毕达哥拉斯定理的证明

1、毕达哥拉斯定理的证明侯昕彤 南京大学匡亚明学院摘 要：欧几里德的毕达哥拉斯定理证明。包括其中涉及的4条定义，5条公设，4条公理，25个命题证明，以及主证明（欧几里德几何原本第一卷命题47）。关 键 词：毕达哥拉斯定理 几何原本 欧几里德毕达哥拉斯定理：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。欲证明该定理，首先给出下列定义，公设以及公理：l 定义：【定义1】当一条直线和另一条直横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角。【定义2】圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等。【定义3】在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形。【定义

2、4】平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论那个方向它们都不相交。l 公设：【共设1】由任意一点到另外任意一点可以画直线.【共设2】一条有限直线可以继续延长.【共设3】以任意点为心及任意的距离可以画圆。【共设4】凡直角都彼此相等。【共设5】同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二自角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交l 公理：【公理1】等于同量的量彼此相等。【公理2】等量加等量，其和仍相等。【公理3】等量碱等量，其差仍相等。【公理4】彼此能重合的物体是全等的。根据给出的上述定义，公设，公理，进行下列命题的证明。证明段落中出现的【 】表示该段证明所

3、用的论据。l 【命题1】命题：在一个已知有限直线上作一appear个等边三角形。命题 1设AB是已知有限直线。那么，要求在线段AB上作一个等边三角形。以A为中心，且以AB为距离画圆【共设3】再以B为心，且以BA为直为距离画圆ACE；【共设】由两圆的交点C到A,B连线CA，CB .【共设】因为，点A是圆CDB的圆心，AC等于BA。【定义2】又点B是圆CAE的圆心，BC等于BA，【定义2】但是，已经证明CA等于AB;所以线段CA，CB都等于AB。而且等于同量的量彼此相等，【公理1】.三条线段CA , AB，BC彼此相等.所以三角形ABC是等边的，即在已知有限直线AB上作出了这个三角形.这就是所要求

4、作的.l 【命题2】命题：由一个已知点(作为端点)作一线段等于已知线段命题 2设A是已知点，BC是已知线段，那么，要求由点A(作为端点)作一线段等于已知线段BC.由点A到点B连线段BC,【共设1】而且在AB上作等边三角形DAB，【命题1】延长DA，DB成直线AE，BF,【共设2】以B为心，以BC为距离画圆CGH.【共设3】再以D为心，以DG为距离画圆GKL【共设3】 .因为点B是圆CGH的心，故BC少等于BG .【定义2】且点B是圆CGH的心，故BC等于BG.【定义2】又DA等于DB,所以余量AL等于余量BG【公理3】但已证明了BC等于BG，所以线段AL，BG的每一个都等于BG又因等丁同量的量

5、彼此相等.【公理1】所以，AL也等于BC。从而，由已知点A作出了线段AL等于一已知线段BC.这就是所要求作的。l 【命题3】命题：已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段使它等于另外一条。命题 3设AB，C是两条不相等的线段，且AB大于C.这样要求由较大的AB上截取一段等于较小的C，由点A取AD等于线段C【命题2】，且以A为心，以D为距离画圆DEF。【公设3】因为点A是圆DEF的圆心，故AE等于AD【定义2】但C也等于AD，所以线段AE，C的每一条都等于AD;这样AE也等于C。 【公理1】所以，已知两条线段AD、C，由较大的AB上截取了AE等于C。这就是所要求作的。l 【命题4】命题：如

6、果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 命题 4证明：设ABC，DEF是两个三角形，两边AB，AC 分别等于边DE、DF，即AB等于DE， 且AC等于DF，以及角BAC等于角EDF。如果移动三角形ABC到三角形DEF上，若点A落在D上且线段AB落在DE上，因为AB=DE，那么， 点B也就与点E重合。又，AB与DE重合，因为角BAC等于角EDF，线段AC也与DF重合。因为AC等于DF，故点C也与点F重合。又，B与E重合，故底BC也与底EF重合。这样，整个三角形ABC与整个三角形DEF重合，由【公理4】，他们全等。命题得证。l 【命题5】命题：在等腰三角形中

7、，两底角彼此相等，并且若向下延长两腰，则在底以下的两个角也彼此相等命题 5证明：设ABC是一个等腰二角形，边AB等于边AC，且延长AB，AC成直线BD，CE.【共设2】则可证角ABC等于角ACB，且角CBD等于角BCE.在BD上任取点F，且在较大的AE截取一段AG等于较小的AF，【命题3】连接FC和GB.【共设1】因为AF等于AG，AB等于AC，两边FA ,AC分别等于边GA、AB，且它们包含着公共角FAG .所以底FC等于底GB，且三角形AFC个等于三角形AGB，其余的角也分别相等，即相等的边所对的角，也就是角ACF等于角AGB，角AFC等于角AGB【命题4】又因为，整体AF等于整体AG，且

