第3章：粘性流体运动

1、 第三章粘性流体运动第三章粘性流体运动粘性流体运动微分方程粘性流体运动微分方程NavierNavierStokesStokes方程方程对一维流动问题：对一维流动问题：对粘性流体流动问题：对粘性流体流动问题：目的目的关键：关键：寻寻求流体求流体应应力与变形力与变形速率速率之间之间的关系的关系N-SN-S方程方程牛顿流体的本构方程牛顿流体的本构方程引入的基本假设：引入的基本假设：为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，StokesStokes提出三个提出三个基本假设：基本假设：应力与变形速率成线性关系应力与变形速率成线性关系; ;应力与变形速率之间的关系各向同性

2、；应力与变形速率之间的关系各向同性；静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力pzzyyxx牛顿流体的本构方程：牛顿流体的本构方程：223yxxzxxvvvpxxyz 223yxzzzzvvvpzxyz 223yyxzyyvvvpyxyz yxxyyxvvyxyzyzzyvvzyxzzxxzvvxz本构方程的讨论：本构方程的讨论：正应力中的粘性应力：正应力中的粘性应力：线变形率与流体流动：线变形率与流体流动：正应力与线变形速率：正应力与线变形速率：223yxxzxxvvvpxxyz xx xxxxp 正应力与压力：正应力与压力：3xxyyzzp 这

3、说明：这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平均值却总是与压力大小相等。均值却总是与压力大小相等。切应力与角边形率：切应力与角边形率：牛顿流体本构方程牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系，反映了流体应力与变形速率之间的关系，是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。流体运动微分方程流体运动微分方程NavierNavierStokesStokes方程方程223xxxDvpfDtxxxx yxxzvvvvyyxzzx适用于牛顿流体适用于牛顿流体常见条件下常见条件下N NS S方程

4、的表达形式：方程的表达形式：222222113xxxxxDvpfDtxxxyz适用于牛顿流体适用于牛顿流体常粘度条件下常粘度条件下NS方程：方程：const222222113yyyyyDvpfDtyyxyz222222113zzzzzDvpfDtzzxyz矢量形式：矢量形式：211()3DvfpDt 2222221xxxxxDvpfDtxxyz适用于牛顿流体适用于牛顿流体不可压缩流体的不可压缩流体的NS方程：方程：const2222221yyyyyDvpfDtyxyz2222221zzzzzDvpfDtzxyz矢量形式：矢量形式：21DvfpDt 2222221xxxxxxxxyzxvvvvp

5、vvvftxyzxxyz适用于牛顿流体适用于牛顿流体常粘度条件下不可压缩流体的常粘度条件下不可压缩流体的NS方程：方程：const2222221yyyyyyyxyzyvvvvpvvvftxyzyxyz2222221zzzzzzzxyzzvvvvpvvvftxyzzxyz矢量形式：矢量形式：const21()vfpDt 非定常项非定常项定常流动为定常流动为0静止流场为静止流场为0对流项对流项静止流场为静止流场为0蠕变流时蠕变流时 0单位质量流体单位质量流体的体积力的体积力单位质量流体单位质量流体的压力差的压力差扩散项（粘性力项）扩散项（粘性力项）对静止或理想流体为对静止或理想流体为0高速非边界层

6、问题高速非边界层问题0流体流动微分方程的应用流体流动微分方程的应用N-S方程应用概述方程应用概述流动微分方程的应用求解步骤流动微分方程的应用求解步骤 根据问题特点对一般形式的运动方程进行根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化简化，获，获得针对具体问题的得针对具体问题的微分方程或方程组微分方程或方程组。 提出相关的初始条件和边界条件。提出相关的初始条件和边界条件。 初始条件初始条件：非稳态问题：非稳态问题边界条件边界条件固壁流体边界：固壁流体边界：流体具有粘性，在与壁面接流体具有粘性，在与壁面接触处流体速度为零。触处流体速度为零。液体气体边界：液体气体边界：对非高速流，气液界面上，对非高速流，

