34两个重要极限PPT课件

1、11sinlim0 xxx首先注意到都有定义都有定义对一切对一切函数函数0sin xxx设法构造一个“夹逼不等式”，使函数xxsin在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数 g(x), h(x) 之间，以便应用迫敛性第1页/共25页作如图所示的单位圆AC)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 x第2

2、页/共25页xxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx注此结论可推广到1)()(sinlim xxax 有限值，也可为有限值，也可为可为可为，其中，其中时时条件是条件是axax0)(, 第3页/共25页20cos1limxxx1sinlim0 xxx 1)()(sinlimxx(x)0) 例1 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解 xxx

3、tanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解 例2 例例 2 求20cos1limxxx 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx 第4页/共25页例3xx

4、x5sinlim0求xxx5sinlim0解：xxx55sin5lim0 xxx55sinlim500,0,5txtx有时当令5sinlim5,0ttt原式所以注：在上例中，应用公式时，我们使用了代 换 ,在运算熟练后可不必代换，直接计算：xt5xxx5sinlim0555sinlim50 xxx第5页/共25页例4 . 求极限:xxxxxxtanlim22sin3sinlim100、xxx2sin3sinlim10、解：xxxxxxx222sin333sinlim0 xxxxxx22sinlim233sinlim300231213xxxxxxxcossinlimtanlim200、xxxxc

5、ossinlim0 xxxxxcos1limsinlim00111第6页/共25页例5. 求极限:xxx3sinlimxxx3sinlim:解xxx33sinlim3)333sin(limxxxxx313 第7页/共25页例2.cos1lim20 xxx 求求解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例4 求 30sintanlimxxxx 解xxxxxcos)cos1(sinlim30 原式原式第8页/共25页 xxxxxxcos1cos1sinlim2011211 例3 求xxx 2coslim2 解

6、xt 2 令令02tx时时则当则当 于是xxx 2coslim2 ttt)2cos(lim0 1sinlim0 ttt第9页/共25页 练习1.求下列极限:xxxxAxx35sinlim23sinlim100、333sin3lim3sinlim100 xxxxxx、35)35)(55sin(lim35sinlim200 xxxxxx、第10页/共25页,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e 1lim (1)

7、.xxex2exxx )11(lim简证第11页/共25页, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim此结论可推广到 exxax )(1)(1lim 有限值，也可为有限值，也可为可为可为，其中，其中时时条件是条件是axax0)(, 注特别有第12页/共25页10lim(1)ttte10lim(1)zzze例6.)11(limxxx 求求解1)11(lim xxx原式原式xxx )11(1lim.1e 一般地kxxexk 1lim例7 求xxxx 11lim第13页/共25页解一)121()

8、121(lim221 xxxx原式原式2e 解二xxxxx)11()11(lim 原式原式21eee 第14页/共25页例6, 求极限 xxx)31 (lim) 1 (xxx1)31 (lim)2(0 xxx)31 (lim) 1 (33)31(limxxx3exxx1)31 (lim)2(0)3(31)3(1 lim0 xxx3)3(1lim31xxx3 e解：第15页/共25页例734)211 (limxxx求34)211 (limxxx34)211 ()211 (limxxxx322)211 (lim)211(limxxxxx221ee解：第16页/共25页例8xxxx2)12(lim求

9、2exxxx2)12(limxxx2)111 (lim2)1(2)111 (limxxx解：2)1(2)111 ()111 (limxxxx221)111 (lim)111(limxxxxx第17页/共25页 练习2.求下列极限:xxxxxxA)21 (lim2)31 (lim110、3331010)31(lim)31 (limexxxxxx222)21(lim)21 (limexxxxxx第18页/共25页练习220001sinlim42tanlim33sin7sinlim221sinlim1xxCxxxxBxxAxxxx、37)37)(3sin3)(77sin(lim3sin7sinlim

10、. 200 xxxxxxxx2)2cos2)(22sin(lim2tanlim. 300 xxxxxxx111sinlim1sinlim. 42222xxxxxx21)212121sin(lim21sinlim. 100 xxxxxx第19页/共25页xxxxxxxxCxBxA)212(lim. 7)311 (lim. 6)cos1 (lim. 514cos1221212)211(lim)212(lim. 7exxxxxxx134314)311 ()311(lim)311 (lim. 6xxxxxxx34341eeexxxcos12)cos1 (lim. 5第20页/共25页3、小结两个重要极

11、限1sinlim0 xxxexxx )11(lim1)()(sinlim xxax 有限值，也可为有限值，也可为可为可为，其中，其中时时条件是条件是axax0)(, exxax )(1)(1lim 有限值，也可为有限值，也可为可为可为，其中，其中时时条件是条件是axax0)(, 第21页/共25页说明 1sinlim. 10 xxx对公式00（1）分子、分母含有三角函数且在自变量指定的变化趋 势下是“ ” 型。（2）公式中的“ ”可以是趋向于零的代数式。x（3）注意三角函数有关公式的应用。exxx)11 (lim. 2对公式（1）函数在自变量指定的变化趋势下是“ ” 型。1（2）应用公式解题时，注意将底数写成1与一个无穷小量 的代数和的形式，该无穷小量与指数互为倒数。（3）注意