3、微分中值定理与导数的应用PPT课件

1、（二）主要结论 1.微分中值定理 (1) 罗尔(Rolle)定理 f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微, f (a) = f (b), 则至少存在一点 (a, b), 使 f ()=0. (2) 拉格朗日(Lagrange)定理 设 f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微, 则至少存在一点 (a, b), 使 f (b) - f (a) = f ()(b - a).)()()()()()( FfaFbFafbf (3) 柯西(Cauchy)定理 设 f (x)与F(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微, 且 F (x) 0, 则至少存在一点 (a, b), 使

2、第1页/共59页 (4)泰勒(Taylor)定理 设 f (x)在 x0 的某邻域U(x0, )内具有直到 n +1阶的导数, 则 xU(x0, ), 有 200000)(21)()()(xxxfxxxfxfxf型余项. 此公式称 f (x)的 n 阶泰勒公式.).()(!100)(xRxxxfnnnn ,)()!1(1)( 10) 1( nnnxxfnxR 其中其中称为Lagrange 当 x0 = 0时, 此公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式,余项形式还有柯西型余项) 10(,)()1 (!)()(1000) 1( nnnnxxnxxxfxR和佩亚诺(Peano)余项Rn(x) =

3、 o(| x x0|n).第2页/共59页 3.设 f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 若 f (x) 0,则 f (x)在a, b上是单调增加的; 若f (x) 0 , 则 f (x)在a, b上是单调减少的.2.洛必达(LHospital)法则)()(limxgxf lim f (x) = lim g(x) = 0(或), 存在或为, 则.)()(lim)()(limxgxfxgxf 4.设 f (x)在 x0 处连续, 在某去心邻域)(0 ，xUo内可微, 当 x 在)(0 ，xUo内从x0左侧经过x0到右侧时, f (x)由正变负, 则 f (x0)为 f (x)的一

4、个极大值; f (x)由负变正, 则 f (x0)为 f (x)的一个极小值.(第一充分条件) 5. f (x0) = 0, f (x0) 0, 那么, 当 f (x0) 0 时, f (x0)为极大值；当 f (x0) 0 时, f (x0)为极小值.(第二充分条件)第3页/共59页 6.设 f (x)在(a , b)内具有二阶导数, 则当f (x) 0时,曲线 y = f (x)在(a , b)内是凹的；当 f (x) 0时,曲线 y = f (x)在(a , b)内是凸的. 7.设 f (x)在(a , b)内二阶可导, x0(a, b), f (x0) = 0, 且在 x0 的左、右二

5、阶导数变号, 则(x0, f (x0)为曲线y = f (x)的拐点.(拐点的第一充分条件) 8.设 f (x) 在x0 处三阶可导, f (x0) = 0, f (x0) 0, 则(x0, f (x0)为曲线y = f (x)的拐点.(拐点的第二充分条件) 9.弧微分公式;)()()()() 1 (22dtttdstytx ，;)(1)()2(2dxxydsxyy ，231( )( )( );xx ydsxy dy，第4页/共59页;)()()()4(22 drrdsrr ， (5)空间曲线：x = (t), y = (t), z = (t),.)()()(222dttttds 10.曲率与

6、曲率半径.)1 (| ) 1 (232yyk 曲率曲率.1 )2(k 曲率半径曲率半径 (3)设y (x) 0, 则曲线 y = f (x)在M(x, y)点的曲率中心D(, )的坐标为 .1,)1 (2yyyyyyx 第5页/共59页（三）结论补充 1.设 f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, x0是 f (x)在(a, b)内唯一驻点, 若 x0是 极大值点, 则 x0 必是 f (x)在a, b上的最大值；若 x0是极小值点, 则 x0 必是 f (x)在a, b上的最小值. 3.设 f (x)在 x0 处具有 n 阶连续导数, 且 2.设 f (x)在a, b上连续,