7、气液界面上，液相速度梯度为零。液相速度梯度为零。液体液体边界：液体液体边界：液液界面两侧的速度或切应液液界面两侧的速度或切应力相等。力相等。两平行平板间的层流流动两平行平板间的层流流动(a)压力梯度上板速v0(b)上板v0带动(库埃特流动)(c)静止平板，压力差驱动(a)压力梯度上板速v0(a)压力梯度上板速v0条件：条件：1. 稳态 2. 层流，流速x 方向0zyvv0t0tvtvtvzyx0zvyvxx02222zvyvxx 3. 连续性方程 （不可压缩）0zvyvxvzyx0 xvx 4. 设板平行于地面，质量力gx=gz=0,gy=g(忽略质量力时，gy=0) 5. 平板沿z向相对于二

8、板距离为无限宽，忽略此方向上边界面影响。将以上条件代入N-S方程，得)(1 22xpxvx(2) 0yp(3) 0zp解(1)式，得21221CyCydxdpvx边界条件对(a) (b)情形： y=0时，vx=0; y=h时，vx=v0得（3-64）式：hyvhyydxdpvx0)(21特别对(b)情形：0dxdphyvvx0(3-65)0max,vvhyx 时(3-66)00211 vdyvhvhxx(3-67)WhvWhvQx021 流量(3-68)对(c)情形： v0=0，流体两端压力差 p = pxpx+LLpdxdpx)(21hyydxdpvx)(21yhyLpvx(3-69)Lph

9、vhyx2 ,22max,时(3-70)Lphdyvhvhxx121 20(3-71)LpWhQ12 3流量(3-72)(a)情形的流量是(b)情形和(c)情形的流量之和圆管内的一维稳态流动分析。圆管内的一维稳态流动分析。 不可压缩流体在水平不可压缩流体在水平 圆管内作一圆管内作一维稳态层流流动。试写出该条件下的连维稳态层流流动。试写出该条件下的连续性方程和运动微分方程。并证明管道续性方程和运动微分方程。并证明管道截面上任一点的总势能和轴向压力梯度截面上任一点的总势能和轴向压力梯度为常数。为常数。1圆圆管管内内的的稳稳定定层层流流 y r x o z流向流向 011 zvvrrrvrzr 连连

10、： zvvvrvrvvtvzzzzzrz 分分量量： 2222211zvvrrvrrrzzzz zvvrvvrvrvvtvrrzrrrr2 分分量量：222222211zvvrvrrvrrrrrrr zvvrvvvrvrvvtvzrr 分分量量： 2222222111zvvrvrrvrrrrr 化化简简条条件件： 流流动动稳稳定定 / t=0， 一一维维流流动动 vr=v =0， 轴轴向向对对称称， / =00 zvzpfzz 例题例题2max4RLv 2max1 Rrvv212121max02max202vrdrRrvRrdrvRAvdAuRR 引入：阻力系数（又称范宁因子）22ufw 而由

11、牛顿粘性定律可知，圆管内层流时：而由牛顿粘性定律可知，圆管内层流时： Rrwdrdv uRvR 42max Re16168 uduRf 引入：摩擦因数Re644 f 2max1 Rrvv 一 速度势函数 对于无旋流场，处处满足： ，由矢量分析知，任一标量函数梯度的旋度恒为零，所以速度 一定是某个标量函数 的梯度，即: 因 则有: 即流场的速度等于势函数 的梯度。因此，称 为速度势函数，简称速度势；称无旋流动为有势流动，简称势流。这与单位质量有势力和有势力场的势函数的关系相类似。0 VVkvjvivtzyxVzyx),(kzjyixtzyx),(ztzyxtzyxvytzyxtzyxvxtzyx

12、tzyxvzyx),(),(),(),(),(),(v（735）（736）结论： 无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势必须无旋。所以无旋流场又称为有势流场。速度势的存在与流体是否可压缩、流动是否定常无关。 以上给出了在直角坐标系中速度势函数和速度的关系，在柱坐标系中 ， ， ， 有势流动的速度势函数与速度的线积分有密切关系。若势流中有一曲线AB，速度沿该曲线积分为 上式表明，有势流动中沿AB曲线的速度线积分等于终点B和起点A的速度势之差。由于速度势是单值的，则该线积分与积分路径无关。这与力做的功和位势的关系相类似。当速度沿封闭轴线积分时 即，周线上的速度环量等于零。rvrrv1zv

