡位置附近作微小的横振动－振动方向与弦的平衡位置垂直。模型：问题：研究弦上各点的运动规律。分析：（理想化假设）

（1）弦是均匀的：线密度是常数；

细弦：横截面直径与弦的长度相比可以忽略。（2）弦是柔软的：弦在离开平衡位置时各点均不抵抗弯曲，弦的张力方向沿着弦的切线方向；（3）弦作微小横振动：弦的位置在同一平面内作微小变化（|ux|<<1）；弦上各点的位移与平衡位置垂直（位移沿u轴方向）。

拉紧：在弹性范围内，满足Hook（胡克）定律。建立坐标系：以弦的平衡位置为轴，在弦作振动的平面上与轴垂直的方向为轴。以表示弦上点在时刻垂直于轴方向的位移对于弦的微小振动，可设倾角（弦上一点的切线和横轴的夹角）很小。即假定

在这种假设下，有：（1）弦的伸长可忽略不计（2）弦上各点的张力是常数由于弦做横振动，弦沿轴无运动，所以合力为零动量守恒定律：物体在某一时段内动量的增量等于作用在该物体上所有外力在该时段内所产生冲量

下面使用动量守恒定律推到一维弦振动方程：在弦上任取小段，考察弦段在时段内冲量和动量的变化情况动量守恒：动量动量所有外力产生的冲量动量微元为冲量微元为情形一：弦不受外力作用时一方面，计算动量守恒公式左边动量的变化量：在时刻弦段的动量为在时刻弦段的动量为从时刻到时刻弦段的动量增加量为另一方面，计算动量守恒公式中右边弦段所受外力在时段产生的冲量对于弦段

张力在轴的垂直方向的合力为

从而在时段该合力产生的冲量为由动量守恒定律可得=即由的任意性知或这就是不受外力作用下的弦振动所满足的方程！其中情形二：存在外力作用时设作用在点处的外力线密度为，其方向垂直于轴，则小弦段所受的外力为其在时段产生的冲量为于是方程（1.1）的左端应该增加这一项得到这样外力作用下的弦振动方程为其中表示单位质量在点处时刻所受的外力。无外力作用的一维弦振动方程：外力作用下的弦振动方程：其中称为非齐次项（自由项）。总之：注：弦振动方程也叫波动方程，因为它描述的是一种振动或波动现象，后面将给出解释。注：类似地，可以推导二维波动方程（如薄膜振动）和三维波动方程（如电磁波、声波的传播等）。它们的形式为：一般地，维波动方程可写为其中表示维拉普拉斯算子注

许多物理现象都可以用弦振动方程来描述！例如：杆的纵振动模型

问题：均匀细杆在外力作用下沿杆长方向做微小振动

解答：取杆长方向为轴，表示处的杆截面在时刻沿杆长方向的位移胡克（Hook）定律：其中，为端面受力，为端面面积，为应力，为杨氏模量，为相对伸长率结论：满足方程（1.5），其中（动量守恒定律的应用）二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：边界条件：1、第一边界条件（

Dirichlet

边界条件）特别地：时，称弦两端固定。2、第二边界条件（Neumann

边界条件）特别地：时，称弦具有自由端。3、第三边界条件(Dirichlet-Neumann混合边界条件

)特别地：时，称弦两端固定在弹性支承。弦振动方程的初边值问题（也叫混合问题）：定解问题：由偏微分方程和定解条件联立所得到的问题。弦振动方程的初值问题（也叫柯西(Cauchy)问题）：注：混合问题和柯西问题是两类基本的定解问题质量守恒：动量守恒：能量守恒：的质量的质量流入的质量通过边界内部源产生的质量动量的增加量上D内S流入的质量产生的动量上通过V的边界产生的冲量上外力动量→能量；冲量→功Euler方程：可压Navier-Stokes

方程：不可压

Navier-Stokes

方程：第二节达朗贝尔公式、波的传播2.1初值问题与两个基本物理原理考虑初值问题：齐次与非齐次问题可分解为下面两个初值问题：和叠加原理：设分别是（2.2）和（2.3）的解，则是（2.1）的解。