8、在它们中的AB等于AC，余量BF等于余量CG.【公理3】但是已经证明了FC等于GB；所以，两边BF，FC分别等于两边CG、GB，且角BFC等于角CGB .这里底BC是公用的;所以，三角形BFC也全等于三角形CGB;又，其余的角也分别相等，即等边所对的角.所以角FBC等于角GCB，且角BCF等于角CBG.由以上已经证明了整个角ABG等于角ACF，且角CBG等于角BCF，其余的角ABC等于其余的角ACB。【公理】又它们都在三角形ABC的底边以上.从而，也就证明了FBC等于角GCB，且它们都在三角形的底边以下。证完。l 【命题6】命题：在已知线段上(从它的两个端点)做作出相交于一点的二线段，则不可能

9、在该线段(从它的两个端点)的同侧作出相交于另一点的另外二条线段，使得作出的二线段分别等于前面二线段，即每个交点到相同端点的线段相等.命题 6证明：因为，如果可能的话，在已知线段几召以上作出交于点C的两条线段AC、CB.设在儿AB同侧能作另外两条线段AD，DB相交于另外一点D.而且这二线段分别等于前面二线段，即每个交点到相同的端点。这样CA等于DA，它们有相1司的端点A，且CB等于DB，它们也有相同的端点B，连接CD。因为，AC等一于AD，角ACD也等于角ADC。【命题5】所以，角ADC大于角DCB，所以角CDB比角DCB更大。又，因为CB等于DB,且角CDB也等于角DCB.但是已被证明了它更大

10、于它:这是不可能的。证完。l 【命题7】命题：如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边并且一个的底等于另一个的底，则夹在等边中间的角也相等. 命题 7证明：设.ABC，DEF是两个三角形，两边AB、AC分别等于两边DE 、DF，即AB等于DE，且AC等于DF，又设底BC等于底EF.则可证角BAC等于角EDF.若移动三角形ABC到三角形DEF，且点B落在点E上，线段BC在EF上，点C也就和F重合.事实上，BC等于EF .故BC和EF重合，BA、AC也和ED，DF重合.因为，若底BC与底EF重合，且边BA、AC不与ED，DF重合而落在它们旁边的及EG，GF处.那么，在已知线段(从它的端点)以

11、卜有相交于一点的已知两条线段，这时，在同一线段(从它的端点)的同一侧作出了交于另一点的另外两条线段，它们分别等于前面二线段，即每一交点到同一端点的连线。但是，不能作出后二线段.【命题6】如果把底BC移动到底EF，边BA，AC和ED，DF不重合，这是不可能的.因此，它们要重合。这样一来，角BAC也重合于角EDF,即它们相等.证完。l 【命题8】命题：二等分一个已知直线角。命题 8设角BAC是一个已知直线角，要求二等分这个角.设在AB任意取一点D，在AC上截取AE等于AD;【命题3】连接DE，且在DE上作一个等边三角形DEF，连接AF.则可证角BAC被AF所平分.因为AD等于AE，且AF公用，两边

12、DA，AF分别等于两边EA，AF又底DF，等于底EF;所以，角DAF等于角EAF【命题7】从而，直线AF，二等分已知直线角BAC.作完。l 【命题9】命题：二等分已知有限直线.命题 9设AB是已知有限直线，那么，要求二等分有限直线AB.设在AB上作一个等边一角形ABC【命题1】.且设直线CD二等分角ABC .则可证线段AB被点D二等分.【命题8】事实卜，由于AC等于CB，且CD公用，两边AC，CD分别等于两边BC，CD且角ACD等于角BCD所以，底AD等于底BD。【命题4】从而，将已知有限直线AB二等分于点D 作完。l 【命题10】命题：由已知直线上的一已知点作一直线和已知直线成直角。命题 1

13、0证明：设AB是已知直线，C是它边上的已知点。那么，要求由点C作一直想和直线AB成直角。设在AC上任取一点D，且使CE等于CD。【命题3】在DE上作一个等边三角形FDE。【命题1】连接FC。则可证明直线FC就是由已知直线AB上的已知点C作出的和AB成直角的直线。事实上，因为DC等于CE，且CF公用；两边DC，CF分别等于两边EC，CF；且底DF等于底FE。所以，角DCF等于角ECF。【命题7】它们又是临角。由【定义1】知角DCF，FCE每一个都是直角。从而，由已知直线AB上的已知点C作出的直线CF和AB成直角。作完。l 【命题11】命题：一条直线和另一条直线所交成的角，或者是两个直角或者它们的