13、ztzr,ABBAzyBAxABdzzdyydxxdzvdyvdxv)()(0)ddzvdyvdxvzyx（7-34）（7-35） 根据无旋条件，速度有势： 代入不可压缩连续性条件可得： 或 上述方程称作不可压无旋流动的基本方程。 在笛卡儿坐标系中： 在柱坐标系中： 式中 为拉普拉斯算子。满足拉普拉斯方程的函数为调和函数，故速度势是调和函数。 V0 V00202222222zyx22222222110rrrrz2二二 流函数流函数 在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程可写成: 若定义某一个函数（流函数） 令: 0yvxvVyx),(yxyvxxvy,平面不可压缩流体流函数的基本性质

14、1. 沿同一流线流函数值为常数沿同一流线流函数值为常数平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流线上的流函数的差值条流线上的流函数的差值3. 在有势流动中流函数也是一调和函数在有势流动中流函数也是一调和函数特性特性1s为坐标系为坐标系XOY的任意一条流线，的任意一条流线，在在s上任取一点作速度矢量，与上任取一点作速度矢量，与流线相切，该点的微元流线段在流线相切，该点的微元流线段在x、y轴上的投影为轴上的投影为dx、dy，在，在x、y轴上的投影为轴上的投影为vx、vy 或或 由由 ， 得到得到 在流线在流线s上，上，的增量的增量d为为0，说明沿流

15、线，说明沿流线（x，y，t）为常数，）为常数，而流函数的等值线，即而流函数的等值线，即（x，y，t）=C就是流线。因此，找到流就是流线。因此，找到流函数后，可以知道流场中各点速度，还可以画出流线。函数后，可以知道流场中各点速度，还可以画出流线。 yxvvdydx0dyvdxvxyyvx0ddyydxxyvx特性特性2 设设1、2是两条相邻流线，作其间一曲线是两条相邻流线，作其间一曲线AB，求通，求通过过AB两点间单位厚度的流量。两点间单位厚度的流量。(见下图见下图） 在在AB上作微元线段上作微元线段 , 过微元线段处的速度过微元线段处的速度为，为， ,单位厚度的流量单位厚度的流量dq应为通过应

16、为通过dx的流量的流量vydx和通过和通过dy的流量的流量vxdy之和，之和，（ vy0 ）沿沿AB线段积分，线段积分，由于沿流线流函数为常数，因此由于沿流线流函数为常数，因此 jdyidxsdjvivvyxddxxdyydxvdyvdqyxBAABBAddqq12q 特性特性3对平面势流对平面势流 有有 将将 ， 代入上式得到代入上式得到即即 ，满足，满足Laplace方程。所以在平面势流中函方程。所以在平面势流中函数也是调和函数。数也是调和函数。 0)(21zvyvyzxzvyvyzyvxxvy02三三 流函数和势函数的关系流函数和势函数的关系 在平面势流中有在平面势流中有 ， ，交叉相乘

17、得交叉相乘得 说明等势线族说明等势线族(x,y,z,t)=C1与流函数族与流函数族(x,y,z,t)=C2相互正交。相互正交。 在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称为为流网流网。 xvxyvyyvxxvy0yyxx极坐标极坐标(r , )中，径向的微元线段是中，径向的微元线段是dr，圆周的微元线，圆周的微元线段是段是rd，速度势函数，速度势函数(r , , t)与与vr、v的关系是的关系是 ，速度流函数速度流函数(r , , t)与与vr、v的关系是的关系是 ， 速度势函数和流函数的关系是速度势函数和流函数的关系是 ，rvrvrvrrvr

18、rvrrvrr例例1 例例2例例3 流线是一族以流线是一族以x轴和轴和y轴为渐近线的双曲线，等势线是以轴为渐近线的双曲线，等势线是以直角平分线为渐近线的双曲线族。直角平分线为渐近线的双曲线族。将将x轴看成是固壁，并且只观察上半平面，则流动沿轴看成是固壁，并且只观察上半平面，则流动沿y轴轴垂直的自上而下流向固壁，然后在原点处分开，流向两垂直的自上而下流向固壁，然后在原点处分开，流向两侧。侧。几种简单的平面无旋流动几种简单的平面无旋流动一一 均匀流均匀流二二 点源和点汇点源和点汇三三 点涡点涡一一 均匀流均匀流 图图2 均匀流示意图均匀流示意图二二 点源和点汇点源和点汇 图图3a 点源点源 图图3