注意：对于混合问题，情况类似。叠加原理只对线性问题成立。定理2.1

（齐次化原理—Duhamel原理）的解，则为初值问题（2.3）的解。设为齐次方程的定解问题证明：只需直接用定义来验证。注意：变上限积分求导公式：注：偏微分方程的求解过程：1、先求形式解；2、考虑对定解资料加什么条件来保证形式解是真正的解（需要严格证明）。2.2一维Cauchy问题的达朗贝尔（d’Alembert）公式和初值问题（2.1）可分解为下面两个初值问题：先求解问题（I）：目的是将其划为一个简单的方程引入两个新的自变量：视通过中间变量依赖于所以由复合函数的链式求导法则可得：（2.5）将（2.5）代入（2.3）得：将方程（2.6）关于积分一次，再对积分一次，可得其通解为：其中为任意两个连续可微函数。代回到原来的自变量即得原方程的通解：现在利用定解问题（2.3）的初值条件来确定和。由（2.2）可得：再将（2.10）积分得从（2.9）（2.11）解得将其代入通解公式（2.8）即得初值问题（I）的解为（2.13）式称为达朗贝尔（d’Alembert）公式。再求解定解问题（II）：由公式（2.13）知，对于任意给定的，问题的解为令，则是问题的解，从而由齐次化原理可得是问题（II）的解。初值问题（I）的解为：（2.13）式称为达朗贝尔（d’Alembert）公式。初值问题（II）的解为：初值问题（2.1）的解为：定理2.2：若

则有：（2.14）给出的解且是初值问题（2.1）的解。定理2.3：在定理2.2

的条件下，初值问题（2.1）的解是存在唯一的，且在一定意义下是稳定的。推论：若都是偶函数（奇或周期函数），则由（2.14）给出的解也是的偶函数（奇或周期函数）

。2.3解的性质1）弦振动方程的波动特征：左右传播波与传播速度的有限性考察自由振动方程：其通解为其中为任意函数。特别先取可得公式（2.16）表示自由振动物体上每一点在时刻的振动状态。现讨论和时刻物体振动位移之间的关系：当时表示自由振动物体的初始状态时，点的振动状态为此时，点的振动位移与初始时刻点的振动位移相同，同为结论：时刻的振动波随时间推移保持波形不变，且以有；或者说初始时刻点的振动向右平移距离即得到时刻点的振动，即限常速度向右传播，称之为右传播波；同理，形如的解所描述的振动成为左传播波。注：振动的波动性和传播的有限性：弦振动方程的解为左右传播波的叠加，因此称为波动方程；传播速度有限。2）依赖区间、决定区域和影响区域目的：使用d’Alembert公式解释振动的特征考察自由振动的初值问题则由d’Alembert公式知依赖区间：为点的依赖区间决定区域：影响区域：其依赖区间都落在内例1（半无界问题）求解定解问题注：上述两种解法（延拓法和特征线法）结果一样，但解仍只是形式解，要成为真解，还必须对定解资料附加条件。其解为：例2、求解古尔沙（Goursat）问题解为：例3、求解初边值问题例2、求解古尔沙（Goursat）问题解：由于是两条特征线，故古尔沙问题称为特征值问题。设为通解，其中为任意光滑函数。由边界条件得即因此又由边界条件得即所以注意：任意函数的确定方法第三节、初边值问题的分离变量法考虑一维波动方程的初边值问题不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题一、分离变量法和定解问题（3.4）可分解为下面两个混合问题：初边值问题其中由下面给出：的解为再求解问题（II）初边值问题的齐次化原理的解，则为初边值问题（II）的解。设为齐次方程的定解问题令则满足该问题形同于问题（I）。由问题（I）的解公式可得由齐次化原理可得问题（II）的解为：其中注意：上面的解目前还只是形式解，可以证明在适当的条件下，这种形式解确实是问题（I）（II）的解事实上，可以用函数项级数的绝对且一致收敛的性质来证明下面的定理定理3.1：则混合问题(3.5)-(3.7)的解存在，且由公式(3.21)给设且满足相容性条件考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题出，其中由(3.25)、(3.26)