14、和等于两个直角。命题 11证明： 设任意直线AB在直线CD的上侧和它交成角CBA，ABD。则可证角CBA，ABD或者都是直角或者其和等于两个直角。现在，若角CBA等于角ABD，那么它们是两个直角。【定义1】但是，假若不是，设BE是由点B所作的和CD成直角的直线。【命题10】于是角CBE，EBD是两个直角。这时因为角CBE等于两个角CBA，ABE的和，给它们各加上角EBD；则角CBE，EBD的和就等于三个角CBA，ABE，EBD的和。【公理2】再者，因为角DBA等于两个角DBE，EBA的和，给它们各加上角ABC；则角DBA，ABC的和就等于三个角DBE，EBA，ABC的和。【公理2】但是，角CB

15、E，EBD的和也被证明了等于相同的三个角的和。由【公理1】故角CBE，EBD的和也等于角DBA，ABC的和，但是角CBE，EBD的和是二直角。所以，角DBA，ABC的和也等于二直角。证完。l 【命题12】命题：如果过任意直线上一点有两条直线不在这一直线的同侧，且和直线所成邻角和等于二直角，则这两条直线在同一直线上。命题 12证明：因为，过任意直线AB上面一点B，有二条不在AB同侧的直线BC，BD成邻角ABC，ABD，其和等于二直角。则可证BD和BC不在同一直线上，设BE和CB在同一直线上，因为，直线AB位于直线CBE之上，角ABC，ABE的和等于二直角【命题11】但是，角ABC，ABD的和也等

16、于二直角，所以，角CAB，ABE的和等于角CAB，ABD的和。【共设4和公理1】由它们中各减去CAB，于是余下的角ABE等于余下的角ABD。【公理3】这时，小角等于大角；这是不可能的。所以，BE和CB不在一直线上。类似的。我们可以证明BD外再没有其他的直线和CB在同一条直线上。证完。l 【命题13】命题：如果两直线相交，则它们交成的对顶角相等。命题 13设直线AB，CD相交于点E，则可证角AEC等于角DEB.角CEB等于角AED。事实上，因为直线AE于直线CD上侧，而构成角CEA，AED;角CEA，AED的和等于二直角又，因为直线CE位于直线AB的上侧，构成角AED，DEB;角AED，DEB的

17、和等于二直角.【命题11】但是，已经证明CEA，AED的和等于二直角.故角CEA，AED的和等于角AED，DEB和【共设4】【公理1】由它们中各减去角AED则其余的角CEA等于其余的角BED. 【公理3】类似地，可以证明角CEB也等于角DEA.证完l 【命题14】命题：在任意的三角形中，若延长一边，则外角大于任何一个内对角。命题 14证明：设ABC是一个三角形，延长边BC到点D 则可证外角ACD大于内角CBA，BAC的任何一个.设AC被二等分于点E。【命题9】连接BE井延长至点F，使EF等于BE 【命题3】连接FC【共设1】延长AC至G，【共设2】那么，因为AE等于EC ,BE等于EF,两边A

18、E,EB分别等于两边CE，EF，又角AEB等于角FEC，因为它们是对顶角.【命题13】所以，底AB等于底EC，且三角形ABE,全等于三角形CFE，余下的角也分别等于余下的角，即等边所对的角，【命题4】所以.角BAE等于角ECF。但是，角ECD大于角ECF.【公理5】所以，角ACD大于角BAE .类似地也有，若BC被平分，角BCG，也就是角ACD。【命题13】可以证明它大于角几ABC.证完l 【命题15】试由分别等于已知三条线段的三条线段作一个三角形；在这样的三条已知线段中，任二条线段之和必须大于另一条线段。命题 15设三条已知线段是A，B，C。它们中任何两条只和大于另外一条。即A,B的和大于C

19、；A,C的和大于B；B,C的和大于A。现在要求由等于A，B，C的三条线段作一个三角形。设另外有一条直线DE，一段为D,而在E方向无限延长。令DF等于A,FG等于B,GH等于C。【命题3】以F为心，FD为距离，画圆DKL；又一G为心，以GH为距离，画圆KLH交圆KLD于点K，并连接KF，KG。则可证三角形KFG就是由等于A,B，C的三条线段所作的三角形。事实上，因为点F是DKL的圆心，FD等于FK.但是，FD等于A，故KF也等于A。又因为点G是圆LKH的圆心。故GH等于GK。但是，GH等于C，故KF也等于C。但是FG等于B。所以三条线段KF，FG，GK等于已知线段A，B，C。于是，由分别等于已知