19、b 点汇点汇三三 点涡点涡定义：流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度定义：流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与向径大小与向径r成反比的流动。又被称为自由涡。成反比的流动。又被称为自由涡。 将坐标原点置于点涡处，设点涡的强度为，则任一将坐标原点置于点涡处，设点涡的强度为，则任一半径半径r处流体的速度可由处流体的速度可由stokes定理得到定理得到 , 那么那么 而而 求点涡的速度势函数和流函数求点涡的速度势函数和流函数 对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到：对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到： 等势线是等势线是 的线，流线是以坐标原点为圆心的同心的线，流线是以坐标原点为圆心的

20、同心圆。点涡的复势是圆。点涡的复势是或或 常数rv2rv 20rv0rrvrrrrv2drdrvdrvdr2drrdrvdrvdr22rln2)(2)(ln2ln22ireiiririiWziWln2 图图4 点涡示意图点涡示意图势流的叠加势流的叠加势流叠加原理势流叠加原理有两个流动，它们的速度分布函数、速度势函数、流函有两个流动，它们的速度分布函数、速度势函数、流函数、复势函数分别为数、复势函数分别为 、1 、1 、W1和和 、2 、2 、W2 ，由于和都满足线性，由于和都满足线性Laplace方程，可以将和分方程，可以将和分别进行叠加。将两流动合起来的复合流动，其相应量分别进行叠加。将两流

21、动合起来的复合流动，其相应量分别为别为 、 、 、W，存在以下关系：，存在以下关系：212121WWWxxxvvxxxv2121yyyvvyyyv2121因此因此21vvv流动变成流动变成n个，同样将个，同样将n个流动叠加，复合流动的相应量个流动叠加，复合流动的相应量定义：叠加多个流动时，所得合成流动的复势即为分流定义：叠加多个流动时，所得合成流动的复势即为分流动的复势的代数和，此即势流的叠加原理。动的复势的代数和，此即势流的叠加原理。n21n21nWWWW21nvvvv21第二节第二节 蠕动流动蠕动流动 蠕动流动：雷诺数很低的流动。 特点：流动的尺度和流动的速度均很小 如：热电厂锅炉炉膛气流

22、中绕煤粉颗粒、 油滴等的流动；滑动轴承间隙中的流 动等等。 一、蠕动流动的微分方程一、蠕动流动的微分方程 对于定常流动，忽略惯性力和质量力，在直角坐标系下，可把纳维尔斯托克斯方程组简化成 ： )()()(222222222222222222zvyvxvzpzvyvxvypzvyvxvxpzzzyyyxxx一、蠕动流动的微分方程一、蠕动流动的微分方程如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为： 将式（818）依次求 、 、 ，然后相加，并结合连续性方程，即得： 即蠕动流动的压力场满足拉普拉斯方程。0zvyvxvzyx22xp22yp22zp02222222pzpypxp二、绕球的蠕动流动 对如图所示

23、的无穷远来流以速度 均匀平行流沿 轴绕半径为 的静止圆球流动，得速度与压 强分布为： 300330030231( , )cos (1)2231( , )sin (1)443( , )cos2rrrv rrrrrv rrrrp rprVx0r二、绕球的蠕动流动 式中 为无穷远处来流的压力。 圆球以很小的速度在静止流体中作等速运动时，在流场中通过x轴的平面上的流谱如图所示。 p二、绕球的蠕动流动在圆球的前后两驻点A和B处的压强是压强的最高点和最低点，分别为：在前驻点A（ 180 ） 在后驻点B（ 0）： 而切应力的最大值，发生在C（ 90）为： 等于A、B点处的压强与无穷远处的压强之差的绝对值。0

24、23rVppA023rVppB02/3rVc二、绕球的蠕动流动 球面上的压强和剪切应力也可根据速度分布公式算出，为： 对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压强和切应力的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流体作用在圆球上的阻力为： 这就是圆球的斯托克斯阻力公式。式中d=2 为圆球的直径。 00,00,03()2cos213()()sin2rr rr rrrr rvppprrvvvvrrrrr 063DFrd 0r第三节第三节 边界层的概念边界层的概念 边界层：物体壁面附近存在大的速度梯度的薄层。 我们可以用如图所示的绕平板的流动情况说明边界层的概念。边界层的定义 粘性流体绕流物体