给出。证明略二、解的物理意义由（3.21）可知，初边值问题I的解为下列解的叠加：物理上，称为波的振幅；称为波的初相位；称为圆频率，它只与弦本身的性质有关，也称为固有频率。振动的特点：每点的初相位和圆频率一样，但振幅依赖于弦点的位置，弦上点在振动过程中保持不动，称为节点。弦的这种形式的振动称为驻波。这种振动称为间谐振动。结论：级数解（3.21）是一系列频率成倍增长、且位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的。

三、分离变量法的解题步骤1、令代入方程和边界条件，确定所满足的常微分方程的特征值问题以及所满足的方程；2、解常微分方程的特征值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应的表达式；3、将所有变量分离形式的解叠加起来，利用初值定出所有待定常数；4、证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论。注：1、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是至关重要的，关键是构造辅助函数；2、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将其转化为齐次化方程来求解，但也可以直接求解。（1）、将变量分离形式代入相应的齐次方程和其次边界条件，得到相应的特征值问题，并求出全部特征值和特征函数

；（2）、将，方程的非齐次项，以及初值都按照特征函数进行Fourier展开；————————————————————————（3）、解初值问题解为：例1：设弦的两端固定在x=0与x=l上，在点C处向上拉起h后放开做自由振动，求其运动规律。解：弦作自由振动，满足波动方程其中：由于所以

另一方面,于是得到注意:

一般不直接使用公式,使用分离变量法来求解!注：使用变量分离法求解的关键是边界条件的齐次化，如何构造辅助函数将非齐次边界化为齐次边界。四、边界条件的齐次化思想

与具有同样的边界条件，满足齐次边界条件；的形式尽可能简单。1、第一边界条件：可选取x

的一次函数，其中：构造辅助函数：2、第二边界条件：可选取

x的二次函数，其中：3、第三边界条件：仍可选取

x的二次函数，其中：解：1）使用变换练习将下列问题化为方程和边界条件为齐次的：1）2）2）使用变换第四节、高维波动方程的柯西问题一、定解问题：初值问题：混合问题：2、第二边值条件：3、第三边值条件：1、第一边值条件：初始条件：二、球面平均法球对称函数：考虑三维齐次波动方程的初值问题：寻找形式解则满足基本思想（Poisson引入，FritzJohn发展）：对解函数，引入球面平均建立的方程及相应的Cauchy

问题，再由得到u

的表达式。性质：注意：要解，只需解注：球面平均函数的另一个计算公式其中为球面上的点与球心向经的方向余弦为单位球面上的面积微元下面证明性质1、2：性质1是显然的；性质2的证明：由球面平均第二公式（4.7）可得于是，按照中值定理，上述三重积分与同阶，而分母与同阶，由此推得引理4.1：满足更进一步，我们有证明：由球面平均第二公式（4.7）可得对公式关于再求一次导数，并使用公式（4.8）（4.10）可得即得引理4.1引理4.2：设是(4.1)-(4.2)的解，则由（4.6）定义的满足证明：由第二球面平均公式（4.7）可得再使用引理4.1中公式（4.9）可得（4.11）。由球面平均的定义易得初始条件（4.12）。注意：问题（4.11）（4.12）为一维问题，是可以求解的定理4.3：Cauchy问题(4.1)-(4.2)存在唯一的解，设则三维波动方程的其中是以

为球心，以为半径的球，

是球面的面积微元。（4.12）式称为三维Poisson

公式。证明：直接验证（略）例：利用三维Poisson

公式求解定解问题解为：（使用球面坐标积分化为三角函数的积分）三、二维波动方程的求解方法－降维法考虑二维齐次波动方程的初值问题：将视为高一维空间中的函数，满足由三维波动方程的Poisson

公式得其中是以

为球心，以为半径的球。注意，因此上式右边不依赖于现在利用球面积分与平面上二重积分之间的关系化简（4.16）的右边，它确实是不依赖于的函数。球面的上半平面在平面上的投影为：而于是它确实是不依赖于的函数。二维波动方程的Poisson

