3.1变化率与导数PPT课件

1、 为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数.随着对函数的研究的不断深化，在十七世纪中叶产生了微积分，它是数学史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.第1页/共43页 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二、求曲线的切线；三、求函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等.第2页/共43页 几百年中，科学家们对这些问题的兴趣与研究经久不衰.终于，在十七世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的

2、直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分.（1646.7.1 1716.11.14） （1643.1.4 1727.3.31）第3页/共43页牛顿、莱布尼兹发明微积分：自笛卡儿创立解析几何之后，变量进入数学。下一个划时代的数学成就便是微积分的诞生。费尔玛是最早应用了微分学方法的一位学者。1629年，他在求最大值最小值的方法一文中，用一个例子说明他的方法。问题是：已知一条线段，要求出其上一点，使被该点分成的直线段的两部分，所构成的矩形面积最大。他设线段长为B，一部分为A，另一部分为B-A，矩形面积为AB-A2,然后用A+E代A,令一部分为B-A-E,矩形面积遂成为（A+E）(B-A-E).费尔

3、玛认为，当A的长度恰为最大值时，这两个值应相等（运用了几何观察），即（A+E）(B-A-E) AB-A2。这可整理为BE-2AE-E2=0,约去E，得B2AE，略去E，得B=2A。这就是说正方形将获得最大面积。 第4页/共43页这一想法，与微分学的想法非常接近。英国数学家巴罗，是牛顿的老师。他提出用微分三角形来求切线，其基本思想和费尔玛差不多，也是先将x扩充为x+ ,然后带入函数，最后再略去 。xx积分学的工作，由求面积开始。阿基米德就求过抛物线下的弓形面积。刘徽的割圆术，也是同一思想。更有系统的工作的由开普勒，把曲边形看边数无限增大的直线形，圆的面积就是无穷多个三角形的面积之和。意大利数学家

4、卡瓦列里把曲线看成无限多条线段拼成的。这些，都为微积分学的诞生做了思想上的准备。第5页/共43页牛顿关于微积分的手稿表明，他在1665年已经用“0”表示无限小增量，求出瞬时变化率。后来，牛顿把变量x称为流量，x的瞬时变化率称为流数，整个微积分学就称为流数术。1687年牛顿发表了他的巨著自然哲学的数学原理，该书是第一本公开载有牛顿微积分思想的书。他的第一部关于微积分的专著运用无穷多项的分析学发表在1669年。莱布尼兹在1675年到1676年间发明了无穷小算法。他通过几何上求曲线切线的研究得到一般的微分理论。把切线斜率看成是无限小增量dy和dx之比。他引用符号 表示变量的求和过程，并看到d和 是互

5、逆的运算。1676年，他给出了一般性的法则：1,)(11nxdxxdxnxxdnnnn第6页/共43页牛顿从力学着眼，考虑变量的运动速度流数。莱布尼兹则从几何上入手，偏重运算法则的探讨。他发明的符号d和 一直沿用至今。牛顿、莱布尼兹超越前人的贡献，不是在于发现求切线和求面积的具体方法，而是给出了一般的无穷小算法，同时又找出了微分和积分之间的互逆关系。这一深刻的思想，已成为人类文明中的瑰宝。第7页/共43页 导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 本章我们将利用丰富

6、的背景与大量实例，学习导数的基本概念与思想方法.第8页/共43页问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程, ,可以发现可以发现, ,随着气球随着气球内空气容量的增加内空气容量的增加, ,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢. .从数学角度从数学角度, ,如何描述这种现如何描述这种现象呢象呢? ?v气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是34( )3V rrv如果将半径r表示为体积V的函数,v那么33( )4Vr V思考思考: :这一现象这一现象中，哪些量中，哪些量在改变？变在改变？变量的变化情量的变化情况？况？第9页

7、/共43页我们来分析一下:v当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为v当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/ )1 00.62rrdm L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.16rrdm L显然0.620.1633( )4Vr V 随着气球体积逐渐随着气球体积逐渐变大变大, ,它的平均膨胀率逐它的平均膨胀率逐渐变小渐变小第10页/共43页思考? 当空气容量从当空气容量从V V1 1增加到增加到V V2 2时时, ,气球的平气球的平均膨胀率是多少均膨胀率是多少? ?2121()()r Vr VVV

8、第11页/共43页问题2 高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）存在函数关系（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态? ?hto第12页/共43页请计算00.52:ttv 和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10(0.5)(0)00.54.05( / )0.5 0(2

9、)(1)28.2( / )2 1hhtvm shhtvm s 在这段时间里，在1这段时间里，第13页/共43页平均变化率定义: 若设x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(x这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率第14页/共43页1、式子中式子中x 、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 x的值不能为的值不能为0， y 的值可以为的

10、值可以为0 x y 2、若函数、若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 理解理解xxfxxfxxxfxf )() ()()(1112123、变式变式:2121()() y f xf xxxx第15页/共43页 1.函数的平均变化率v2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率1212)()( y xxxfxfx1212)()( y xxxfxfx第16页/共43页 观察函数f(x)的图象平均变化率 表示什么?思考xyoBx2f (x2)Ax1f (x1)f (x2)-f (x1)x2-x1直线AB的斜率y=f (x)2121(