7、在(a, b)内可导, 若在(a, b)内f (x) 0, 则 a 是最小值点, b 是最大值点；若在(a, b)内 f (x) 0, 则 a 是最大值点, b 是最小值点. f (x0) = f (x0) = = f (n-1)(x0) =0, f (n)(x0) 0,则当 n 为奇数时, f (x0)不是极值；当 n 为偶数时, f (x0)是极值. 且当 f (n)(x0) 0 时, f (x0)是极大值；当 f (n)(x0) 0 时, f (x0)是极小值.第6页/共59页则 y = ax + b 是 y = f (x)的斜渐近线. 4.若在 x0 的某邻域内, f (x)具有 n

8、阶连续导数, 且 f (x0)= f (x0)= = f (k-1)(x0)=0, f (k)(x0) 0, (k n)则当 k 为偶数时, (x0 , f (x0)不为 y = f (x)的拐点；当 k 为奇数时, (x0 , f (x0)为 y = f (x)的拐点(k 0). 5.若)(lim,)(limaxxfbxxfaxx 均存在,)(lim cx xf若若则 x = c 是 y = f (x)的铅直渐近线.,)(lim xcxf 若若则 y = c 是 y = f (x)的水平渐近线.第7页/共59页 6.对于00型未定式, 可视分子或分母无穷小的阶数,对分子或分母进行佩亚诺替换,

9、 替换公式为);(!1! 211) 1 (2nnxxoxnxxe );(1) 1(3121)1ln()2(32nnnxoxnxxxx );()!12(1) 1(! 31sin)3(22123 nnnxoxnxxx);()!2(1) 1(! 211cos)4(1222 nnnxoxnxx 2! 2) 1(1)1)(5(xxx ).(!) 1() 1(nnxoxnn 第8页/共59页 7.设lim u(x) = 1, lim v(x) = , 则有 lim u(x)v(x) = explimu(x) 1v(x). 8.设lim (x) = 0, lim(x) = 0 ,(x) 0, 则有.)()(

10、limexp)(1 lim)(1xxxx 9.设lim (x) = 0, lim(x) = 0, 0)(lim x ，则有，则有，)()(),()(0)(limxxxxx .)(1lim)(1 lim)(1)(1xxxx .)()(limexp)(1 lim)(1xxxx 第9页/共59页二、归类解析 （一）证明题 1.证明不等式例3-1 试证 x -1时, ex 1+ln(1+x).1111lnxx 例3-2 证明当 0 x 2时, 4xlnx x2 2x + 4 0.例3-3 当 a 为正常数, 且0 x +时, 证明( x2 2ax + 1)e-x 1.例3-4 证明当 x 0时, 例3

11、-5 试比较 e 与 e 的大小. 例3-6 若 f (x)二阶可导, 且 f (a) = f (b) = 0 (a b), 试证明在(a, b)内至少有一点 , 使 . | )()(|)(4| )(|2afbfabf 第10页/共59页 2.证明等式 例3-7 f (x)与 g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微, 且 f (a) = f (b), 证明存在 (a, b), 使 f () + f () g() = 0. ).(ln)()( fabafbf 例3-8 f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微 (0 a b), 证明存在 (a, b), 使 例3-9 设 f

12、(x)与 g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微, 对于 x (a, b), g(x) 0 , 试证在 (a, b)内必有 , 使.)()()()()()( gbgaffgf 例3-10 设 f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微, 试证存在 , (a, b), 使 ).(2)( fbaf 第11页/共59页（二）洛必达法则 例3-11 求.2sin1lim4202xexxx 例3-12 求.11ln1lim1 xxx 例3-13 求.sinlim10 xxxx 例3-14 设 a 0, b 0, a 1, b 1, 求.2limnnnnba 例3-15 求1lnlim

13、arccot.xxx第12页/共59页 例3-17 设 f (x)在 a, +)上连续, 当 x a 时, f (x) k 0 , 其中 k 为常数, 又 f (a) 0 , 证明：方程 f (x) =0在 （三）函数性态 kafaa| )(|， 例3-16 设 f (x)在 a, +) 中二阶可导, 且 f (a) 0, f (a) 0, 又当 x a 时, f (x) 0 , 证明方程 f (x) = 0在(a, +)内必有且仅有一个实根. 内有唯一实根. 例3-18 试证方程 x2 = xsinx + cosx 恰有两个实根. 例3-19 设 (x)在x = 0处二阶连续可导, 且 (0