25、时，由于粘性的作用，在物体的表面附近，存在一速度急剧变化的薄层边界层。 例如：来流 的流体绕流平板时，在平板表面形成边界层。 在平板的前部边界层呈层流状态，随着流程的增加，边界层的厚度也在增加，层流变为不稳定状态，流体的质点运动变得不规则，最终发展为紊流，这一变化发生在一段很短的长度范围，称之为转捩区，转类区的开始点称为转捩点。转类区下游边界层内的流动为紊流状态。 在转捩区和紊流区的壁面附近，由于流体的质点的随机脉动受到平板壁面的限制，因此在靠近壁面的更薄的区域内，流动仍保持为层流状态，称为层流底层和粘性底层。 边界层的定义V边界层的特点 边界层内速度梯度很大，旋涡强度大，有旋流动惯性力和粘性

26、具有相同的数量级，同时考虑。 边界层外部速度梯度很小，可以作为理想流体的势流处理。 边界层厚度随 的增大而增大，随 的增大而减小。 由于边界层很薄，因而可以近似认为，边界层任一截面上各点压强相等。VeR边界层的分类按流动状态，可分为层流边界层和紊流边界层。判别准则雷诺准则： 平板上的临界雷诺数 = 边界层的构成： 1.层流边界层，当 较小时，边界层内全为层流，称为层流边界层。 2.混合边界层：除前部起始部分有一小片层流区，其余大部分为紊流区，称为混合边界层。eR51056103eR边界层的厚度 两个流动区域之间并没有明显的分界线。 边界层的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法线上速度达到势流区速度的

27、99处的距离作为边界层的厚度，以表示，这一厚度也称边界层的名义厚度。 边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的大小。雷诺数越大，边界层就越薄；反之，随着粘性作用的增长，边界层就变厚。沿着流动方向由绕流物体的前缘点开始，边界层逐渐变厚。 第四节第四节 平面层流边界层的微分方程平面层流边界层的微分方程 在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量力，则流动的控制方程N-S方程为： 222222221()1()0

28、xxxxxyyyyyxyyxvvvvpvvvxyxxyvvvvpvvvxyyxyvvxy （a）第四节第四节 平面层流边界层的微分方程平面层流边界层的微分方程 将上述方程组无量纲化。为此考虑如图所示的一半无穷绕流平板，假定无穷远来流 的速度 ，流动绕过平板时在平板附近形成边界层，其厚度为 ，平板前缘至某点的距离为 。取 和 为特征量，可定义如下 的无量纲量： / / /（ ）V/xx yy /xxvvv/yyvvvpp 2v/代入方程组（a），整理后得： 式中雷诺数 /2/2/2/2/2/22/2/2/2/2/1()Re111 11()11()Re1111()()011xxxxxylyyxyl

29、yxvvvvpvvxyxxyvvvvpvvxyyxyvvxy Relv l第四节第四节 平面层流边界层的微分方程平面层流边界层的微分方程（b） 与 相比较是很小的 ，即 或 / 1，同时注意到， 与 、 与 、 与 具有同一数量级，于是 、 、 和 的量级均为1，并可以得到： 1 1 1 为了估计其他各量的数量级，由连续性方程可得： 1xvvxyxvxyp/xvx2/2xvx/yvx2/2yvx2/1/yvy/xvx第四节第四节 平面层流边界层的微分方程平面层流边界层的微分方程第四节第四节 平面层流边界层的微分方程平面层流边界层的微分方程 因此 ，于是又得到： 1 通过分析方程组（b）各项的数

30、量级，方程组（b）中第二式中各惯性项可以忽略掉 ，同时可以略 去 、 、 。于是在方程组（b）的粘性 项中只剩第一式中的一项 。 /yv/xvy2/2xvy/yvy2/2yvy/12/2xvx2/2xvy2/2yvy2/2yvx 如果仅保留数量级为1的项，而将数量级比1小的各项全部略去，再恢复到有量纲的形式，便可以得到层流边界层的微分方程组为： 沿边界层上缘由伯努利可知： 常数 上式对 求导，得： 00122yvxvypyuxpyvvxvvyxxyxx2/2bbpxbbbdpddxdx 第四节第四节 平面层流边界层的微分方程平面层流边界层的微分方程 这样，层流边界层的微分方程又可写为： 方程组