11、)() y f xf xxxx第17页/共43页例例 (1) 计算函数计算函数 f (x) = 2 x +1在区间在区间 3 , 1上的平均变化率上的平均变化率 ；(2) 求函数求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2422yx(2)解：解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 22()2yx xxxxxx 第18页/共43页练习3.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2

12、C . 3-(x)2 D . 3-x D2.t2质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+ t)中相应的平均速度为( )9A. 6+ t B. 6+ t+ C.3+ t D.9+ tA第19页/共43页做两个题吧! 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( )A 、 3 B、 3x-(x)2C 、 3-(x)2 D 、3-x Dv2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+x 第20页/共43页 5.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率. 第

13、21页/共43页小结： 1.函数的平均变化率v2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率1212)()( y xxxfxfx1212)()( y xxxfxfx第22页/共43页 ?,?,.).tan(.,时的瞬时速度是多少时的瞬时速度是多少比如比如度呢度呢如何求运动员的瞬时速如何求运动员的瞬时速那么那么度度在某时刻的瞬时速在某时刻的瞬时速她她他他度不一定能反映度不一定能反映运动员的平均速运动员的平均速的速度称为的速度称为我们把物体在某一时刻我们把物体在某一时刻是不同的是不同的度度运动员在不同时刻的速运动员在不同时刻的速在高台跳水运动中

14、在高台跳水运动中2 tvelociyeousins瞬瞬时时速速度度 .,.,;,.,.可以得到如下表格内平均速度和区间计算区间之后在时当之前在时当但不为也可以是负值正值可以是是时间的改变量任意取一个时刻之前或之后在附近的情况我们先考察vtttttttttt 22222202200222二新课讲授二新课讲授1瞬时速度瞬时速度第23页/共43页t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时间内间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 当t = 0.01时,13.149v 当t = 0.01时,0951.13v当t = 0.001时,1049.13v当t =0.001时,13

15、.09951v 当t = 0.0001时,13.10049v 当t =0.0001时,099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001,105 . 69 . 4)(2ttth当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?第24页/共43页.,1132220 个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,|,smttvt11322 时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理

16、的角度看 .,.lim,11302113220 定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt .时的极限时的极限趋近于趋近于当当是是我们称确定值我们称确定值022113tthth 第25页/共43页定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作0000( )() ()lim. xf xxf xfxx )(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)

17、(. 1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(. 20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同. 3第26页/共43页由导数的定义可知由导数的定义可知, 求函数求函数 y = f (x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1.求函数的改变量求函数的改变量2. 求平均变化率求平均变化率3. 求值求值);()(00 xfxxfy.lim)(00 xyxfx;)()(00 xxfxxfxy一差、二比、三极限一差、二比、三极限第27页/共43页例例1.1.求求y=xy=x2 2在点在点x=1x=1处的导数处的导数解：解：222)(21)1 (xxxyxxxxxy2)(222|2)2(limlim100

18、xxxyxxy第28页/共43页f f (x x) = = x x2 2 7 7x x+15 +15 ( 0 x x8 8 ) . . 计算x=2x=2和x=6x=6时的导数. .xfxf)2()2(根据导数的定义,37)(42xxxxx所以,. 3)3(limlim)2(00 xxffxx同理可得. 5)6( f第29页/共43页 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数第30页/共43页00()( )( )limli

19、mxxyf xxf xfxyxx 在不致发生混淆时，导函数也简称导数000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函数在点 处的导数等于 函数的导 函 数在点 处的 函数值 什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, f(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:第31页/共43页)2( ),1( ),( ,)(12ffxfxxf求：设例的值代入求得导数值。再将自变量义求思路：先根据导数的定),( xfxxxxxxxxxxxfxxfxfxxx2)2(lim)(lim)()(lim)(

20、02200解：由导数的定义有422)( )2( 2) 1(2)( ) 1( 21xxxffxff第32页/共43页 1.曲线的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图,曲线C是函数y= f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.tan,: xyyMQxMP则则.就就是是割割线线的的斜斜率率表表明明：xy 第33页/共43页PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.第34页/共43页 我们发现,当点

21、Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切线切线 这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限. 注意,曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关； (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。第35页/共43页例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1

22、 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率(2)利用点斜式求切线方程.第36页/共43页变式: 设f(x)为可导函数，且满足 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.12)1 () 1 (lim0 xxffx, 12)1()1(lim)(0 xxffxfx是是可可导导函函数数且且解解： , 21)1 () 1 ()1 (lim, 1)1 (1)1 () 1 (lim2100 xfxfxxffxx. 2) 1 ( f故所求

23、的斜率为-2.第37页/共43页例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.222 xy, 22)1 ( 2) 1 ()1 (,lim:20 xfxfyxyKxP而而解解2002(1)22limlimxxxyxx tan1,45 ,PK故过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.31xy 答案:y=3x-4.22042()lim 2(1)22xxxxx 2044lim1.2 1 222(1)22xxx 第38页/共43页练习:如图已知曲线 ,求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点