20、线段A，B，C的三条线段KF，FG，GK作出了三角形KFG。作完。l 【命题16】在已知直线和它面上一点，作一个直线角等于已知直线角。命题 16设AB是已知直线，A为它上面的一点，角DCE为已知直线角。于是要求由已知直线AB上已知点A作一个等于给定直线角DCE的角。在直线CD，CE上分别人妖去点D，连接DE。用等于三条线段CD，DE，CE的三条线段作三角形AFG，其中CD等于AF，CE等于AG，DE等于FG。【命题15】因为两边DC，CE分别等于两边FA，AG；且底DE等于底FG；角DCE等于角FAG。所以，在已知直线AB和它上面一点A作出了等于已知直线角DCE的直线角FAG。作完。l 【命题

21、17】命题：如果在两个三角形中，一个的两个角分别等于另一个的两个角，而且一边等于另一个的一边。即或者这边是等角的夹边，或者是等角的对边甲则它们的其他的边也等于其他的边，且其他的角也等于其他的角。命题 17证明：设ABC，DEF是两个三角形，其中两角ABC，BCA分别等于两角DEF，EFD，即角ABC等于角DEF，且角BCA等于角EFD;又设它们还有一边等于一边，首先假定它们是等角所夹的边，即BC等于EF.则可证它们的其余的边也分别等于其余的边，即AB等于DE，AC等于DF，且其余的角也等于其余的角，即角BAC等于EDF .因为，如果AB不等于DE，其中一个大于另一个.令AB是较大的，取BG等于

22、DE;且连接GC.则因BG等于DE，且BC等于EF，两边GB，BC分别等于DE，EF而且角GBC等于角DEF所以底GC等于底DF.又三角形GBC全等于三角形DEF，这样其余的角也等于其余的角，即那些与等边相对的角对应相等.【命题4】所以角GCB等于角DEF.但是，由假设DEF等于角BCA，所以角BCG等于角BCA,则小的等于大的；这是不可能的.所以AB不是不等于底DE，因而等于它，但是，BC也等EF，故两边AB分别等于两边DE，EF ,且角ABC等于角DEF所以，底AC等于底DF。且其余的角BAC等于其余的角EDF.【命题4】再者，设对着等角的边相等，例如AB等于DE.则可证其余的边等于其余的

23、边，即AC等于DF且BC等于EF，还有其余的角BAC等于其余的角EDF.事实上，如果BC不等于EF，其中有一个较大.设BC是较大的，如果可能的话，且令BH等于EF;连接AH.那么，因为BH等于EF，且AB等于DE ,两边AB , BH分别等于两边DE，EF,且它们所夹的角相等;所以底AH等于底DF。而三角形ABH全等于三角形DEF，并且其余的角将等于其余的角，即那些对等边的角相等;【命题4】所以角BHA等于角EFD，但是角EFD等于角BCA;于是，在三角形AHC中，外角BHA等于内对角BCA，这是不可能的，【命题14】所以BC不是不等于EF,于是就等于它.但是，AB也等于DE，所以两边AB，B

24、C分别等于两边DE，EF而且它们所夹的角也相等;所以，底AC等于DF,三角形ABC全等于三角形DEF,且其余的角BAC等于其余的角EDF【命题4】证完。l 【命题18】如果一直线和两直线相交所形成的错角彼此相等，则这二直线互相平行。命题 18设直线EF和二直线AB，CD相交成错角AEF，EDF彼此相等。则可证明AB平行于CD。事实上，若不平行，当延长AB，CD时，它们或者在B，D方向或者在A，C方向相交于G，那么，在三角形GEF中，外角AEF等于角EGF；这是不可能的。【命题14】所以，AB，CD经延长后在B，D方向不相交。类似的，可以证明它们不在A，C一方相交。但是，二直线既然不在任一方相交

25、，就是平行。【定义4】所以AB平行于CD。证完。l 【命题19】命题：一条直线与两条平行直线相交，则所成的内错角相等，同位角相等，且同旁内角的和等于二直角.命题 19证明：设直线EF与两条平行直线AB，CD相交。则可证错角AGH，GHD相等;同位角EGB，GHD相等;且同旁内角BGH，GHD的和等于二直角.事实上，若角AGH不等于角GHD，设其中一个较大，设较大的角是AGH.给这二个角都加上角AGH，则角AGH，BGH的和大于BGH，GHD的和。但是角AGH，BGH的和等于二直角故角BGH，GHD的和小于二直角，【命题11】但是将二直线无限延长，则在二角的和小于二直角这，侧相交.【共设5】所以

