线性代数与空间解析几何71二次型及其矩阵表示1_第1页
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1、一、二次型及其标准形的概念 2121111212131311222223232221,111,12,222222nnnnnnnnnnnnnnnfxxxa xa x xa x xax xaxax xax xaxaxxax 称为称为二次型二次型. .的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有定定义义nxxxn, 121. f记记为为7.1 二次型及其表示只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型22212111222(,)nnnnf x xxa xa xax称为二次型的称为二次型的标准形标准形当标准形中的系数取值仅取当标准形中的系数取值仅取1，1，0时，时，此标准形称为二次型的此标准形称为二次

2、型的规范形规范形例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都为都为二次型二次型； 23222132144,xxxxxxf 为二次型的为二次型的标准形标准形. . 323121321,xxxxxxxxxf 222123123,f x xxxxx 为二次型的为二次型的规范形规范形. .1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinj

3、iij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 二、二次型的表示方法2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),( ,.tfx axa 则则二二次次型型的的矩矩阵阵形形式式为为其其中中 为为对对称称矩矩阵阵11121121222212,nnnnnnnaaaxaaaxaxaaax 记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,三、二次型的矩阵及秩任一任一二次型二次型对称对称矩阵矩阵存存在在唯唯一一任一任一对称矩阵对称矩阵二次型二次型存存在在唯唯一一 一一对应一一对应称为称为对称对称矩阵矩阵的的二次型二次型；称为称为二次型二次型的的矩阵矩阵；对称矩阵对称矩阵的秩称为的秩称为二次型二次型的秩的秩解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 a222123122322221234

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