14、) = 0, (0) 0, 证明曲线 y = f (x) = (1 cosx)(x)在 x = 0处必出现拐点. 第13页/共59页 例3-20 求 y = x3 6x2 + 9x 4的极值. 例3-21 若在 a 的邻域内 f (x)存在且连续, 证明 ).()()(2)2(lim20afhafhafhafh 例3-22 设在a, b上 f (x) 0, 证明 axafxfx )()()( 在a, b上单调增加. 例3-23 作函数 . ) 1(23的图形的图形 xxy第14页/共59页（四）导数应用 例3-24 求单位球的内接正圆锥体, 其体积为最大时的高与体积. 例3-25 在曲线 y

15、= 1 x2 (x 0)上求一点P 的坐标,使曲线在该点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小. 例3-26 银幕高为 a m, 银幕底边高出观众 b m, 问观众离银幕多远, 才能使观众看图象最清楚, 即视角最大？ 例3-27 求数列. 1222的最大项的最大项 nenn第15页/共59页 例3-28 曲线 y = 4 x2 与直线 y = 2x + 1相交于A, B 两点, 又C 是曲线弧AB上任一点, 求ABC 面积的最大值. 例3-29 在曲线 y = x2 x 上求一点P, 使P 点到定点A(0, 1)的距离最近. 例3-30 由直线 y = 0, x = 8及抛物线 y = x2

16、 围成一个曲边三角形, 在曲边 y = x2 上求一点, 使曲线在该点的切线与直线 y = 0及 x = 8所围成的三角形面积最大.第16页/共59页三、同步测试 测试3-1 (一)、填空题（3分4=12分） 1.取 f (x) = x3 , F(x) = x2 , 在区间1, 2上适合柯西中值定理的 =2.曲线xxxyln 的拐点是3.函数 y = ln(1 + x2)的单调减少区间是4.曲线 y = (x 1)2 在 x = 1处的曲率半径 R =914答答案案：21答答案案：答案：(- , 2)23(232323 eee ，答答案案：第17页/共59页(A) f (x) 0, f (x)

17、 0; (B) f (x) 0, f (x) 0; (二)、选择题（4分3=12分） 1.函数 f (x)在(-, +)上二阶可导, f (x)为奇函数, 在(0, +)上 f (x) 0 , f (x) 0, 则 f (x)在(-, 0)上有 . 2.设两函数 f (x)与g(x)在点x = x0处都取得极小值, 则 f (x)g(x)在点x = x0处 .(A)不一定取极值; (B)必取极小值; 3.设 f (x)二阶可导, 且 f (x) 0 , f (0) 0, 则在(0, +)上 必 .xxf)(A)单调减少; (B)单调增加; (C)先单调增加, 后单调减少; (D)先单调减少,

18、后单调增加.答案：(D)答案：(A)答案：(B)(C) f (x) 0, f (x) 0; (D) f (x) 0, f (x) 0; (A)不能取极大值; (D)不能取极值; 第18页/共59页.)1ln(sin) 1(22lim2220 xxeeexeexxxxxxx (三)、计算题（6分5=30分）1.求2.求3.求4.求5.求.111lim0 xxex.23limsin10 xxxxe .)sin(coslim210 xxxxx .lim10 xxxx21答答案案：61答答案案：e1答答案案：e答答案案：1答答案案：第19页/共59页(四)、综合题（8分4=32分）1.在椭圆14222

19、 yx内嵌入面积最大且边平行于坐标 2.已知矩形的周长为 24, 将它绕一边旋转而构成一立体, 问矩形的长、宽各为多少时, 所得立体的面积最大. 3.已知点(1, 3)为曲线 y = x3 +ax2 +bx +14的拐点, 试求 a , b 的值. 4.讨论 y = xe-x 的增减性, 凹凸性, 极值, 拐点, 渐近线, 并绘出图形.答案: a= -3 b= -9轴的矩形.答案: 长：8；宽：422 2 ：，宽宽答答案案：长长：第20页/共59页(五)、证明题（7分2=14分）1.试证当 x 0时, ex 1 (1 + x)ln(1 + x). 2.设 f (x)在a, b上连续, 在(a,