26、，若无限延长AB，CD则必相交，但它们不相交，因为，由假设它们是平行的.故角AGH不能不等于角GHD,即它们是相等的。又，角AGH等于角GHD【命题13】所以，角EGB也等于角GHD.【公理1】给上面两边各加角BGH，则角EGB，BGH的和等于角BGH，GHD和.【公理2】但角EGB，BGH的和等于二直角.所以，角BGH，GHD和等于二直【命题11】 证完l 【命题20】过已知一点作一直线平行于已知直线命题 20 设A是一已知点，BC是已知直线。于是，要求经过这个点A作一直线平行于直线BC。在BC上任取一点D，连接AD；在直线DA上的点A，作角DEA等于角ADC。【命题16】而且设直线AF是直

27、线EA的延长线。这样，直线AD就和两条直线BC，EF相交成彼此相等的错角EAD，ADC。所以，EAF平行于BC【命题18】从而，经过已知点A作出了一条平行于已知直线BC的直线EAF。作完。l 【命题21】命题：在平行四边形面片中，对边相等，对角相等且对角线二等分其面片。命题 21证明：设ABCD是平行四边形面片，BC是对角线。则可证平行四边形ABCD的对边相等，对角线BC二等分其面片。事实上，因为AB平行于CD，且直线BC与它们相交的错角ABC与BCD彼此相等。【命题19】又因为AC平行于BD，且BC和它们相交，内错角ACB与CBD相等。【命题19】所以，ABC，DCB是具有两个ABC，BCA

28、分别等于角DCB，CBD的三角形，且一条边等于一条边，即与等角相邻且是二者公共的边BC。所以，它们其余的边也分别等于其余的边，且其余的角也相等。【命题17】所以边AB等于CD，AC等于BD，且角BAC等于角CBD。角ABC等于角BCD，且角CBD而已角ACB，整体角ABD等于整体角ACD。【公理2】而且也证明了角BAC等于角CBD。所以，在平面四边形中，对边相等，对角彼此相等。其次，可证对角线也二等分其面片。因为，AB等于CD，且BC公用。两边AB，BC分别等于两边DC，CB，且角ABC等于角BCD，所以，底AC等于底DB，且三角形ABC全等于三角形DCB。【命题4】所以，对角线BC二等分平行

29、四边形ABCD。证完。l 【命题22】在同底上且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等。命题 22设ABCD，EBCF是平行四边形，它们有同底BC且在相同二平行线AF，BC之间。则可证ABCD等于平行四边形EBCF。因为，由于ABCD是平行四边形，故AD也等于BC。【命题21】同理也有EF等于BC，这样AD也等于EF。【公理1】又DE公用，所以整体AE等于整体EF【公理2】但AB也等于DC。【命题21】所以两边EA，AB分别等于两边FD，DC，且角FDC等于角EAB，这是因为同位角相等。【1.29】所以，底EB等于底FC。且三角形EAB全等于三角形FDC。【1.4】由上边每一个减去三角形DGE

30、，则剩余的梯形ABGD仍然等于剩余的梯形EGCF 【公理3】给上边每一个加上三角形GBC，则整体平行四边形ABCD等于整体平行四边形EBCF。【公理2】证完。l 【命题23】在同底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。命题 23设三角形ABC，DBC同底且在相同二平行线AD，BC之间。则可证三角形ABC等于三角形DBC。向两个方向延长AD至E，F，过B作BE平行于CA。【命题31】过C作CF平行于BD因图形EBCA，DBCF都是平行四边形，且它们相等。因它们在同底BC上且在二平行线BC，EF之间。【命题22】此外，三角形ABC是平行四边形EBCA的一半，因为对角线AB二等分它。【命题21】又

31、三角形DBC是平行四边形DBCF的一半，因为对角线DC平分它。【命题21】但是相等的量的一半也彼此相等。所以，三角形ABC等于三角形DBC。证完。l 【命题24】命题：如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在二平行线之间。则平行四边形是这个三角形的二倍。命题 24证明：因为可设平行四边形ABCD和三角形EBC有共同的底BC，又在相同二平行线BC，AE之间。则可证平行四边形ABCD是三角形BEC的二倍。连接AC。那么，三角形ABC等于三角形EBC，因为二者有同底BC，又在相同的平行线BC，AE之间。【命题23】但是平行四边形ABCD是三角形ABC的二倍，这是因为对角线AC二等分ABCD。【命题21】这样一来，平行四边形ABCD也是三角形EBC的二倍。证完。l 【命题25】命题：在已知