31、（c） 即为在物体壁面为平面的假设下得到的边界层微分方程 。 022yvxvyvdxdVVyvvxvvyxxbbxyxx第四节第四节 平面层流边界层的微分方程平面层流边界层的微分方程（c）第五节第五节 边界层的动量积分关系式边界层的动量积分关系式边界层的动量积分方程是对边界层内流动的再简化。其推导过程有两种方法：一种是沿边界层厚度方向积分边界层的方程组，一种是在边界层内直 接应用动量守恒原理。下面的推导采用第二种方法。边界层动量积分方程的推导边界层动量积分方程的推导 如图所示为不可压缩流体的定常二维边界层流动 ，设物体表面型线的曲率很小。 取一个单位厚度的微小控制体，它的投影面ABDC 。 用

32、动量定理来建立该控制体内的流体在单位时间内沿x方向的动量变化和外力之间的关系。 边界层动量积分方程的推导边界层动量积分方程的推导 设壁面上的摩擦应力为 根据边界层的控制方程组，边界层内的压强仅近似地依赖于 而与 无关，设AB面上的压强为 ，DC上的压强为 控制面AC为边界层的外边界 其外部为理想流体的势流 ，只有与之垂直的压力 ，设AC上的压强为A，C两点压强的平均值 。作用在控制体上的表面力沿方向的合力为： wppd xx12ppdxx1sin2xwppFppdx dspdxddxxxyp边界层动量积分方程的推导 式中为边界层外边界AC与方向的夹角，由几何关系可知： ，上式经整理并略去高阶小

33、量，得： 单位时间内沿方向经过AB流入控制体的质量和动量分别为： 经过CD面流出的质量和动量分别为： 定常流动条件下，可知从控制面AC流入控制体中的流量为： 由此引起流入的动量为： sindsadxwpFd xd xx 0A Bxmd y 20ABxkdy0()xCDxvmvdx dyx2200 CDxxkvdydxvdyx0()CDABxdmmv dy dxdx0ACbxdkv dxv dydx边界层动量积分方程的推导 式中V为边界层外边界上的速度。这样，可得单位时间内该控制体内沿x方向的动量 变化为 根据动量定理， ，则可得边界层的动量积分方程为： 上式也称为卡门动量积分关系式。该式是针对

34、边界层流动在二维定常流动条件下导出的，并没有涉及边界层的流态，所以其对层流和紊流边界层都能适用。 xk200 xCDABACxbxddkkkkv dyvv dy dxdxdxxxFk200wxbxdpddv dyVv dydxdxdx（d）积分方程的求解 实际上可以把 、 和 看作已知数，而未知数只有 、 和 三个。 再补充两个关系式： 一、沿边界层厚度的速度分布 = (y) 二、切向应力与边界层厚度的关系式 一般在应用边界层的动量积分关系式（d）来求解边界层问题时，边界层内的速度分布是按照已有的经验来假定的。假定的 愈接近实际，则所得到的结果愈正确。所以选择边界层内的速度分布函数 是求解边界

35、层问题的重要关键。 ( ) ( )xvv y( )v ybVdpdxxwxx第六节边界层的位移厚度和动量损失厚度 边界层的厚度 ，表示粘性影响的范围。 位移厚度 动量损失厚度 根据伯努力方程可知： 又由于： 带入（d）得 或 （d1）bbdvdpvdxdx00bbbbdvdvdpvdyv dydxdxdx 000bbxbxxdvddvv dyv v dyv dydxdxdx20000bbxxbxbwdvdvddv dyv v dyv dyv dydxdxdxdx00()()bbxxbxwdvdvv dyvvvdydxdx12边界层厚度计算式的推导 因此在边界层内由于粘性影响使体积流量的减小量

36、，即上式中第一项积分。 位移厚度或排挤厚度 可表示成： （d2） 同理动量损失厚度 可表示为： （d3） 将 和 代入式（d）, 得 （d4）0()xVv dy11001()(1)xbxbbvvv dydyvv2221()bbbwdvdvvdxdx12201()(1)xxxbxbbbvvv vv dydyvvv 2边界层厚度计算式的推导 式（d4）是另一种形式的平面不可压缩粘性流体边界层动量积分关系式 。 、 和 都是未知数，它们决定于边界层内速度的分布规律。 将式（d4）化为无因次形式，统除以 ，得 （d5） 或 式中H 。计算曲面边界层时，用上式较为方便。 12w2V022121(2)bb