20、 b)内可微(0 a b), 试证存在 (a, b), 使 2 f (b) f (a) = (b2 a2) f () 第21页/共59页测试3-2 (一)、填空题（3分4=12分） 1.设 y = x ln(1 + x2)的单调增加区间是 2.设 在点 处的曲率 k = 3.设 的凸区间为 4.函数 y = x 3x 的极小值点是 x =xey5203 2xey 2548答答案案：答案： (-, +) 2030， 2222，答答案案：3ln1 答答案案：第22页/共59页(二)、选择题（4分3=12分） 1.设函数 y = f (x)对一切 x 满足 x f (x)+3x f (x)2 =1

21、e-x , 若 f (x0) = 0, x0 0, 则 .(A) x0 是 f (x) 的极小值点; (B) x0 是 f (x) 的极大值点； (C) x0 不是 f (x) 的极值点; (D) (x0 , f (x0)是曲线 y = f (x)的拐点.2.函数 y = f (x)在函数 x = x0 处取得极值, 则 . 3.若 3a2 5b 0, 则方程 x5 +2ax3 +2bx + 4c =0必 .答案：(A)答案：(C)答案：(B)(A) f (x0) 0; (B) f (x0) 0； (C) f (x0) =0或 f (x0)不存在; (D) f (x0)不存在. (A)无实根;

22、 (B)有唯一实根； (C)有两个不同实根; (D)有三个不同实根. 第23页/共59页.)31ln(3lim20 xxxx(三)、计算题（6分5=30分）1.求2.求3.求4.求5.求.sinlim20 xxexxx .7csc)3cos1 (lim2xxx .cos45lim3sin102xxx .12tanlim1xxxx 1答答案案：29答答案案：92 e答答案案：1答答案案：989答答案案：第24页/共59页(四)、综合题（8分4=32分） 1.设 f (x) = x3 + ax2 + bx 在 x = 1处取得极小值-2, 求a , b的值. 2.设函数 f (x) = x3 +

23、ax, 当| x | 2时, | f (x) | 4, 求a的取值范围. 3.讨论方程 1 x tanx = 0在(0, 1)内的实根情况.4.求.1arctanarctanlim2 nanann答案: a= 0, b= -3答案:只有一个实根答案: a2433 a答答案案：第25页/共59页(五)、证明题（7分2=14分）1.设 , 且 f (x) 0, 试证 f (x) x . 2.设 f (x) 在 a, b上二阶连续可导，A(a, f (a)，B (b, f (b)连线与曲线 y = f (x)交于C(c, f (c) (a c b), 试证存在一点 (a, b)，使 f ( ) =

24、0 .1)(lim0 xxfx第26页/共59页证 令 f (x) = ex 1 ln(1+x), 则 ,11)(xexfx 有 f (0) = 0, f (0) = 2 0， 即 ex 1 + ln(1+x).例3-1 试证 x -1时, ex 1 + ln(1+x).,)1 (1)(2xexfx 故 f (0)为 f (x)的极小值, 也是 f (x)于(-1, +)内最小值,因此 f (x) f (0) ， 第27页/共59页例3-2 证明当 0 x 2时, 4xlnx x2 2x + 4 0.证 令 f (x) = 4xlnx x2 2x + 4 , 则 f (x) = 4lnx 2x

25、 + 2 , 令 f (x) = 0, 得驻点 x = 1, 这是唯一驻点. 而 , 02) 1 ()2(2)( fxxxf，故 x = 1是 f (x)的极小值点. 又当0 x 2时, f (x) 0, 故曲线 y = f (x)在(0, 2)内是凹的, 故 x = 1既是极小值点, 又是最小值点, 从而在 0 x 2中, 有 f (x) f (1) = 1 0， 从而 4xlnx x2 2x + 4 0. 第28页/共59页例3-3 当 a 为正常数, 且0 x +时, 证明(x2 2ax + 1)e-x 1.证 令 f (x) = ex ( x2 2ax + 1), 则 f (x) =

