华中农业大学微积分方红-第四章3

1、第六、七节第六、七节 二阶常系数线性方程二阶常系数线性方程 一、线性方程理论一、线性方程理论 1 1、函数的线性相关性、函数的线性相关性 .,), 2 , 1( )(),( 0)()()(,0., 2 , 1),( 221121性无关性无关否则称线否则称线线性相关线性相关则称则称使使的常数的常数如果存在不全为如果存在不全为上有定义上有定义在区间在区间设设nixfixxfkxfkxfkkkkinixfinnni 例例1 1、讨论相关性。、讨论相关性。 ., 1 )2(;sin,cos, 1 )1(222xxxx结论：结论：两个非零函数线性相关两个非零函数线性相关 它们成比例。它们成比例。 推导：

2、推导： .)()(, 0, 0)()(, 0,)0)(),(1212122112121kkxyxykxykxykkkxyxy 则则不妨设不妨设使使不全为不全为则则线性相关线性相关设设2 2、线性方程解的性质（以二阶为例）、线性方程解的性质（以二阶为例） 形式：形式： )()()(xfyxqyxpy 线性性：线性性： .,是一次的是一次的yyy 齐次的：齐次的： 即即, 0)( xf)1( 0)()( yxqyxpy非齐次的：非齐次的： 即即, 0)( xf)2( )()()(xfyxqyxpy 性质性质1 1： .)1(,)1(,221121的解的解是是则则的解的解是是若若ykykyy 性质性

3、质2 2： .)1(,)2(,2121的解的解是是则则的解的解是是若若yyyy 性质性质3 3： .)2(,)2(,)1(*的解的解是是则则的解的解是是的解的解是是若若yyyy 3 3、解的结构、解的结构 定理定理1 1： .)1(,)1(,221121的通解的通解是是则则的两个线性无关解的两个线性无关解是是设设ycycyy 定理定理2 2： .)2(,)2(,)1(*2211*2211的通解的通解是是则则的特解的特解是是的通解的通解是是设设yycycyycyc 例例2 2、 .)2(,3)2(,321的通解的通解求求个线性无关解个线性无关解的的是是设设yyy二、二阶常系数线性齐次方程二、二阶

4、常系数线性齐次方程 形式：形式： (*) ),( 0为常数为常数qpqyypy 解法：解法： ,2rxrxrxeryreyey 令令02 rxrxrxqepreer02 qprr2 , 04)1(2, 12 prqp则则通解为：通解为： xrxrececy2121 （特征方程特征方程） 2 , 04)2(2, 12prqp 则则通解为：通解为： xrexccy1)(21 irqp 2, 12 , 04)3(则则通解为：通解为： )sincos(21xcxceyx 说明：说明： .sincos: iei欧拉公式欧拉公式; 0:)1(2 qprr写出特征方程写出特征方程;24:)2(22, 1qp

5、pr 求出特征根求出特征根:)3(解解按下表所示方法写出通按下表所示方法写出通通解通解特征根特征根 )sincos(21xcxceyx xrexccy1)(21 xrxrececy2121 irrrrr 2, 12121解（解（* *）的一般步骤：）的一般步骤： 说明：说明：以上方法可推广到高阶的情形。以上方法可推广到高阶的情形。 例例3 3、解方程。、解方程。0)6( 02)5(0)4( 054)3(044)2( 032)1( yyyyyyyyyyyyyyy三、二阶常系数非齐次方程三、二阶常系数非齐次方程 形式：形式： (*) )(xfqyypy 解法：解法： .(*)*y的特解的特解关键是

6、求关键是求xmexpxf )()(. 1整理得整理得代入代入令令(*),)(xexqy )()()2(2xpqqpqpqm 不是特征根时不是特征根时即即当当 , 0)1(2qp.)(次多项式次多项式为为mxq是单特征根时是单特征根时即即而而当当 , 020)2(2pqp.1)(,)(次多项式次多项式为为次多项式次多项式为为 mxqmxq.2)(,)(次多项式次多项式为为次多项式次多项式为为 mxqmxq是二重特征根时是二重特征根时即即且且当当 , 020)3(2pqp结论：结论： ., )(, 2, 1, 0,)(*系数待定系数待定为一般形式多项式为一般形式多项式其中其中是二重特征根是二重特征根单特征根单特征根不是特征根不是特征根特解特解xqkexqxymxmk 例例4 4、解方程：、解方程： ).(43xfyyy xxexfxxf )()2( 2)()1(sin)(cos)()(. 2xxpxxpexfnlx 结论：结论： 是单特征根是单特征根不是特征根不是特征根其中其中特解特解 iiknlmxxrxxrexymmxk, 1, 0 ,maxsin)(cos)()2()1(*例例5 5、解方程、解方程 .2cos xxyy 任意任意)(. 3xf例例6 6、解方程、解方程