公式：

表示二维平面上以为心，以为半径的圆域。四、非齐次波动方程Cauchy问题考虑三维非齐次波动方程的初值问题：类似一维，可以转化为如下两个定解问题：的解，则为初值问题（II）的解。设为齐次方程的定解问题：表示以为心，以为半径的球体体积微元，(4.20)称为推迟势。三维非齐次波动方程初值问题的解为：二维非齐次波动方程初值问题的解为：三维齐次波动方程初值问题的解为：二维齐次波动方程初值问题的解为：第五节波的传播与衰减考虑二维和三维齐次波动方程的初值问题一、波的传播：1、依赖区域：比较二维和三维求解公式,注意求解区域的差别!称为点

的依赖区域。对于

二维情形:

由二维Poisson公式知的值由初始条件在以为圆心以为半径的圆域内的值完全决定，而和此圆域外的数值无关，因此平面上的圆域（5.1）注：的依赖区域是球面，而的依赖区域是圆域，而不是圆周。的依赖区域。称为点

三维情形:

由三维Poisson公式知的值由初始条件在以为圆心以为半径的球面上的值完全决定，而和此球面外的数值无关，因此超平面上的球面（5.1）’对于2、决定区域：的依赖区域3、影响区域：的影响区域为的影响区域为圆域的决定区域为的决定区域为4、特征锥与特征锥面二维波动方程的特征锥（面）：三维波动方程的特征锥（面）：5、惠更斯（Huygens）原理与波的弥漫二维和三维Poisson公式中积分区域的差异导致了物理上截然不同的效果：惠更斯原理或波的弥漫三维波动方程的Poisson

公式：假设初始条件只在某个区域（二维或三维）内不为0。在外取点，考察点在时刻的振动位移（计算该值是否为零：物理上振动位移为零表示该点不振动，不为零表示初始振动已传播到此点）先看三维情形：记其中表示之间的距离二维波动方程的Poisson

公式：特点：二维波的传播只有清晰的前阵面，但没有后阵面，这个现象称为波的弥漫或波有后效现象。特点：三维波的传播有清晰的前阵面和后阵面，这一物理现象称为惠更斯（Huygens）原理或波无后效现象。6、解的衰减性三维波动方程的Poisson

公式：（5.10）式称为衰减估计式，其衰减阶数为。假设初值只在一个有界区域内不为零，称为具有紧支集。我们研究解当时的渐近性态。先改写三维Poisson公式由于所以所以由于具有紧支集，所以必存在一个使得在以原点为心、以为半径的球外恒为零，而在球内成立：而且注意到时，成立：结合（5.12）可得如下估计此外，球面位于球内的部分的面积不超过球的表面积，即化合（5.13）（5.14）（5.15）可得第六节、能量不等式一、一维波动方程初边值问题的能量不等式波动方程解的唯一性与稳定性定理：是(6.1)-(6.3)的解，则存在正常数设如果当时，则且不等号变为等号。注：1、不等式(6.4)通常称为能量不等式或能量估计式；2、这个不等式是在假设解存在的前提下得到的，这种不等式称为“先验”估计。－动能；－应力能量；－表示能量。证明方程(6.1)两边同乘以

并在积分得或情形1：于是因此或物理上该关系式称之为能量守恒。情形2：于是其中由于所以令则积分得代入（*）得即得定理1。推论1在定理的假设下，则证明取则即积分得结合定理1即得推论1推论2

波动方程（6.1）-（6.3）的解是唯一的。证明设是（6.1）-（6.3）的任意解，要证唯一性，只需证明。令，则满足应用能量估计得即又在初始时刻故得定理6.1：(6.7)-(6.9)的解，则存在正常数设是一个有界开集，的边界当时，则且不等号变为等号。考虑二维初边值问题：如果是并令注：证明同于一维情形，只需处理如下积分Green公式：推论：在定理的假设下，则推论：混合问题(6.7)-(6.9)的古典解是唯一的。定理

6.2：是稳定的：波动方程混合问题

(6.7)-(6.9)的解在下述意义下关于初始值与方程右端项f

则以初始值、非齐次项的解与以初始值