26、ex 2x + 2a, f (x) = ex 2, f (x) = ex 0.令 f (x) = 0, 得 x = ln2, f (x)在 x = ln2 处取得最小值, 即 f (x) f (ln2) = 2 2ln2 +2a 0,从而 f (x)在 0, +)上单调增加, 即当 0 x +时 f (x) f (0) = 0,就是 ex ( x2 2ax + 1) 0，亦即 (x2 2ax + 1)e-x 1.第29页/共59页.1111lnxx 例3-4 证明当 x 0时, 证 令 )0(1111ln)(，则，则 xxxxf, )0(0)1 (1)(2 xxxxf故 f (x)单调减少.

27、又01111lnlim)(lim xxxfxx所以, 0)(lim)( xfxfx即.1111lnxx 本题也可以用拉格朗日中值定理证明：令 g(x) = lnx, 区间是 x, x + 1第30页/共59页例3-5 试比较 e 与 e 的大小. 解 由于 e = eeln , 问题转化为比较同底数得幂指数 e与 eeln的大小, 只要比较 与 eln即可, 令 f (x) = x elnx, xexxexf 1)(当 x e 时, f (x) 0, f (x)单调增加, 而 f (e) = 0, 从而 f (x) f (e) = 0, 又 e, 故 f () 0, 有 eln 0, 即有 e

28、 eeln 从而 e e . 第31页/共59页例3-6 若 f (x)二阶可导, 且 f (a) = f (b) = 0 (a b), 试证明在(a, b)内至少有一点 , 使 . | )()(|)(4| )(|2afbfabf 证 此题用Taylor公式来证. 分别在 a, b两点将 f (x)展开成Taylor公式, 然后将 c),()()(21)()()()(112cafacafacafcf ),()()(21)()()()(222bcfbcbfbcbfcf 上两式相减并取 | f ( )| = max| f (1)|, | f (2)|,有| )()(|221| )()(|212 f

29、fabafbf | )(| )(|8)(212 ffab . | )(|4)(2 fab 代入, 则有2ba 第32页/共59页 例3-7 f (x)与 g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微, 且 f (a) = f (b), 证明存在 (a, b), 使 f () + f () g() = 0. 分析 要证 f () + f () g() = 0, 若能证出 eg( ) f () + f () g() = 0, 即可, 然而等式的左端正是 F(x) = f (x)eg(x) 在 x = 处的导数. 证 作辅助函数 F(x) = f (x)eg(x) F (x) =eg(x) f

30、(x) + f (x) g(x) 又 F(a) = f (a)eg(a) = 0, F(b) = f (b)eg(b) =0 由罗尔定理, 有 (a, b), 使 F () = 0，就是 eg( ) f () + f () g() = 0 ，而 eg( ) 0, 故 f () + f () g() = 0 .第33页/共59页).(ln)()( fabafbf 例3-8 f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微 (0 a b), 证明存在 (a, b), 使 证法一 对 f (x)与 g(x) = lnx 在a, b上用柯西中值定理(条件显然满足), 得),(1)(lnln)()(b

31、afabafbf 整理即得所证结果，).(ln)()( fabafbf 证法二 令),(lnln)()()(xfabxafbfx 容易验证(x)在 a, b上满足罗尔定理的条件, 故存在 (a, b), 使 ( ) = 0, 即).()(ln)()(bafabafbf 第34页/共59页 例3-9 设 f (x)与 g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微, 对于 x (a, b), g(x) 0 , 试证在 (a, b)内必有 , 使.)()()()()()( gbgaffgf 证 令),()()()()()()()(agxgagbgafxfxfx 容易验证(x)在 a, b上满足罗

32、尔定理的条件, 故存在 (a, b), 使 ( ) = 0, 即, 0)()()()()()()()()( agbgaffgaggff 则 .)()()()()()( gbgaffgf 第35页/共59页 例3-10 设 f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微, 试证存在 , (a, b), 使 ).(2)( fbaf 证 对 f (x)与 x2在a, b上使用柯西中值定理,存在 (a, b), 使,2)()()(22 fabafbf 再对 f (x)在a, b上使用拉格朗日中值定理, (a, b), 使),()()( fabafbf 上两式相除即得).(2)( fbaf , (a

