线性代数与空间解析几何7.6VIP

1、0222321231312233222211 czbybxbyzaxzaxyazayaxa二次方程二次方程所表示的曲面称为所表示的曲面称为二次曲面二次曲面.讨论二次曲面的性质使用讨论二次曲面的性质使用截痕法截痕法： 用坐标面或坐标面平行的平面与曲面相截，用坐标面或坐标面平行的平面与曲面相截，考察所得交线（截痕）的形状，通过截痕形状研考察所得交线（截痕）的形状，通过截痕形状研究曲面的性状究曲面的性状.一、一、 椭球面椭球面)0, 0, 0(1222222 cbaczbyax1. 范围范围: |x | a, |y |b, |z |c . 图形在图形在 x = a, y = b, z = c 所围成

2、的长所围成的长方体内方体内.2. 对称性对称性: 图形关于三个坐标面、三个坐标轴及图形关于三个坐标面、三个坐标轴及原点对称原点对称.3. 截截 痕痕ozyx 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特

3、殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z122222 czayx方程可写为方程可写为,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx 方程可写为方程可写为二、抛物面二、抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq(1) 范围范围: 若若p 0且且q 0, 则则 图形在图形在 xoy 平面上方，否则在平面上方，否则在 xo y 平面下方平面下方.(2) 对称性对称性: 图形关于图形关于z 轴、轴、yoz 平面、平面、xoz 平面对平面对称称.1、椭圆抛物面、椭圆抛物面(3)

4、截截 痕痕qypxz2222 10 用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)(0zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(o设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点. 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz )0(1 z与平面与平面 不相交不相交.1zz )0(1 z 20 用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)(0yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121222y

5、yqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211 3 0 用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)(0 xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0, 0 qpzxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp特殊地：特殊地：当当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变

6、动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz)0(,2222 pqqypxz2. 双曲抛物面（马鞍面）(1) 范围范围: x, y, z r, 曲面可向各方向无限延伸曲面可向各方向无限延伸.(2) 对称性对称性: 图形关于图形关于z 轴、轴、yoz 平面、平面、xoz 平面对平面对称称.(3) 截 痕 (设p 0, q 0) 用平面用平面z = z0 (z0 0)截曲面所得截痕为双曲线截曲面所得截痕为双曲线00202122zzqzypzx 用平面用平面x = x0 与与 y = y0 截曲面所得截痕为截曲面所得截痕为 022022xxqypxz 020222yyqypxz这

7、是两条抛物线这是两条抛物线.双曲抛物面)0, 0(,2222 qpqypxz图形如下：图形如下：xyzo三、 双曲面1. 单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax(2) 对称性对称性: 图形关于三个坐标轴、三个坐标面以图形关于三个坐标轴、三个坐标面以及原点都对称及原点都对称.(1) 范围范围: 12222 byax故曲面在椭圆柱面故曲面在椭圆柱面12222 byax的外部；的外部；(3) 截 痕用平面用平面z = z0 截曲面所得截痕为椭圆：截曲面所得截痕为椭圆： 022022221zzczbyax用平面用平面x = x0 , y =y 0截曲面所得截痕为：截曲面所得截痕为： 0220

8、22221xxaxczby 022022221yybyczax这是两条双曲线这是两条双曲线.单叶双曲面 xyoz1222222 czbyax的图形如下：的图形如下：思考题思考题:1222222 czbyax的形状如何？的形状如何？2. 双叶双曲面1222222 czbyax思考题思考题:1222222 czbyax的图形怎样？的图形怎样？xyoz例例1 将二次曲面将二次曲面z = f (x, y )= xy用正交变换化为标准用正交变换化为标准形，并由此判断是何形，并由此判断是何 曲面？曲面？解解102102fa 的的矩矩阵阵),21)(21(| ai1211,22 得得tt12=1,1=1,1所所对对应应的的特特征征向向量量分分别别为为（），（- -）tt12122222,=,=,2222 将将，单单位位化化（），（）222121yxfz z = x y 为为双曲抛物面双曲抛物面.存在正交变换存在正交变换 x = cy ，其中，其中 使使2222c=2222 例例2 设设 f (x1, x2, x3) = x tax 为实二次型，则为实二次型，则 f (x1, x2, x3) =