37、bdvddxvdxv022122(2)bbbdvdHdxvdxv21/第七节 平板边界层流动的近似计算 平板层流边界层的近似计算 对于式（d），如果边界层外部的压强梯度为零，方程变为： (d6） 假定平板非常薄，对流动没有影响。边界层外层流动： 则上式可变为： (d7） 两个补充关系式:一、冯卡门假定，二、牛顿内摩擦定律。 平板紊流边界层的近似计算 采用将边界层内的速度分布与圆管内充分发展紊流的速度分布规 律进行类比的方法。0()wxbxdv vv dydx0()wxbxdvvvdydx平板层流边界层的近似计算 选择一三次项式速度分布： (e) 根据下列边界条件来确定待定系数 和 . (1)在

38、平板壁面上的速度为零，即在 处 (2)在边界层外边界上的速度等于来流速度,即在 处 ， (3)在边界层外边界上，摩擦切应力 为零，即在 处 ， (4)由于在平板壁面上的速度为零，即 ，由方程组（d）的第一式得 332210yayayaavx210aaa、3a0y0 xvxvvyvxy0)(yxyv0yxvv01)(dxdpyvyx平板层流边界层的近似计算 速度分布的四个系数可确定为： 于是，层流边界层中速度的分布规律为 (e1) 第二个补充关系式：利用牛顿内摩擦定律和式（ e1 ）得出 (e2)式中为动力粘性系数。将速度分布方程（e1）带入方程（e2）并积分得：分离变量，并积分得： (e3)0

39、0a 132va20a 332va 331( ) ( )( ) 22xyyvyv023xwydvvdy（）23292280VdVdx4.644.64/Rexxv x平板层流边界层的近似计算式中为 运动粘性系数，为基于长度的雷诺数 。合并方程（e2）和(e3)得到： (e4)如果表面摩擦系数 为： (e5) 那么 ，为： (e6) 根据动量损失厚度的定义式（d3），并考虑式（e3），可得动量损失厚度为： (e7) 同理，位移厚度为: (e8)上述计算结果是依赖于所假设的速度分布规律的，不同阶次的速度分布，可以得出不同的结果。表1 给出几种不同的情况。Rex20.323RewxvfC0212fCv

40、fC0.646RefxC 20.646Rexx11.740Rexx表1不同阶次的速度分布所得结果比较 VvxxxRexxRe1xxRe220ReVx22yy4222yyy32123yy二、二、平板紊流边界层的近似计算 如前所述由于流动的混参以及速度和压力的波动，紊流边界层的速度分布都采用一些模型假定。普朗特建议，当边界层雷诺数 时，边界层内的速度分布可采用 次方规律，即： （f） 该式不能直接应用于边界层的内边界。通常认为粘性底层内的速度分布为线形分布。 雷诺数取 时的摩擦阻力系数为： 当时 普朗特和施利希廷 （ H. Schlichting）采用对数速度分布，得到如下的半经验公式： 7Re1

41、0 x7117( )xyvV575 10Re10l150.074ReflC9710Re10l2.580.455(lg Re )flC层流与紊流边界层的近似计算公式汇总 q平板的层流边界层和紊流边界层的重大差别有：q紊流边界层内沿平板壁面发向截面上的速度比层流边界层的速度增加得快 q沿平板壁面紊流边界层的厚度比层流边界层的厚度增加得快 q在其它条件相同的情况下，平板壁面上的切向应力 沿着壁面的减小在紊流边界层中要比层流边界层减小得慢。q在同一 下，紊流边界层得摩擦阻力系数比层流边界层的大得多 实际情况下，边界层是层流和紊流同时存在的混合边界层 xRe071yVvx5151Re37.037.0 xxxVx51Re0462. 0125. 0 xx51Re036. 01 . 0 xx512512Re0289.00289.0 xVxVV512Re036. 0lVbl4322yyyVvx21Re84. 584. 5xxVx21Re752. 13 . 0 xx21