33、, b). 第36页/共59页 例3-11 求.2sin1lim4202xexxx 00型未定式, 若直接使用洛必达法则计算 解 这是会相当麻烦, 且很容易出现错误, 而如果先作等价无穷小替换, 则会简捷得多. 因为 sin42x (2x)4, 故 原式 =420)2(1lim2xexxx 306422lim2xxexxx 20321lim2xexx xxexx642lim20 .321 第37页/共59页 例3-12 求.11ln1lim1 xxx 解 这是 型未定式, 若使用洛必达法则需化为，型型型或型或 00 为此要先通分. 原式 =xxxxxln) 1(ln1lim1 xxxxxln1

34、11lim1 xxxxxln11lim1 xxln111lim1 .21 第38页/共59页 例3-13 求.sinlim10 xxxx 解法一 这是 1 型未定式, 需要取对数.,sin 1xxxy 令令,sinln1ln xxxy xxxxsinln1lim020sincossinlimxxxxxxx (洛必达法则), 02cossincoslim0 xxxxxx 原式 = e0 = 1.第39页/共59页 例3-13 求.sinlim10 xxxx 解法二 注意到, 021coslimsinlim020 xxxxxxx, 011coslimsinlim00 xxxxxx 原式 =2sin

35、sin0sin1limxxxxxxxxxx = e0 = 1. 解法三 利用结论补充公式之7, 有 原式 =xxxx11sinlimexp0 20sinlimexpxxxx xxx21coslimexp0 = e0 = 1.第40页/共59页 例3-14 设 a 0, b 0, a 1, b 1, 求.2limnnnnba 解法一 原式=nbabannnnnnnba2) 1() 1(22221lim .)ln(ln21abeba 解法二xxxxba 2lim11 xbaxbbaaxxxxx1)(1lnlnlimexp1111,2lnexpabab 原式 =.2limabbannnn 第41页/

36、共59页 例3-15 求1lnlim arccot.xxx 解 原式=lnarccotexp limlnxxx211exp lim()arccotxxxx11exp lim()arccotxxxxxx1exp lim()arccotxxx22111exp lim()xxx.1 e第42页/共59页 例3-16 设 f (x)在 a, +) 中二阶可导, 且 f (a) 0, f (a) 0, 又当 x a 时, f (x) 0 , 证明方程 f (x) = 0在(a, +)内必有且仅有一个实根. 证 唯一性： 由 f (x) 0知 f (x)在a, +) 中单调减少,即当x a 时, f (x

37、) f (a) 0 ,得 f (x)在(a, +) 中单调减少. 则方程 f (x) = 0在a, +)最多只有一个根.由介值定理可知 f (x) = 0在)()()()()()()()()(afafaaafafaffafafafaf 即, 0)()( afafaf又 f (a) 0， 存在性：由拉格朗日中值定理 故 f (x) = 0在(a, +)内仅有一个实根. )()(afafaa ，内必有实根.第43页/共59页 例3-17 设 f (x)在 a, +)上连续, 当 x a 时, f (x) k 0 , 其中 k 为常数, 又 f (a) 0 , 证明：方程 f (x) =0在 kaf

38、aa| )(|，内有唯一实根. 证 唯一性： 由题设在 kafaa| )(|，内, f (x) k 0, 可知在该区 间内 f (x)单调增加, 因此 f (x)至多有一个实根. 存在性：由拉格朗日中值定理, kafaa| )(|，),(| )(|)(| )(| fkafafkafaf 再由题设, 当 a时, f ( ) k 0, 于是有, 0| )(|)(| )(|)(| )(| afafkkafafkafaf又 f (a) 0, 由零点定理, f (x)在 kafaa| )(|，内至少有一个零点, 从而命题得证.第44页/共59页 例3-18 试证方程 x2 = xsinx + cosx

39、恰有两个. 证 令 f (x) = x2 xsinx cosx , 则 f (x) = 2x xcosx = x(2 cosx) 令 f (x) = 0, 解得 x = 0, 当 x 0时, f (x) 0；x 0时, f (x) 0, 即函数分段单调. 又 f () = f () = 2 + 1 0时, f (0) = 1 0 , 故必有 (, 0)和 (0, ), 使 f ( ) = 0, f () = 0, 又由 f (x)在(, 0)和 (0, +)分段单调, 故只有两个实根. 第45页/共59页 例3-19 设 (x)在x = 0处二阶连续可导, 且 (0) = 0, (0) 0,

40、证明曲线 y = f (x) = (1 cosx)(x)在 x = 0处必出现拐点. 证 f (x) = (1 cosx) (x) + (x)sinx, f (x) = (1 cosx) (x) +(2sinx) (x) + (x)cosx 当 x = 0时, f (0) = (0) = 0.xfxffx)0()(lim)0(0 xxfx)(lim0 xxxxxxxxxxcos)()(sin2)(cos1lim0 = 3 (0) 0.故曲线 x = 0处必出现拐点. 第46页/共59页 例3-20 求 y = x3 6x2 + 9x 4的极值. 解法一 y = 3x2 12x + 9 = 3(

41、x 1)(x 3), 令 y = 0, 得驻点x = 1 , x = 3, 当x 1时, y 0； 当1 x 3时, y 0； 当 x 3时, y 0. y 极大(1) = 0; y 极小(3) = 4.解法二 y = 6x 12 y (1) = 6 0; y (3) = 6 0.由第二充分性得 y 极大(1) = 0; y 极小(3) = 4.第47页/共59页 例3-21 若在 a 的邻域内 f (x)存在且连续, 证明 ).()()(2)2(lim20afhafhafhafh 证法一 由Taylor公式, 在 a 的 h 邻域内, 有 ),()2)(21)(2)()2(22hohafha

42、fafhaf ),()(21)()()(22hohafhafafhaf 故 f (a + 2h) 2f (a + h) + f (a) = h2 f (a) + o(h2) 从而 ).()()(2)2(lim20afhafhafhafh 证法二 用洛必达法则, 有 20)()(2)2(limhafhafhafh hhafhafh2)(2)2(2lim0 2)(2)2(4lim0hafhafh ).(af 第48页/共59页 例3-22 设在a, b上 f (x) 0, 证明 axafxfx )()()( 在a, b上单调增加. 证2)()()()()()(axafxfxfaxx 2)()()(

43、)(axaxfxfax ).()()(xaaxfxf 由于 f (x) 0, 故 f (x)在a, b上单调增加, 因此 f (x) f ( ), 故 (x) 0, (x)在a, b上单调增加.第49页/共59页 例3-23 作函数 . ) 1(23的图形的图形 xxy解 定义域(, 1)(1, +), x = 1为间断点 ,) 1()3(32 xxxy驻点 x1 = 0, x2 = 3 ,) 1(44 xxy使 y = 0, 得x = 0. ,) 1(limlim2311 xxyxx因为 得 x = 1为铅直渐近线. 该曲线无水平渐近线. 因为 , 1) 1(lim)(lim23 xxxxx

44、yxx, 2) 1() 1(lim)(lim223 xxxxxxyxx所以 y = x 2是斜渐近线. 函数性态表如下第50页/共59页函数性态表 x)3,( ), 0( ) 1, 3( 3 )0 , 1( )(xf )(xf 0)(xf 1 0 拐点极大间断点xyo22 1 3 427 2 xy1 y 00第51页/共59页 例3-24 求单位球的内接正圆锥体, 其体积为最大时的高与体积. 解 设球心到锥底面垂线长 x, 则圆锥体高为 1 + x (0 x 1), 锥底半径为 ,12x 圆锥体体积为)1 ()1(322xxV ).10()1)(1 (32 xxx ),31)(1 (3)( xxxV 令令 得唯一驻点,31 x. 0)31( V 则.813231 max VV此时高为.34 第52页/共59页 例3-25 在曲线 y = 1 x2 (x 0)